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经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Symmetric Games with Two Strategies per Player
In this section, we consider $N$-player games that, somewhat surprisingly, always have a pure equilibrium, namely symmetric games where each player has only two strategies.
An $N$-player game is symmetric if each player has the same set of strategies, and if the game stays the same after any permutation (shuffling) of the players and, correspondingly, their payoffs. For two players, this means that the game stays the same when exchanging the players and their payoffs, visualized by reflection along the diagonal.
We now consider symmetric $N$-player games where each player has two strategies, which we call 0 and 1 . Normally, any combination of these strategies defines a separate strategy profile, so there are $2^N$ profiles, and each of them specifies a payoff to each player, so the game is defined by $N \cdot 2^N$ payoffs. If the game is symmetric, vastly fewer payoffs are needed. Then a strategy profile is determined by how many players choose 1 , say $k$ players (where $0 \leq k \leq N$ ), and then the remaining $N-k$ players choose 0 , so the profile can be written as
$$
(\underbrace{1, \ldots, 1}k, \underbrace{0, \ldots, 0}{N-k}) \text {. }
$$
Because the game is symmetric, any profile where $k$ players choose 1 has to give the same payoff as (3.12) to any player who chooses 1 , and a second payoff to any player who chooses 0 . Hence, we need only two payoffs for these profiles (3.12) when $1 \leq k \leq N-1$. When $k=0$ then the profile is $(0, \ldots, 0)$ and all players play the same strategy 0 and only one payoff is needed, and similarly when $k=N$ where all players play 1 . Therefore, a symmetric $N$-player game with two strategies per player is specified by only $2 \mathrm{~N}$ payoffs.
Proposition 3.7. Consider a symmetric N-player game where each player has two strategies, 0 and 1. Then this game has a pure equilibrium. The strategy profile $(1,1, \ldots, 1)$ is the unique equilibrium of the game if and only if 1 dominates 0.
Proof. If 1 dominates 0 , then $(1,1, \ldots, 1)$ is clearly the unique equilibrium of the game, so suppose this not the case. Because 0 is not dominated and there are only two strategies, for some profile the payoff when playing 0 is greater than or equal to the payoft when playing 1 , that is, 0 is a best response to the remaining strategies. Consider such a profile (3.12) where 0 is a best response, with the smallest number $k$ of players who play 1 , where $0 \leq k<N$. Then this profile is an equilibrium: By assumption and symmetry, 0 is a best response to the strategies of the other players for every player who plays 0 . If 1 was not a best response for every player who plays 1 , then such a player would obtain a higher payoff when changing his strategy to 0 . This change would result in a profile where $k-1$ players play 1 , the remaining players play 0 , and 0 is a best response, which contradicts the smallest of choice of $k$. This shows that the game has an equilibrium.
经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Further Reading
The display of staggered payoffs in the lower left and upper right of each cell in the payoff table is due to Thomas Schelling. In 2005, he received, together with Robert Aumann, the Nobel memorial prize in Economic Sciences (officially: The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel) “for having enhanced our understanding of conflict and cooperation through game-theory analysis.” According to Dixit and Nalebuff (1991, p. 90), he said with excessive modesty: “If I am ever asked whether I ever made a contribution to game theory, I shall answer yes. Asked what it was, I shall say the invention of staggered payoffs in a matrix.”
The strategic form is taught in every course on non-cooperative game theory (it is sometimes called the “normal form”, now less used in game theory because “normal” is an overworked term in mathematics). Osborne (2004) gives careful historical explanations of the games considered in this chapter, including the original duopoly model of Cournot (1838), and many others. Our Exercise $3.4$ is taken from that book. Gibbons (1992) shows that the Cournot game is dominance solvable, with less detail than our proof of Proposition 3.6. Both Osborne and Gibbons disregard Schelling and use comma-separated payoffs as in (3.1).
The Cournot game in Section $3.6$ is also a potential game with a strictly concave potential function, which has a unique maximum and therefore a unique equilibrium. Neyman (1997) showed that it is also a unique correlated equilibrium (see Chapter 12). Potential games (Monderer and Shapley, 1996) generalize games with a potential function such as the congestion games considered in Section 2.5.
A classic survey of equilibrium refinements is van Damme (1987). Proposition $3.7$ seems to have been shown first by Cheng, Reeves, Vorobeychik, and Wellman (2004, theorem 1).
博弈论代考
经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Symmetric Games with Two Strategies per Player
在本节中，我们考虑 $N$-有些令人惊讶的玩家博恋总是有一个纯粹的均衡，即每个玩家只有两种策略的对 称博亦。
一个 $N$-如果每个玩家都有相同的策略集，并且在玩家的任何排列（洗牌) 之后游戏保持不变，则玩家游 戏是对称的，相应地，他们的收益也是如此。对于两个玩家，这意味着在交换玩家及其收益时游戏保持 不变，通过沿对角线的反射可视化。
我们现在考虑对称 $N$ – 玩家游戏，其中每个玩家都有两种策略，我们称之为 0 和 1 。通常，这些策略的 任意组合定义了一个单独的策略配置文件，因此有 $2^N$ profiles，并且它们中的每一个都指定了每个参与 者的收益，因此游戏定义为 $N \cdot 2^N$ 收益。如果游戏是对称的，则需要的收益要少得多。那么策略配置文 件由多少玩家选择 1 决定，比方说 $k$ 玩家（其中 $0 \leq k \leq N$ ), 然后剩下的 $N-k$ 玩家选择 0 ，所以配置 文件可以㝍成
$$
(\underbrace{1, \ldots, 1} k, \underbrace{0, \ldots, 0} N-k) .
$$
因为游戏是对称的，所以任何配置文件 $k$ 玩家选择 1 必须给予选择 1 的任何玩家与 (3.12) 相同的收益， 并给予选择 0 的任何玩家第二个收益。因此，我们只需要这些配置文件 (3.12) 的两个收益 $1 \leq k \leq N-1$. 什么时候 $k=0$ 那么配置文件是 $(0, \ldots, 0)$ 并且所有参与者都采取相同的策略 0 并且只 需要一次支付，并且类似地当 $k=N$ 所有玩家都玩的地方 1 。因此，一个对称的 $N$ – 每个玩家有两种策 略的玩家游戏仅由指定 2 N收益。
提案 3.7。考虑一个对称的 $\mathrm{N}$ 人游戏，其中每个玩家都有两个策略， 0 和 1 。那么这个游戏有一个纯均 衡。战略概况 $(1,1, \ldots, 1)$ 是博恋的唯一均衡当且仅当 1 支配 0 。
证明。如果 1 支配 0 ，则 $(1,1, \ldots, 1)$ 显然是博亦的唯一均衡，所以假设情况并非如此。因为 0 没有被 支配并且只有两种策略，对于某些配置文件，玩 0 时的收益大于或等于玩 1 时的收益，即 0 是对其余策 略的最佳响应。考虑这样一个配置文件 (3.12)，其中 0 是最佳响应，具有最小的数字 $k$ 玩 1 的玩家的数 量，其中 $0 \leq k<N$. 那么这个配置文件是一个均衡：根据假设和对称性，对于每个玩 0 的玩家， 0 是 对其他玩家策略的最佳响应。如果 1 不是每个玩 1 的玩家的最佳反应，那么当这样的玩家将他的策略更 改为 0 时会获得更高的收益。此更改将导致配置文件中 $k-1$ 玩家玩 1 ，其余玩家玩 $0 ， 0$ 是最佳响 应，这与最小的选择相矛盾 $k$. 这表明博恋存在均衡。
经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Further Reading
收益表中每个单元格的左下角和右上角交错显示的收益是 Thomas Schelling 的功劳。2005 年，他与罗伯特·奥曼 (Robert Aumann) 一起获得了诺贝尔经济学奖（官方名称：瑞典银行纪念阿尔弗雷德·诺贝尔的经济学奖），“因为他通过博弈论分析增强了我们对冲突与合作的理解。 ” 根据 Dixit 和 Nalebuff (1991, p. 90)，他过于谦虚地说：“如果有人问我是否对博弈论做出过贡献，我会回答是。如果问它是什么，我会说是在矩阵中交错支付的发明。”
战略形式在非合作博弈论的每门课程中都有讲授（它有时被称为“正常形式”，现在在博弈论中较少使用，因为“正常”在数学中是一个过度使用的术语）。Osborne (2004) 对本章考虑的博弈给出了详细的历史解释，包括古诺 (Cournot) (1838) 的原始双头垄断模型，以及许多其他博弈。我们的运动3.4取自那本书。Gibbons (1992) 表明古诺博弈是支配可解的，但细节不如我们对命题 3.6 的证明。Osborne 和 Gibbons 都忽略了 Schelling，并像 (3.1) 那样使用逗号分隔的收益。
节中的古诺博弈3.6也是具有严格凹势函数的势博弈，具有唯一的最大值，因此具有唯一的均衡。Neyman (1997) 表明它也是一个唯一的相关均衡（见第 12 章）。潜在博弈（Monderer 和 Shapley，1996 年）概括了具有潜在函数的博弈，例如 2.5 节中考虑的拥塞博弈。
van Damme (1987) 对均衡改进进行了经典调查。主张3.7似乎首先由 Cheng、Reeves、Vorobeychik 和 Wellman（2004 年，定理 1）证明。
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