统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|STAT6175

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统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Ordinal Variables

Some variables have a natural order. We can use the methods for nominal variables described earlier in this chapter, but more information can be extracted by taking advantage of the structure of the data. Sometimes we might identify a particular ordinal variable as the response. In such cases, the methods of Section $7.4$ can be used. However, sometimes we are interested in modeling the association between ordinal variables. Here the use of scores can be helpful.

Consider a two-way table where both variables are ordinal. We may assign scores $u_i$ and $v_j$ to the rows and columns such that $u_1 \leq u_2 \leq \cdots \leq u_I$ and $v_1 \leq v_2 \leq \cdots \leq v_J$. The assignment of scores requires some judgment. If you have no particular prefer-ence, even spacing allows for the simplest interpretation. If you have an interval scale, for example, 0-10 years old, 10-20 years old, 20-40 years old and so on, midpoints are often used. It is a good idea to check that the inference is robust to the assignment of scores by trying some reasonable alternative choices. If your qualitative conclusions are changed, this is an indication that you cannot make any strong finding.
Now fit the linear-by-linear association model:
$$
\log E Y_{i j}=\log \mu_{i j}=\log n p_{i j}=\log n+\alpha_i+\beta_j+\gamma u_i v_j
$$
So $\gamma=0$ means independence while $\gamma$ represents the amount of association and can be positive or negative. $\gamma$ is rather like an (unscaled) correlation coefficient. Consider underlying (latent) continuous variables which are discretized by the cutpoints $u_i$ and $v_j$. We can then identify $\gamma$ with the correlation coefficient of the latent variables. Consider an example drawn from a subset of the 1996 American National Election Study (Rosenstone et al. (1997)). Using just the data on party affiliation and level of education, we can construct a two-way table.

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Multinomial Logit Model

As with the binary response model, we must find a way to link the probabilities $p_{i j}$ to the predictors $x_i$, while ensuring that the probabilities are restricted between zero and one. We can use a similar idea:
$$
\eta_{i j}=x_i^T \beta_j=\log \frac{p_{i j}}{p_{i 1}}, \quad j=2, \ldots, J
$$
We must obey the constraint that $\sum_{j=1}^J p_{i j}=1$, so it is convenient to declare one of the categories as the baseline, say, $j=1$. So we get $p_{i 1}=1-\sum_{j=2}^J p_{i j}$ and have:
$$
p_{i j}=\frac{\exp \left(\eta_{i j}\right)}{1+\sum_{j=2}^J \exp \left(\eta_{i j}\right)}
$$
Note that $\eta_{i 1}=0$. It does not matter which category is declared as the baseline although some choices may be more convenient for interpretation. We may estimate the parameters of this model using maximum likelihood and then use the standard methods of inference.

Consider an example drawn from a subset of the 1996 American National Election Study (Rosenstone et al. (1997)). For simplicity, we consider only the age,education level and income group of the respondents. Our response will be the party identification of the respondent: Democrat, Independent or Republican. The original data involved more than three categories; we collapse this to three, again for simplicity of the presentation.

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广义线性模型代考

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Ordinal Variables

一些变量具有自然顺序。我们可以使用本章前面描述的名义变量的方法,但可以利用数据的结构提取更 多信息。有时我们可能会将特定的序数变量标识为响应。在这种情况下,Section 的方法7.4可以使用。 然而,有时我们有兴趣对序数变量之间的关联进行建模。在这里使用分数可能会有所帮助。
考虑一个双向表,其中两个变量都是有序的。我们可能会分配分数 $u_i$ 和 $v_j$ 到行和列,这样 $u_1 \leq u_2 \leq \cdots \leq u_I$ 和 $v_1 \leq v_2 \leq \cdots \leq v_J$. 分数的分配需要一些判断。如果您没有特别的偏好,即使 是间距也可以进行最简单的解释。如果你有一个区间尺度,比如0-10岁、10-20岁、20-40岁等等,通常 会用到中点。通过尝试一些合理的替代选择来检查推理对分数分配的鱼棒性是个好主意。如果您的定性 结论发生变化,则表明您无法做出任何有力的发现。 现在拟合线性关联模型:
$$
\log E Y_{i j}=\log \mu_{i j}=\log n p_{i j}=\log n+\alpha_i+\beta_j+\gamma u_i v_j
$$
所以 $\gamma=0$ 意味看独立,同时 $\gamma$ 表示关联的数量,可以是正数也可以是负数。 $\gamma$ 更像是一个 (末缩放的) 相关系数。考虑由切点离散化的基础 (潜在) 连续变量 $u_i$ 和 $v_j$. 然后我们可以识别 $\gamma$ 与潜在变量的相关系 数。考虑从 1996 年美国全国选举研究 (Rosenstone et al. (1997)) 的子集中提取的一个例子。仅使用党 派和受教育程度的数据,我们可以构建一个双向表。

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Multinomial Logit Model

与二元响应模型一样,我们必须找到一种方法来链接概率 $p_{i j}$ 对预测者 $x_i$ ,同时确保概率限制在䨐和一之 间。我们可以使用类似的想法:
$$
\eta_{i j}=x_i^T \beta_j=\log \frac{p_{i j}}{p_{i 1}}, \quad j=2, \ldots, J
$$
我们必须服从约束 $\sum_{j=1}^J p_{i j}=1$ ,所以声明其中一个类别作为基线很方便,比如说, $j=1$. 所以我们得 到 $p_{i 1}=1-\sum_{j=2}^J p_{i j}$ 并且有:
$$
p_{i j}=\frac{\exp \left(\eta_{i j}\right)}{1+\sum_{j=2}^J \exp \left(\eta_{i j}\right)}
$$
注意 $\eta_{i 1}=0$. 将哪个类别声明为基线并不重要,尽管某些选择可能更便于解释。我们可以使用最大似然 估计该模型的参数,然后使用标准的推理方法。
考虑从 1996 年美国全国选举研究 (Rosenstone et al. (1997)) 的子集中提取的一个例子。为简单起见, 我们只考虑受访者的年龄、教育水平和收入组别。我们的答复将是受访者的党派身份:民主党、独立党 或共和党。原始数据涉及三个以上类别;我们将其折疍为三个,同样是为了简化演示。

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