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经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Autocorrelation
Violation of Assumption $3.3$ means that the disturbances are correlated, i.e., $E\left(u_i u_j\right)=\sigma_{i j} \neq 0$, for $i \neq j$, and $i, j=1,2, \ldots, n$. Since $u_i$ has zero mean, $E\left(u_i u_j\right)=\operatorname{cov}\left(u_i, u_j\right)$ and this is denoted by $\sigma_{i j}$. This correlation is more likely to occur in time-series than in cross-section studies. Consider estimating the consumption function of a random sample of households. An unexpected event, like a visit of family members, will increase the consumption of this household. However, this positive disturbance need not be correlated to the disturbances affecting consumption of other randomly drawn households. However, if we were estimating this consumption function using aggregate time-series data for the U.S., then it is very likely that a recession year affecting consumption negatively this year may have a carry over effect to the next few years. A shock to the economy like an oil embargo in 1973 is likely to affect the economy for several years. A labor strike this year may affect production for the next few years. Therefore, we will switch the $i$ and $j$ subscripts to $t$ and $s$ denoting time-series observations $t, s=1,2, \ldots, T$ and the sample size will be denoted by $T$ rather than $n$. This covariance term is symmetric, so that $\sigma_{12}=E\left(u_1 u_2\right)=E\left(u_2 u_1\right)=\sigma_{21}$. Hence, only $T(T-1) / 2$ distinct $\sigma_{t s}$ ‘s have to be estimated. For example, if $T=3$, then $\sigma_{12}, \sigma_{13}$, and $\sigma_{23}$ are the distinct covariance terms. However, it is hopeless to estimate $T(T-1) / 2$ covariances $\left(\sigma_{t s}\right)$ with only $T$ observations. Therefore, more structure on these $\sigma_{t s}$ ‘s needs to be imposed. A simple and popular assumption is that the $u_t$ ‘s follow a firstorder autoregressive process denoted by $\mathrm{AR}(1)$ :
$$
u_t=\rho u_{t-1}+\epsilon_t \quad t=1,2, \ldots, T
$$
where $\epsilon_t$ is $\operatorname{IID}\left(0, \sigma_\epsilon^2\right)$. It is autoregressive because $u_t$ is related to its lagged value $u_{t-1}$. One can also write (5.26), for period $t-1$, as
$$
u_{t-1}=\rho u_{t-2}+\epsilon_{t-1}
$$
and substitute $(5.27)$ in $(5.26)$ to get
$$
u_t=\rho^2 u_{t-2}+\rho \epsilon_{t-1}+\epsilon_t
$$
Note that the power of $\rho$ and the subscript of $u$ or $\epsilon$ always sum to $t$. By continuous substitution of this form, one ultimately gets
$$
u_t=\rho^t u_0+\rho^{t-1} \epsilon_1+. .+\rho \epsilon_{t-1}+\epsilon_t
$$
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Consequences for OLS
How is the OLS estimator affected by the violation of the no serial correlation assumption among the disturbances? The OLS estimator is still unbiased and consistent since these properties rely on assumptions $3.1$ and $3.4$ and have nothing to do with assumption 3.3. For the simple linear regression, using (5.2), the variance of $\widehat{\beta}{O L S}$ is now $$ \begin{aligned} \operatorname{var}\left(\widehat{\beta}{O L S}\right) &=\operatorname{var}\left(\sum_{t=1}^T w_t u_t\right)=\sum_{t=1}^T \sum_{s=1}^T w_t w_s \operatorname{cov}\left(u_t, u_s\right) \
&=\sigma_u^2 / \sum_{t=1}^T x_t^2+\sum_{t \neq s} \sum_t w_t w_s \rho^{|t-s|} \sigma_u^2
\end{aligned}
$$
where $\operatorname{cov}\left(u_t, u_s\right)=\rho^{|t-s|} \sigma_u^2$ as explained in (5.33). Note that the first term in (5.34) is the usual variance of $\widehat{\beta}{\text {OLS }}$ under the classical case. The second term in (5.34) arises because of the correlation between the $u_t$ ‘s. Hence, the variance of OLS computed from a regression package, i.e., $s^2 / \sum{t=1}^T x_t^2$ is a wrong estimate of the variance of $\widehat{\beta}{O L S}$ for two reasons. First, it is using the wrong formula for the variance, i.e., $\sigma_u^2 / \sum{t=1}^T x_t^2$ rather than (5.34). The latter depends on $\rho$ through the extra term in (5.34). Second, one can show, see Problem 7, that $E\left(s^2\right) \neq \sigma_u^2$ and will involve $\rho$ as well as $\sigma_u^2$. Hence, $s^2$ is not unbiased for $\sigma_u^2$ and $s^2 / \sum_{t=1}^T x_t^2$ is a biased estimate of $\operatorname{var}\left(\widehat{\beta}{O L S}\right)$. The direction and magnitude of this bias depend on $\rho$ and the regressor. In fact, if $\rho$ is positive, and the $x_t$ ‘s are themselves positively autocorrelated, then $s^2 / \sum{t=1}^T x_t^2$ understates the true variance of $\widehat{\beta}{O L S}$. This means that the confidence interval for $\beta$ is tighter than it should be and the $t$-statistic for $H_0 ; \beta=0$ is overblown, see Problem 8 . As in the heteroskedastic case, but for completely different reasons, any inference based on $\operatorname{var}\left(\widehat{\beta}{O L S}\right)$ reported from the standard regression packages will be misleading if the $u_t$ ‘s are serially correlated.
计量经济学代考
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Autocorrelation
违反假设 $3.3$ 意味着扰动是相关的，即 $E\left(u_i u_j\right)=\sigma_{i j} \neq 0$ ， 为了 $i \neq j$ ，和 $i, j=1,2, \ldots, n$. 自从 $u_i$ 均值为零， $E\left(u_i u_j\right)=\operatorname{cov}\left(u_i, u_j\right)$ 这表示为 $\sigma_{i j}$. 与横截面研究相比，这种相关性更可能发生在时间序 列中。考虑估计随机样本家庭的消费函数。一个意外事件，比如家人来访，会增加这个家庭的消费。然 而，这种积极的干扰不需要与影响其他随机抽取的家庭消费的干扰相关联。然而，如果我们使用美国的 聚合时间序列数据来估计这个消费函数，那么今年对消费产生负面影响的经济䯧退年很可能会对末来几 年产生结转效应。像 1973 年的石油禁运这样的经济议击可能会影响经济数年。今年的罢工可能会影响 末来几年的生产。因此，我们将切换 $i$ 和 $j$ 下标 $t$ 和 $s$ 表示时间序列观察 $t, s=1,2, \ldots, T$ 样本量将表示为 $T$ 而不是 $n$. 这个协方差项是对称的，所以 $\sigma_{12}=E\left(u_1 u_2\right)=E\left(u_2 u_1\right)=\sigma_{21}$. 因此，只有 $T(T-1) / 2$ 清楚的 $\sigma_{t s}$ 必须估计。例如，如果 $T=3$ ，然后 $\sigma_{12}, \sigma_{13}$ ，和 $\sigma_{23}$ 是不同的协方差项。但 是，估计是无望的 $T(T-1) / 2$ 协方差 $\left(\sigma_{t s}\right)$ 只有 $T$ 观察。因此，更多关于这些的结构 $\sigma_{t s}$ 的需要强加。 $-$ 个简单而流行的假设是 $u_t$ 遵循一阶自回归过程，表示为 $\mathrm{AR}(1)$ :
$$
u_t=\rho u_{t-1}+\epsilon_t \quad t=1,2, \ldots, T
$$
在哪里 $\epsilon_t$ 是IID $\left(0, \sigma_\epsilon^2\right)$. 它是自回归的，因为 $u_t$ 与其滞后值有关 $u_{t-1}$. 也可以写 (5.26)，对于句号 $t-1$ ， 作为
$$
u_{t-1}=\rho u_{t-2}+\epsilon_{t-1}
$$
并替代(5.27)在 (5.26)要得到
$$
u_t=\rho^2 u_{t-2}+\rho \epsilon_{t-1}+\epsilon_t
$$
请注意，电源 $\rho$ 和下标 $u$ 或者 $\epsilon$ 总和为 $t$. 通过这种形式的不断代入，最終得到
$$
u_t=\rho^t u_0+\rho^{t-1} \epsilon_1+\ldots+\rho \epsilon_{t-1}+\epsilon_t
$$
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Consequences for OLS
OLS 估计量如何受到干扰之间无序列相关假设的违反? OLS 估计量仍然是无偏且一致的，因为这些属性 依赖于假设 $3.1$ 和 $3.4$ 与假设 $3.3$ 无关。对于简单线性回归，使用 (5.2)，方差 $\widehat{\beta} O L S$ 就是现在
$$
\operatorname{var}(\widehat{\beta} O L S)=\operatorname{var}\left(\sum_{t=1}^T w_t u_t\right)=\sum_{t=1}^T \sum_{s=1}^T w_t w_s \operatorname{cov}\left(u_t, u_s\right) \quad=\sigma_u^2 / \sum_{t=1}^T x_t^2+\sum_{t \neq s} \sum_t w_t w_s \rho^{|t-s|} \sigma_{u s}^2
$$
在哪里 $\operatorname{cov}\left(u_t, u_s\right)=\rho^{|t-s|} \sigma_u^2$ 如 (5.33) 中所述。请注意 (5.34) 中的第一项是通常的方差 $\widehat{\beta}$ OLS 在经典 案例下。(5.34) 中的第二项是由于 $u_t$ 的。因此，从回归包计算的 OLS 的方差，即 $s^2 / \sum t=1^T x_t^2$ 是对 方差的错误估计 $\widehat{\beta} O L S$ 有两个原因。首先，它使用了错误的方差公式，即 $\sigma_u^2 / \sum t=1^T x_t^2$ 而不是 (5.34)。后者取决于 $\rho$ 通过 (5.34) 中的额外项。其次，可以证明，见问题 7，即 $E\left(s^2\right) \neq \sigma_u^2$ 并将涉及 $\rho$ 也 $\sigma_u^2$. 因此， $s^2$ 不偏不倚 $\sigma_u^2$ 和 $s^2 / \sum_{t=1}^T x_t^2$ 是有偏估计 $\operatorname{var}(\widehat{\beta} O L S)$. 这种偏差的方向和大小取决于 $\rho$ 和回 归者。事实上，如果 $\rho$ 是积极的，并且 $x_t$ 的本身是正自相关的，那么 $\angle s^2 / \sum t=1^T x_t^2$ 低估了真实方差 $\widehat{\beta} O L S$. 这意味着置信区间为 $\beta$ 比它应该的更紧 $t$ – 统计 $H_0 ; \beta=0$ 被夸大了，见问题 8 。与异方差情况一 样，但出于完全不同的原因，任何基于 $\operatorname{var}(\widehat{\beta} O L S)$ 从标准回归包报告将误导，如果 $u_t$ 是序列相关的。
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