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经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Normality of the Disturbances
If the disturbances are not normal, OLS is still BLUE provided assumptions 3.1-3.4 still hold. Normality made the OLS estimators minimum variance unbiased MVU, and these OLS estimators turn out to be identical to the MLE. Normality allowed the derivation of the distribution of these estimators, and this in turn allowed testing of hypotheses using the $t$ and $F$-tests considered in Chap. 4. If the disturbances are not normal, yet the sample size is large, one can still use the normal distribution for the OLS estimates asymptotically by relying on the Central Limit Theorem, see Theil (1978). Theil’s proof is for the case of fixed $X$ ‘s in repeated samples, zero mean, and constant variance on the disturbances. A simple asymptotic test for the normality assumption is given by Jarque and Bera (1987). This is based on the fact that the normal distribution has a skewness measure of zero and a kurtosis of 3 . Skewness (or lack of symmetry) is measured by
$$
S=\frac{\left[E(X-\mu)^3\right]^2}{\left[E(X-\mu)^2\right]^3}=\frac{\text { Square of the } 3 r d \text { moment about the mean }}{\text { Cube of the variance }}
$$
Kurtosis (a measure of flatness) is measured by
$$
\kappa=\frac{F(X-\mu)^4}{\left[E(X-\mu)^2\right]^2}=\frac{4 \text { th moment ahout the mean }}{\text { Square of the variance }}
$$
For the normal distribution $S=0$ and $\kappa=3$. Hence, the Jarque-Bera (JB) statistic is given by
$$
J B=n\left[\frac{S^2}{6}+\frac{(\kappa-3)^2}{24}\right]
$$
where $S$ represents skewness and $\kappa$ represents kurtosis of the OLS residuals. This statistic is asymptotically distributed as $\chi^2$ with two degrees of freedom under $H_0$. Rejecting $H_0$ rejects normality of the disturbances but does not offer an alternative distribution. In this sense, the test is non-constructive. In addition, not rejecting $\mathrm{H}_0$ does not necessarily mean that the distribution of the disturbances is normal; it only means we do not reject that the distribution of the disturbances is symmetric and has a kurtosis of 3. See the empirical example in Sect. $5.3$ for an illustration. The Jarque-Bera test is part of the standard output using EViews.
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Heteroskedasticity
Violation of Assumption $3.2$ means that the disturbances have a varying variance, i.e., $E\left(u_i^2\right)=\sigma_i^2, i=1,2, \ldots, n$. First, we study the effect of this violation on the OLS estimator. For the simple linear regression, it is obvious that $\widehat{\beta}{O L S}$ given in Eq. (3.5) is still unbiased and consistent because these properties depend upon Assumptions $3.1$ and 3.4, and not Assumption 3.2. However, the variance of $\widehat{\beta}{O L S}$ is now different
$$
\operatorname{var}\left(\widehat{\beta}{O L S}\right)=\operatorname{var}\left(\sum{i=1}^n w_i u_i\right)=\sum_{i=1}^n w_i^2 \sigma_i^2=\sum_{i=1}^n x_i^2 \sigma_i^2 /\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^2
$$
where the second equality follows from assumption $3.3$ and the fact that $\operatorname{var}\left(\mathrm{u}i\right)$ is now $\sigma_i^2$. Note that if $\sigma_i^2=\sigma^2$. this reverts back to $\sigma^2 / \sum{i=1}^n x_i^2$, the usual formula for $\operatorname{var}\left(\widehat{\beta}{O L S}\right)$ under homoskedasticity. Furthermore, one can show that $E\left(s^2\right)$ will involve all of the $\sigma_i^2$,s and not one common $\sigma^2$, see Problem 1. This means that the regression package reporting $s^2 / \sum{i=1}^n x_i^2$ as the estimate of the variance of $\widehat{\beta}_{O L S}$ is committing two errors. One, it is not using the right formula for the variance, i.e.
Eq. (5.9). Second, it is using $s^2$ to estimate a common $\sigma^2$ when in fact the $\sigma_i^2$ ‘s are different. The bias from using $s^2 / \sum_{i=1}^n x_i^2$ as an estimate of $\operatorname{var}\left(\widehat{\beta}{O L S}\right)$ will depend upon the nature of the heteroskedasticity and the regressor. In fact, if $\sigma_i^2$ is positively related to $x_i^2$, one can show that $s^2 / \sum{i=1}^n x_i^2$ understates the true variance and hence the $t$-statistic reported for $\beta=0$ is overblown, and the confidence interval for $\beta$ is tighter than it is supposed to be, see Problem 2. This means that the $t$-statistic in this case is biased toward rejecting $H_0 ; \beta=0$, i.e., showing significance of the regression slope coefficient, when it may not be significant.
The OLS estimator of $\beta$ is linear unbiased and consistent, but is it still BLUE when Assumption $3.2$ is violated? In order to answer this question, we note that if $\operatorname{var}\left(u_i\right)=\sigma_i^2$, one can divide $u_i$ by $\sigma_i / \sigma$, and the resulting $u_i^=\sigma u_i / \sigma_i$ will have a constant variance $\sigma^2$. It is easy to show that $u^$ satisfies all the classical assumptions of Chap. 3 including homoskedasticity. The regression model becomes
$$
\sigma Y_i / \sigma_i=\alpha \sigma / \sigma_i+\beta \sigma X_i / \sigma_i+u_i^*
$$
and OLS on this model (5.10) is BLUE. The OLS normal equations on (5.10) are
$$
\begin{aligned}
&\sum_{i=1}^n\left(Y_i / \sigma_i^2\right)=\alpha \sum_{i=1}^n\left(1 / \sigma_i^2\right)+\beta \sum_{i=1}^n\left(X_i / \sigma_i^2\right) \
&\sum_{i=1}^n\left(Y_i X_i / \sigma_i^2\right)=\alpha \sum_{i=1}^n\left(X_i / \sigma_i^2\right)+\beta \sum_{i=1}^n\left(X_i^2 / \sigma_i^2\right)
\end{aligned}
$$
计量经济学代考
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Normality of the Disturbances
如果干扰不正常，假设 3.1-3.4 仍然成立，则 OLS 仍为蓝色。正态性使 OLS 估计量最小方差无偏 MVU， 并且这些 OLS 估计量结果与 MLE 相同。正态性允许推导这些估计量的分布，这反过来又允许使用 $t$ 和 $F$ 在第 1 章中考虑的测试。4. 如果扰动不正常，但样本量很大，仍然可以依靠中心极限定理渐进地使用正 态分布进行 OLS 估计，参见 Theil (1978)。 Theil 的证明是针对固定的情况 $X$ 的重复样本、零均值和扰动 的常量方差。Jarque 和 Bera (1987) 给出了正态性假设的简单渐近检验。这是基于正态分布的偏度度量 为零和峰度为 3 的事实。偏度 (或缺乏对称性) 是通过以下方式衡量的
$$
S=\frac{\left[E(X-\mu)^3\right]^2}{\left[E(X-\mu)^2\right]^3}=\frac{\text { Square of the } 3 r d \text { moment about the mean }}{\text { Cube of the variance }}
$$
峰度 (平坦度的度量) 是通过以下方式测量的
$$
\kappa=\frac{F(X-\mu)^4}{\left[E(X-\mu)^2\right]^2}=\frac{4 \text { th moment ahout the mean }}{\text { Square of the variance }}
$$
对于正态分布 $S=0$ 和 $\kappa=3$. 因此，Jarque-Bera (JB) 统计量由下式给出
$$
J B=n\left[\frac{S^2}{6}+\frac{(\kappa-3)^2}{24}\right]
$$
在哪里 $S$ 代表偏度和 $\kappa$ 表示 OLS 残差的峰度。该统计量渐近分布为 $\chi^2$ 有两个自由度 $H_0$. 拒绝 $H_0$ 拒绝干扰 的正态性但不提供替代分布。从这个意义上说，测试是非建设性的。另外，不拒绝 $\mathrm{H}_0$ 并不一定意味着干 扰的分布是正常的；这仅意味着我们不拒绝扰动的分布是对称的并且峰度为 3 。请参见第 1 节中的经验 示例。5.3一个例子。Jarque-Bera 测试是使用 EViews 的标准输出的一部分。
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Heteroskedasticity
违反假设 $3.2$ 意味着扰动具有变化的方差，即 $E\left(u_i^2\right)=\sigma_i^2, i=1,2, \ldots, n$. 首先，我们研究了这种违规 行为对 OLS 估计量的影响。对于简单的线性回归，很明显 $\widehat{\beta} O L S$ 在等式中给出。(3.5) 仍然是无偏且一 致的，因为这些属性取决于假设 $3.1$ 和 3.4，而不是假设 3.2。然而，方差 $\widehat{\beta} O L S$ 现在不同了
$$
\operatorname{var}(\widehat{\beta} O L S)=\operatorname{var}\left(\sum i=1^n w_i u_i\right)=\sum_{i=1}^n w_i^2 \sigma_i^2=\sum_{i=1}^n x_i^2 \sigma_i^2 /\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^2
$$
其中第二个等式来自假设 $3.3$ 而事实是 $\operatorname{var}(\mathrm{u} i)$ 就是现在 $\sigma_i^2$. 请注意，如果 $\sigma_i^2=\sigma^2$. 这又回到 $\sigma^2 / \sum i=1^n x_i^2$ ，通常的公式为 $\operatorname{var}(\widehat{\beta} O L S)$ 在同方差下。此外，可以证明 $E\left(s^2\right)$ 将涉及所有 $\sigma_i^2, \mathrm{~s}$ 而 不是一个常见的 $\sigma^2$ ，请参见问题 1。这意味着回归包报告 $s^2 / \sum i=1^n x_i^2$ 作为方差的估计 $\widehat{\beta}{O L S}$ 犯了两 个错误。第一，它没有使用正确的方差公式，即 当量。(5.9)。其次，它正在使用 $s^2$ 估计一个共同的 $\sigma^2$ 当事实上 $\sigma_i^2$ 的是不一样的 使用的偏见 $s^2 / \sum{i=1}^n x_i^2$ 作为估计var $(\widehat{\beta} O L S)$ 将取决于异方差性和回归变量的性质。事实上，如果 $\sigma_i^2$ 正相关于 $x_i^2$, 可以证明 $s^2 / \sum i=1^n x_i^2$ 低估了真实方差，因此t- 报告的统计数据 $\beta=0$ 被夸大了，置信区间为 $\beta$ 比预期的要 紧，请参见问题 2 。这意味看 $t$ – 这种情况下的统计数据偏向于拒绝 $H_0 ; \beta=0$ ，即显示回归斜率系数的 显着性，当它可能不显着时。
OLS估计量 $\beta$ 是线性无偏且一致的，但是当假设时它仍然是蓝色的 $3.2$ 被侵犯? 为了回答这个问题，我们 注意到如果 $\operatorname{var}\left(u_i\right)=\sigma_i^2$, 可以分 $u_i$ 经过 $\sigma_i / \sigma$ ， 以及由此产生的 $u_i^{=} \sigma u_i / \sigma_i$ 会有一个常量方差 $\sigma^2$. 很容 易证明在^满足第 1 章的所有经典假设。3 包括同方差性。回归模型变为
$$
\sigma Y_i / \sigma_i=\alpha \sigma / \sigma_i+\beta \sigma X_i / \sigma_i+u_i^*
$$
此模型 (5.10) 上的 OLS 为蓝色。(5.10) 的 OLS 正规方程是
$$
\sum_{i=1}^n\left(Y_i / \sigma_i^2\right)=\alpha \sum_{i=1}^n\left(1 / \sigma_i^2\right)+\beta \sum_{i=1}^n\left(X_i / \sigma_i^2\right) \quad \sum_{i=1}^n\left(Y_i X_i / \sigma_i^2\right)=\alpha \sum_{i=1}^n\left(X_i / \sigma_i^2\right)+\beta \sum_{i=1}^n\left(X_i^2 / \sigma_i^2\right)
$$
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