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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Renewal Reward Process
Consider an ordinary renewal process generated by the sequence $\left[X_n, n \geq 1\right}$ of interarrival times. Suppose that each time a renewal occurs, a reward is received or a cost is incurred (e.g. for replacement of a failed component). Denote the reward or cost associated with $n$th renewal by $Y_n, n \geq 1$. Now $Y_n$ will usually depend on $X_n$, the duration of the interarrival time between $(n-1)^{\text {th }}$ and $n$th renewal. In such a case we assume that the sequence of pairs $\left[X_n, Y_n, n \geq 1\right}$ are i.i.d. The sequence of pairs of i.i.d. random variables $\left{X_n, Y_n\right}$ is said to generate a Renewal Reward process. Now $Y(t)=\sum_{n=1}^{N(t)} Y_n$ gives the total reward carried (or cost incurred) by time $t$ and ${Y(t), t \geq 0}$ is called the renewal reward process generated by $\left{X_n, Y_n\right}$.
Theorem 4.7 Suppose $E(X)<\infty, E|Y|<\infty$, then
(a) $Y(t) / t \rightarrow E(Y) / E(X)$ as $t \rightarrow \infty$ a.s.
(b) $E(Y(t) / t) \rightarrow E(Y) / E(X)$ as $t \rightarrow \infty$.
(a) $\frac{Y(t)}{t}=\frac{Y(t)}{N(t)} \cdot \frac{N(t)}{t}=\frac{\sum_{n=1}^{N(t)} Y_n}{N(t)} \cdot \frac{N(t)}{t}$
By Kolmogorov’s SILN for i.i.d. r.v.s $S_n / n \rightarrow E(X)$ a.s. as $n \rightarrow \infty$.
Let $M(t)=\inf \left{n: S_n>t\right}=N(t)+1$.
Since $N(t) / t$ or $\frac{M(t)}{t}=(N(t)+1) / t \rightarrow 1 / E(X)>0$ a.s. as $t \rightarrow \infty$ $M(t)$ or $N(t) \rightarrow \infty$ as $t \rightarrow \infty$ if $0<E(X)<\infty$.
Let $S_n^=\sum_{i=1}^n Y_i, A=\left{\omega: S_n^(\omega) / n \rightarrow E(Y)\right}, B={\omega: M(t, \omega) \rightarrow \infty}$ and $C=$ $\left{\omega: S_{M(t)}^*(\omega) / M(t) \rightarrow E(Y)\right}$
统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Age and Block Replacement Policies
The usual replacement policy implies replacement of a component as and when it fails, by a similar new one. The most important replacement policies general use are age and block replacement policies.
Definition 4.5 In age replacement policy a unit is replaced upon failure or at age $T$, which ever comes first.
Definition 4.6 In a block replacement policy the unit in operation is replaced upon failure and at times $T, 2 T, 3 T, \ldots$
The age replacement policy is administratively more difficult to implement, as it requires the age of the unit to be recorded. Whereas block replacement policy, though simpler to administer as the age of the unit need not be recorded, leads to more frequent replacements of relatively new items. The word “block” is used to imply that in practice a block or set of components will be replaced at times $T, 2 T, 3 T, \ldots$ regardless of which have failed. Suppose that the successive life times of the units are r.v.s with a common d.f. $F(x)$ having mean $\mu$.
$\mathrm{T}$ is called the replacement interval under these policies.
Let $N(t)=$ Number of renewals in $[0, t]$ for ordinary renewal process,
$N_A(t, T)=$ Number of renewals in $[0, t]$ under age replacement policy,
$N_D(t, T)=$ Number of renewals in $[0, t]$ under block replacement policy,
Denote by
$H(t)=E N(t), H_A(t, T)=E N_A(t, T), H_D(t, T)=E N_B(t, T)$ the corresponding renewal functions.
随机过程代考
统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Renewal Reward Process
考虑由序列生成的普通更新过程 \left[X_n, $n \backslash g$ eq 1\right } } \text { 到达间隔时间。假设每次更新发生时，都会收到 } 奖励或产生成本 (例如，更换故障组件)。表示与相关的奖励或成本 $n$ 第 次更新 $Y_n, n \geq 1$. 现在 $Y_n$ 通常 会取决于 $X_n$ ，之间的间隔时间的持续时间 $(n-1)^{\text {th }}$ 和 $n$ 第次更新。在这种情况下，我们假设对的序列 Reward过程。现在 $Y(t)=\sum_{n=1}^{N(t)} Y_n$ 给出按时间计算的总奖励 (或产生的成本) $t$ 和 $Y(t), t \geq 0$ 称为更 新奖励过程产生的 Yleft{X_n, Y_n!right}.
定理 $4.7$ 假设 $E(X)<\infty, E|Y|<\infty$ ，那么. (a) $Y(t) / t \rightarrow E(Y) / E(X)$ 作为 $t \rightarrow \infty$ 作为 (二) $E(Y(t) / t) \rightarrow E(Y) / E(X)$ 作为 $t \rightarrow \infty$. (一个) $\frac{Y(t)}{t}=\frac{Y(t)}{N(t)} \cdot \frac{N(t)}{t}=\frac{\sum_{n=1}^{N(t)} Y_n}{N(t)} \cdot \frac{N(t)}{t}$ 由 Kolmogorov 的 SILN for iidrvs $S_n / n \rightarrow E(X)$ 作为 $n \rightarrow \infty$. 让 $M(t)=\backslash$ inf $\backslash$ left{n: S_n>t|right $=N(t)+1$.
自从 $N(t) / t$ 或者 $\frac{M(t)}{t}=(N(t)+1) / t \rightarrow 1 / E(X)>0$ 作为 $t \rightarrow \infty M(t)$ 或者 $N(t) \rightarrow \infty$ 作为 $t \rightarrow \infty$ 如果 $0<E(X)<\infty$.
让
和 $C=\backslash$ left^omega: $\mathrm{S}_{-}{\mathrm{M}(\mathrm{t})}^{\wedge *} \cap$ (lomega) $/ \mathrm{M}(\mathrm{t}) \backslash$ rightarrow $\mathrm{E}(\mathrm{Y}) \backslash$ right $}$
统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Age and Block Replacement Policies
通常的更换政策意味着当一个组件出现故障时，用一个类似的新组件进行更换。一般使用的最重要的替 换策略是年龄和块替换策略。
定义 4.5 在老化更换政策中，一个单元在发生故障或老化时被更换 $T$ ，以先到者为准。
定义 $4.6$ 在块替换策略中，运行中的单元在发生故障时被替换，有时 $T, 2 T, 3 T, \ldots$
年龄置换政策在行政上更难实施，因为它需要记录单位的年龄。而块替换策略虽然由于不需要记录单元 的年龄而更易于管理，但会导致更频慗地替换相对较新的项目。”块”一词用于暗示在实践中有时会菴换 一个块或一组组件 $T, 2 T, 3 T, \ldots$ 不管哪个都失败了。假设单元的连续生命周期是具有共同 df 的 rvs $F(x)$ 意思是 $\mu$.
$\mathrm{T}$ 在这些政策下称为更换间隔。
让 $N(t)=$ 续订次数 $[0, t]$ 对于普通的更新过程，
$N_A(t, T)=$ 续订次数 $[0, t]$ 根据年龄更替政策，
$N_D(t, T)=$ 续订次数 $[0, t]$ 根据块替换策略，
表示为
$H(t)=E N(t), H_A(t, T)=E N_A(t, T), H_D(t, T)=E N_B(t, T)$ 相应的更新功能。
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