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数学代写|伽罗瓦理论代写Galois Theory代考|Primitive Element Theorem

Recall that a simple extension is one of the form $K(\theta) / K$. Many field extensions are presented in a manner that makes them appear not to be simple, but on further examination it turns out that they are. See Example 4.11(2), for instance.

We now give a classical criterion for a field extension in $\mathbb{C}$ to be simple. First, we need:
Lemma 6.12. If $p(t) \in K[t]$ is irreducible, it has no multiple zeros.
Proof. If $p(t)$ has a multiple zero $a$ then $p(t)=(t-a)^2 q(t)$ in $\mathbb{C}[t]$. The derivative
$$
p^{\prime}(t)=2(t-a) q(t)+(t-a) q^{\prime}(t)
$$
is divisible by $(t-a)$ in $\mathbb{C}[t]$, and the usual formula for the derivative of $t^n$ implies that $p^{\prime}(t) \in K[t]$. Therefore $p(t)$ and $p^{\prime}(t)$ have a common factor in $K[t]$ of degree at least 1 . But this is impossible since $\partial p^{\prime}=\partial p-1<\partial p$ and $p(t)$ is irreducible. Therefore $p(t)$ has no multiple zeros.

Using the degree, we can prove that every finite extension of a subfield of $\mathbb{C}$ is a simple extension, and conversely. A simpler and more general proof using Galois theory is given later in Theorem 17.29. The name of the theorem reflects classical terminology: if $L=K(\theta)$ then $\theta$ is a primitive element of $L$. The proof below comes from Brown (2010).

Theorem 6.13 (Primitive Element Theorem). Let $K, L$ be subfields of $\mathbb{C}$ with $[L: K]$ finite. Then there exists $\theta \in L$ such that $L=K(\theta)$.

Proof. By Lemma $6.11, L=K\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)$ where the $\alpha_j$ are algebraic over $K$. The main point is to prove the case $n=2$ : if $\alpha_1, \alpha_2$ are algebraic over $K$ and $L=K\left(\alpha_1, \alpha_2\right)$, then there exists $\theta \in L$ such that $L=K(\theta)$. The theorem then follows by induction on $n$, since
$$
L=K\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)=K\left(\alpha_1, \alpha_2\right)\left(\alpha_3, \ldots, \alpha_n\right)=K\left(\theta, \alpha_3, \ldots, \alpha_n\right)
$$
adjoining only $n-1$ algebraic elements to $K$.
To prove the result for $n=2$, write $\alpha_1=\alpha, \alpha_2=\beta$ to simplify notation. Consider an element
$$
\gamma=\alpha+\lambda \beta
$$
for $\lambda \in K$, and let $L=K(\alpha, \beta)$. We claim that $\gamma$ is a primitive element unless $\lambda$ is ‘bad’, that is, $\lambda$ belongs to a specific finite subset $S \subseteq K$, which we define during the proof; see $(6.4)$.

数学代写|伽罗瓦理论代写Galois Theory代考|Ruler-and-Compass Constructions

Already we are in a position to see some payoff. The degree of a field extension is a surprisingly powerful tool. Even before we get into Galois theory proper, we can apply the degree to a warm-up problem-indeed, several. The problems come from classical Greek geometry, and we will do something much more interesting and difficult than solving them. We will prove that no solutions exist, subject to certain technical conditions on the permitted methods.
According to Plato the only ‘perfect’ geometric figures are the straight line and the circle. In the most widely known parts of ancient Greek geometry, this belief had the effect of restricting the (conceptual) instruments available for performing geometric constructions to two: the ruler and the compass. The ruler, furthermore, was a single unmarked straight edge.

Strictly, the term should be ‘pair of compasses’, for the same reason we call a single cutting instrument a pair of scissors. However, ‘compass’ is shorter, and there is no serious danger of confusion with the navigational instrument that tells you which way is north. So ‘compass’ it is.

With these instruments alone it is possible to perform a wide range of constructions, as Euclid systematically set out in his Elements somewhere around 300 BC. This series of books opens with 23 definitions of basic objects ranging from points to parallels, five axioms (called ‘postulates’ in the translation hy Sir Thomas Heath), and five ‘common notions’ about equality and inequality. The first three axioms state that certain constructions may be performed:
(1) To draw a straight line from any point to any (distinct) point.
(2) To produce a finite straight line continuously in a straight line.
(3) To describe a circle with any centre and any distance.
The first two model the use of a ruler (or straightedge); the third models the use of a compass.

伽罗瓦理论代考

数学代写|伽罗瓦理论代写Galois Theory代考|Primitive Element Theorem

回想一下，一个简单的扩展是以下形式之一 $K(\theta) / K$. 许多字段扩展的呈现方式使它们看起来并不简单， 但经过进一步检查后发现它们很简单。例如，参见示例 4.11(2)。
我们现在给出一个领域扩展的经典标准烔简单点。首先，我们需要:
引理 6.12。如果 $p(t) \in K[t]$ 是不可约的，它没有多个䨝。
证明。如果 $p(t)$ 有多个零 $a$ 然后 $p(t)=(t-a)^2 q(t)$ 在 $\mathbb{C}[t]$. 导数
$$
p^{\prime}(t)=2(t-a) q(t)+(t-a) q^{\prime}(t)
$$
被整除 $(t-a)$ 在 $\mathbb{C}[t]$, 和导数的常用公式 $t^n$ 暗示 $p^{\prime}(t) \in K[t]$. 所以 $p(t)$ 和 $p^{\prime}(t)$ 有一个共同的因嫊 $K[t]$ 度 至少 1。但这是不可能的，因为 $\partial p^{\prime}=\partial p-1<\partial p$ 和 $p(t)$ 是不可约的。所以 $p(t)$ 没有多个零。
使用度数，我们可以证明子域的每个有限扩展 $\mathbb{C}$ 是一个简单的扩展，反之亦然。稍后在定理 $17.29$ 中给 出了使用 Galois 理论的更简单和更一般的证明。定理的名称反映了经典术语: 如果 $L=K(\theta)$ 然后 $\theta$ 是的 原始元素L. 下面的证明来自 Brown (2010)。
定理 $6.13$ (原始元嫊定理) 。让 $K, L$ 是子字段C和 $[L: K]$ 有限。那么存在 $\theta \in L$ 这样 $L=K(\theta)$.
证明。通过引理6.11, $L=K\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)$ 在哪里 $\alpha_j$ 代数结束 $K$. 重点是证明这个案子 $n=2$ : 如果 $\alpha_1, \alpha_2$ 代数结束 $K$ 和 $L=K\left(\alpha_1, \alpha_2\right)$ ，那么存在 $\theta \in L$ 这样 $L=K(\theta)$. 然后通过归纳得出定理 $n$ ，自从
$$
L=K\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)=K\left(\alpha_1, \alpha_2\right)\left(\alpha_3, \ldots, \alpha_n\right)=K\left(\theta, \alpha_3, \ldots, \alpha_n\right)
$$
仅毗邻 $n-1$ 代数元溸 $K$.
为证明结果 $n=2$ ，写 $\alpha_1=\alpha, \alpha_2=\beta$ 简化符号。考虑一个元榡
$$
\gamma=\alpha+\lambda \beta
$$
为了 $\lambda \in K$ ，然后让 $L=K(\alpha, \beta)$. 我们声称 $\gamma$ 是原始元嫊，除非 $\lambda$ 是”坏的”，也就是说， $\lambda$ 属于特定的 有限子集 $S \subseteq K$ ，我们在证明过程中定义；看 (6.4).

数学代写|伽罗瓦理论代写Galois Theory代考|Ruler-and-Compass Constructions

我们已经能够看到一些回报。场扩展的程度是一个非常强大的工具。甚至在我们真正进入 Galois 理论之前，我们就可以将度数应用到一个热身问题——实际上是几个。这些问题来自古典希腊几何学，我们将做一些比解决它们更有趣、更困难的事情。我们将证明不存在解决方案，但须遵守允许方法的某些技术条件。
根据柏拉图，唯一“完美”的几何图形是直线和圆。在古希腊几何学中最广为人知的部分，这种信念的效果是将可用于执行几何构造的（概念）工具限制为两种：尺子和圆规。此外，尺子是一个没有标记的直尺。

严格来说，这个词应该是“圆规”，同理我们把单一的切割工具叫做剪刀。然而，“指南针”较短，不会与告诉您哪条路是北的导航仪器混淆的严重危险。所以它是“指南针”。

正如欧几里德在公元前 300 年左右在他的《几何原本》中系统地阐述的那样，仅凭这些仪器就可以进行范围广泛的构造。这一系列书籍以从点到平行线的 23 个基本对象的定义、五个公理（在托马斯·希思爵士的翻译中称为“假设”）和五个关于平等和不平等的“共同概念”开篇。前三个公理指出可以执行某些构造：
(1) 从任意点到任意（不同的）点画一条直线。
(2) 在直线上连续产生一条有限直线。
(3) 以任意圆心和任意距离来描述一个圆。
前两个模拟了尺子（或直尺）的使用；第三个模型使用指南针。

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