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数学代写|密码学代写cryptography theory代考|DIFFIE-HELLMAN
We have used the Diffie-Hellman problem and its variants as examples. One question about reductions remain, however. Does there exist a reduction from the discrete logarithm problem to the Diffie-Hellman problem? Suprisingly, the answer is yes in some cases.
Let $G$ be a cyclic group of prime order $p$ with generator $g$. Define $\boxplus$ : $G \times G \rightarrow G$ by $x \boxplus y=x y$, and $\square: G \times G \rightarrow G$ by $x \square y=x^{\log _g y}$. Then $\mathbb{K}=(G, \boxplus, \square)$ is a finite field with $p$ elements, and hence isomorphic to $\mathbb{F}_p$.
Exercise 6.15. Show that the isomorphism $\mathbb{K} \rightarrow \mathbb{F}_p$ is given by $\log _g$, while its inverse is the map $a+\langle p\rangle \mapsto g^a$.
When we think of an element $x \in G$ as an element in $\mathbb{K}$, we shall denote it by $[x]$. Suppose we have an integer $k$ such that $[x]=[y]^k$ in $\mathbb{K}$. Then mapping the relation to $\mathbb{F}_p$, we get that
$$
\log _g x \equiv\left(\log _g y\right)^k \quad(\bmod p) .
$$
If we happen to know $\log _g y$, we can compute $\log _g x$.
So far, this is not actually interesting. However, suppose we have access to an oracle that on input of $(x, y)$ outputs $x^{\log _g y}$. This means that $\mathbb{K}$ is not just an imagined mathematical structure, but a mathematical structure we can actually compute in. We compute the addition as $[x] \boxplus[y]=[x y]$ and use the oracle to compute multiplications $[x] \longrightarrow[y]$.
So how would we find the relation $[x]=[y]^k$ ? Recall that $\mathbb{K}^$ is a cyclic group, so in particular any of the generic discrete logarithm algorithms we studied in Section $2.2$ could work. In particular, if $p-1$ has no large prime divisors, Pohlig-Hellman in combination with Shanks’ BSGS or Pollard’s rho method would work well. To find the relation, all we need to do is find a generator $[y]$ for $\mathbb{K}^$ and compute $\log _{[y]}[x]$.
Exercise 6.16. Let $G$ be a group of prime order $p$ with generator $g$, where $p \approx 2^{256}$. Suppose also that $p-1$ is square-free and has no prime divisor larger than $2^8$.
Estimate how many multiplications in $\mathbb{K}^$ are required to compute discrete logarithms in $\mathbb{K}^$.
Suppose we have a $2^{60}$-solver for $\mathrm{CDH}_{G, g}$ that always outputs the correct answer. Estimate the time cost of computing a discrete logarithm using the reduction from DLog to $\mathrm{CDH}$.
数学代写|密码学代写cryptography theory代考|LATTICE PROBLEMS
We defined a number of problems related to lattices in Sections $3.5$ and $3.6$. While these are fundamentally important, we shall only consider the problem we will actually use in the design and analysis of cryptosystems.
Learning With Errors We first introduced the learning with errors problem in Section 3.6.2, related to $q$-ary lattices. There is very strong evidence that this problem is hard, even against adversaries who can do large quantum computations. (Essentially, it is possible to turn a solver for learning with errors into a solver for fundamental problems related to lattices. We shall not explore these results.)
Example 6.13. Let $q$ be a prime, $\chi_s$ a probability space on $\mathbb{F}_q^l$ and $\chi$ a probability space on $\mathbb{F}_q^n$. The (search) learning with errors (LWE) problem has instance set $\mathbb{F}_q^{n \times l} \times \mathbb{F}_q^n$ and answer set $\mathbb{F}_q^l$. The sampling algorithm samples
There is a large number of parameters in the LWE problem, including the prime $q$, the two dimensions $n$ and $l$, and the exact shape of the two probability distributions. Their relationship with the difficulty of solving LWE is quite complicated. Also, there are sometimes functional requirements on the parameters as well.
As usual, there is also a decision variant of the learning problem. We shall phrase this in terms of a sampling oracle problem.
Example 6.14. Let $q$ be a prime, $\chi_s$ a probability space on $\mathbb{F}q^l$ and $\chi$ a probability space on $\mathbb{F}_q$. The decision learning with errors problem $\operatorname{LWE}{q, l, \chi}, \chi$ provides the solver with the following oracle: Initially, it samples $\beta \stackrel{r}{\leftarrow}{0,1}$ and $\mathrm{b} \stackrel{r}{\longleftarrow} \chi_s$. When it is asked for a sample, the oracle samples $\mathrm{g} \leftarrow \mathbb{F}_q^l, f \stackrel{ }{ }{ }^{\Gamma} \chi$ and $y_1 \leftarrow \mathbb{F}_q$, computes $y_0 \leftarrow \mathbf{g} \cdot \mathbf{b}+f$, and returns ( $\left(\mathrm{g}, y_b\right)$. The answer is $\beta$.
Observe that this sampling formulation reveals the rows of $\mathrm{G}$ and the coordinates of $\mathrm{y}$ one by one.
Under some circumstances, the decision LWE problem reduces to the search LWE problem. In particular, this means that variants of LWE that make decision oracles available are often easy.
One way to change the LWE problem is to add structure to the matrix $\mathrm{G}$. This has the advantage that the matrix description requires less space and some computational operations are faster. In principle, the added structure may make the problems easier, but this seems not to be the case when the problems are properly tuned.
We add structure by working over a ring $\mathbb{F}_q[X] /\langle f(X)\rangle$ for some polynomial of degree $n$. This polynomial need not be irreducible. The effect is that the lattice is not just a $q$-ary lattice but also an ideal lattice. We only define the decision variant of the LWE problem.
密码学代考
数学代写|密码学代写cryptography theory代考|DIFFIE-HELLMAN
我们以 Diffie-Hellman 问题及其变体为例。然而，关于削减的一个问题仍然存在。是否存在从离散对数 问题到 Diffie-Hellman 问题的归约? 令人惊讶的是，在某些情况下答案是肯定的。
让 $G$ 是嗉数阶的循环群 $p$ 带发电机 $g$. 定义田: $G \times G \rightarrow G$ 经过 $x \boxplus y=x y$ ，和 $\square: G \times G \rightarrow G$ 经过 $x \square y=x^{\log g y}$. 然后 $\mathbb{K}=(G, \boxplus, \square)$ 是一个有限域 $p$ 元嫊，因此同构于 $\mathbb{F}_p$. 练习6.15。证明同构 $\mathbb{K} \rightarrow \mathbb{F}_p$ 是 (谁) 给的 $\log _g$ ，而它的逆是地图 $a+\langle p\rangle \mapsto g^a$. 当我们想到一个元嫊 $x \in G$ 作为一个元嫊 $\mathbb{K}$ ，我们将其表示为 $[x]$. 假设我们有一个整数 $k$ 这样 $[x]=[y]^k$ 在 $\mathbb{K}$. 然后将关系映射到 $\mathbb{F}_p$ ，我们得到 $$ \log _g x \equiv\left(\log _g y\right)^k \quad(\bmod p) . $$ 如果我们碰巧知道 $\log _g y$, 我们可以计算 $\log _g x$. 到目前为止，这实际上并不有趣。但是，假设我们可以访问一个 oracle，它可以输入 $(x, y)$ 产出 $x^{\log _9} y$. 这意味着㢟不仅仅是想象的数学结构，而是我们可以实际计算的数学结构。我们将加法计算为 $[x] \boxplus[y]=[x y]$ 并使用 oracle 计算乘法 $[x] \longrightarrow[y]$. 那么我们如何找到关系 $[x]=[y]^k$ ? 回顾 $\backslash \mid \mathrm{mathbb}{\mathrm{K}}^{\wedge}$ 是一个循环群，所以特别是我们在第 $2.2$ 可以工 作。特别是，如果 $p-1$ 没有大的质因数，Pohlig-Hellman 结合 Shanks 的 BSGS 或 Pollard 的 rho 方法 会很有效。要找到关系，我们需要做的就是找到一个生成器 $[y]$ 为了 $\backslash m a t h b b{K}^{\wedge}$ 并计算 $\log {[y]}[x]$.
练习6.16。让 $G$ 是一组嫊数阶 $p$ 带发电机 $g$ ，在哪里 $p \approx 2^{256}$. 还假设 $p-1$ 无平方且没有大于的质因数 $2^8$
估计有多少次乘法 $\backslash m a t h b b{K}^{\wedge}$ 需要计算蓠散对数 $\backslash \backslash m a t h b b{K}^{\wedge}$.
假设我们有一个 $2^{60}$-求解器 $\mathrm{CDH}_{G, g}$ 总是输出正确的答案。估计使用从 DLog 减少到计算离散对数的时 间成本CDH.
数学代写|密码学代写cryptography theory代考|LATTICE PROBLEMS
我们在章节中定义了一些与格相关的问题 $3.5$ 和 $3.6$. 虽然这些从根本上很重要，但我们将只考虑我们将在 密码系统的设计和分析中实际使用的问题。
Learning With Errors 我们在 $3.6 .2$ 节中首先介绍了 learning with errors 问题，与 $q$-元格。有非常有力的 证据表明这个问题很难解决，即使是针对可以进行大型量子计算的对手也是如此。（从本质上讲，可以 将用于学习错误的求解器转变为与格相关的基本问题的求解器。我们不会探索这些结果。）
示例 6.13。让 $q$ 成为素数， $\chi_s$ 上的概率空间 $\mathbb{F}_q^l$ 和 $\chi$ 上的概率空间 $\mathbb{F}_q^n$. (search) learning with errors (LWE) 问题有实例集 $\mathbb{F}_q^{n \times l} \times \mathbb{F}_q^n$ 和答案集 $\mathbb{F}_q^l$. 采样算法 samples
LWE问题中有大量的参数，包括嫊数 $q$, 两个维度 $n$ 和 $l$, 以及两个概率分布的确切形状。它们与 LWE 求解 难度的关系相当复杂。此外，有时对参数也有功能要求。
像往常一样，学习问题也有一个决策变体。我们将根据抽样预言机问题来表述这一点。
示例 6.14。让 $q$ 成为㨞数， $\chi_s$ 上的概率空间 $\mathbb{F} q^l$ 和 $\chi$ 上的概率空间 $\mathbb{F}_q$. 有错误的决策学习问题
LWE $q, l, \chi, \chi$ 为求解器提供以下 oracle: 最初，它采样 $\beta \stackrel{r}{\leftarrow} 0,1$ 和 $\mathrm{b} \stackrel{r}{\longleftarrow} \chi_s$. 当被要求提供样本时， oracle 样本 $\mathrm{g} \leftarrow \mathbb{F}_q^l, f^{\Gamma} \chi$ 和 $y_1 \leftarrow \mathbb{F}_q$, 计算 $y_0 \leftarrow \mathbf{g} \cdot \mathbf{b}+f$ ，并返回 $\left(\left(\mathrm{g}, y_b\right)\right.$. 答案是 $\beta$.
观察这个抽样公式揭示了行G和坐标y逐个。
在某些情况下，决策 LWE 问题简化为搜索 LWE 问题。特别是，这意味着使决策预言可用的 LWE 变体通 常很容易。
改变 LWE 问题的一种方法是向矩阵添加结构 $G$. 这样做的好处是矩阵描述需要的空间更少，一些计算操 作更快。原则上，增加的结构可能会使问题变得更简单，但当问题调优得当时，似乎并非如此。
我们通过在环上工作来添加结构 $\mathbb{F}_q[X] /\langle f(X)\rangle$ 对于一些度多项式 $n$. 该多项式不必是不可约的。效果是 格子不仅仅是一个 $q$ 元格也是理想格。我们只定义 LWE 问题的决策变体。
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