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经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Infinite Distributed Lag
So far we have been dealing with a finite number of lags imposed on $X_t$. Some lags may be infinite. For example, the investment in building highways and roads several decades ago may still have an effect on today’s growth in GNP. In this case, we write Eq. (6.1) as
$$
Y_t=\alpha+\sum_{i=0}^{\infty} \beta_i X_{t-i}+u_t \quad t=1,2, \ldots, T
$$
There are an infinite number of $\beta_i$ ‘s to estimate with only $T$ observations. This can only be feasible if more structure is imposed on the $\beta_i$ ‘s. First, we normalize these $\beta_i$ ‘s hy their sum, i.e., let $w_i=\beta_i / \beta$ where $\beta=\sum_{i=0}^{\infty} \beta_i$. If all the $\beta_i$ ‘s have the same sign, then the $\beta_i$ ‘s take the sign of $\beta$ and $0 \leq w_i \leq 1$ for all $i$, with $\sum_{i=0}^{\infty} w_i=1$. This means that the $w_i$ ‘s can be interpreted as probabilities. In fact, Koyck (1954) imposed the geometric lag on the $w_i$ ‘s, i.e., $w_i=(1-\lambda) \lambda^i$ for $i=0,1, \ldots, \infty^1$. Substituting
$$
\beta_i=\beta w_i=\beta(1-\lambda) \lambda^i
$$
in (6.7) we get
$$
Y_t=\alpha+\beta(1-\lambda) \sum_{i=0}^{\infty} \lambda^i X_{t-i}+u_t
$$
Equation (6.8) is known as the infinite distributed lag form of the Koyck lag. The short-run effect of a unit change in $X_t$ on $Y_t$ is given by $\beta(1-\lambda)$, whereas the longrun effect of a unit change in $X_t$ on $Y_t$ is $\sum_{i=0}^{\infty} \beta_i=\beta \sum_{i=0}^{\infty} w_i=\beta$. Implicit in the Koyck lag structure is that the effect of a unit change in $X_t$ on $Y_t$ declines the further back we go in time. For example, if $\lambda=1 / 2$, then $\beta_0=\beta / 2, \beta_1=\beta / 4$, $\beta_2=\beta / 8$, etc. Defining $L X_t=X_{t-1}$, as the lag operator, we have $L^i X_t=X_{t-i}$, and (6.8) reduces to
$$
Y_t=\alpha+\beta(1-\lambda) \sum_{i=0}^{\infty}(\lambda L)^i X_t+u_t=\alpha+\beta(1-\lambda) X_t /(1-\lambda L)+u_t
$$
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Adaptive Expectations Model
Suppose that output $Y_t$ is a function of expected sales $X_t^$ and that the latter is unobservable, i.e., $$ Y_t=\alpha+\beta X_t^+u_t
$$
where expected sales are updated according to the following method:
$$
X_t^-X_{t-1}^=\delta\left(X_t-X_{t-1}^*\right)
$$ that is, expected sales at time $t$ are a weighted combination of expected sales at time $t-1$ and actual sales at time $t$. In fact,
$$
X_t^=\delta X_t+(1-\delta) X_{t-1}^
$$
Equation (6.11) is also an error learning model, where one learns from past experience and adjusts expectations after observing current sales. Using the lag operator $L$, (6.12) can be rewritten as $X_t^*=\delta X_t /[1-(1-\delta) L]$. Substituting this last expression in the above relationship, we get
$$
Y_t=\alpha+\beta \delta X_t /[1-(1-\delta) L]+u_t
$$
Multiplying both sides of $(6.13)$ by $[1-(1-\delta) L]$, we get
$$
Y_t-(1-\delta) Y_{t-1}=\alpha\left[(1-(1-\delta)]+\beta \delta X_t+u_t-(1-\delta) u_{t-1}\right.
$$
(6.14) looks exactly like (6.10) with $\lambda=(1-\delta)$.
计量经济学代考
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Infinite Distributed Lag
到目前为止，我们一直在处理有限数量的延迟 $X_t$. 有些滞后可能是无限的。例如，几十年前修建高速公 路和道路的投资可能仍然对今天的国民生产总值增长产生影响。在这种情况下，我们写 Eq。(6.1) 作为
$$
Y_t=\alpha+\sum_{i=0}^{\infty} \beta_i X_{t-i}+u_t \quad t=1,2, \ldots, T
$$
有无数个 $\beta_i$ 估计只有 $T$ 观察。这只有在将更多结构强加于 $\beta_i$ 的。首先，我们将这些归一化 $\beta_i$ 是他们的总 和，即让 $w_i=\beta_i / \beta$ 在哪里 $\beta=\sum_{i=0}^{\infty} \beta_i$. 如果所有的 $\beta_i$ 的符号相同，那么 $\beta_i$ 的标志 $\beta$ 和 $0 \leq w_i \leq 1$ 对 所有人 $i_r$ ，和 $\sum_{i=0}^{\infty} w_i=1$. 这意味着 $w_i$ 可以解释为概率。事实上，Koyck (1954) 将几何滞后强加于 $w_i$ 的，即 $w_i=(1-\lambda) \lambda^i$ 为了 $i=0,1, \ldots, \infty^1$. 代入
$$
\beta_i=\beta w_i=\beta(1-\lambda) \lambda^i
$$
在 (6.7) 中我们得到
$$
Y_t=\alpha+\beta(1-\lambda) \sum_{i=0}^{\infty} \lambda^i X_{t-i}+u_t
$$
方程 (6.8) 被称为 Koyck 滞后的无限分布滞后形式。单位变动的短期效应 $X_t$ 上 $Y_t$ 是 (谁) 给的 $\beta(1-\lambda)$ ，而单位变化的长期影响是 $X_t$ 上 $Y_t$ 是 $\sum_{i=0}^{\infty} \beta_i=\beta \sum_{i=0}^{\infty} w_i=\beta$. Koyck 滞后结构中隐含的是单位变化 的影响 $X_t$ 上 $Y_t$ 随着时间的推移，下降得越远。例如，如果 $\lambda=1 / 2$ ，然后 $\beta_0=\beta / 2, \beta_1=\beta / 4$ ， $\beta_2=\beta / 8$ 等定义 $L X_t=X_{t-1}$ ，作为滞后算子，我们有 $L^i X_t=X_{t-i}$ ，(6.8) 减少到
$$
Y_t=\alpha+\beta(1-\lambda) \sum_{i=0}^{\infty}(\lambda L)^i X_t+u_t=\alpha+\beta(1-\lambda) X_t /(1-\lambda L)+u_t
$$
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Adaptive Expectations Model
假设输出 $Y_t$ 是预期销售额的函数 $\mathrm{X}{-} \mathrm{t}^{\wedge}$ 并且后者是不可观察的，即 $$ Y_t=\alpha+\beta X_t^{+} u_t $$ 根据以下方法更新预期销售额: $$ X_t^{-} X{t-1}^{=} \delta\left(X_t-X_{t-1}^\right) $$ 也就是说，当时的预期销售额 $t$ 是当时预期销售额的加权组合 $t-1$ 和当时的实际销售额 $t$. 实际上， $$ X_{-} t^{\wedge}=\backslash \text { delta } X_{-} t+\left(1-\backslash \text { delta) } X_{-}{t-1}^{\wedge}\right. $$ 等式 (6.11) 也是一种错误学习模型，从过去的经验中学习并在观察当前销售后调整预期。使用滞后运 算符 $L,(6.12)$ 可以改写为 $X_t^=\delta X_t /[1-(1-\delta) L]$. 代入上述关系中的最后一个表达式，我们得到
$$
Y_t=\alpha+\beta \delta X_t /[1-(1-\delta) L]+u_t
$$
两边相乘 $(6.13)$ 经过 $[1-(1-\delta) L]$, 我们得到
$$
Y_t-(1-\delta) Y_{t-1}=\alpha\left[(1-(1-\delta)]+\beta \delta X_t+u_t-(1-\delta) u_{t-1}\right.
$$
(6.14) 看起来和 $(6.10)$ 完全一样 $\lambda=(1-\delta)$.
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