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数学代写|密码学代写cryptography theory代考|FACTORING USING A QUANTUM COMPUTER
Our goal is to set up a quantum system with an amplitude distribution like (5.2) and apply the quantum Fourier transform, which will result in a quantum system where we know that the likelihood of measuring a $k$ satisfying (5.1) is at least $4 / \pi^2$. We then measure such a $k$ and compute a rational approximation which gives us the period of the function $f$, which allows us to factor $n$.
We begin with a two entangled quantum registers, one with $\log 2 N$ qubits and the other with $\left\lceil\log _2 n\right\rceil$ qubits. The first register should contain a superposition of the integers $0,1,2, \ldots, N-1$, all with the same amplitude, while the second register should contain 0 . We have the state $$ \sum{j=0}^{N-1} \frac{1}{\sqrt{N}}|j\rangle|0\rangle .
$$
Using a quantum circuit, we compute $f$ on the first register, storing the result in the second register. Since any classical computation can be done on a quantum computer, computing $f$ is easy. Our two quantum registers now contain a superposition of $(k, f(k))$ for $k=0,1, \ldots, N-1$, all being equally likely, and we have the new state
$$
\sum_{j=0}^{N-1} \frac{1}{\sqrt{N}}|j\rangle|f(j)\rangle .
$$
Next, we measure the second register. Suppose we measure the value $s$. Since we have not yet measured the first register, we do not know what it contains, but since it was entangled with the second register, every value we could possible measure must be consistent with $s$. Suppose $t_0$ is the smallest non-negative integer such that $f\left(t_0\right)=s$. Then the only values we can measure in the first register are the integers $t_0+j r$.
Since we had a uniform probability before we measured the second register, we must have a uniform probability after measuring. We now have $m$ possible states, so we have the state
$$
\sum_{j=0}^{m-1} \frac{1}{\sqrt{m}}\left|t_0+j r\right\rangle|s\rangle .
$$
In other words, if we ignore the second register which is constant, our first register now has exactly the amplitudes given by (5.2).
We then use a second quantum circuit to compute the quantum Fourier transform on the first register. And then we measure the first register. As discussed, we will with significant probability measure a $k$ satisfying (5.1), which will allow us to factor $n$.
数学代写|密码学代写cryptography theory代考|STATISTICAL DISTANCE
We shall sometimes need to consider sampling algorithms that are slightly different. The answer to the Decision Diffie-Hellman problem is not unique, and sometimes it would be convenient if it was.
Example 6.7. The $\mathrm{DDH}{G, g}^{\prime}$ is identical to the $\mathrm{DDH}{G, g}$ problem, except that the sampling algorithm samples $z_1 \longleftarrow G \backslash\left{z_0\right}$, not $z_1 \longleftarrow r G$.
We need tools to reason about such small differences.
Definition 6.1. Let $\mathcal{X}0, \mathcal{X}_1$ be probability spaces on a finite set $S$. The statistical distance between $\mathcal{X}_0$ and $\mathcal{X}_1$ is $$ \Delta\left(\mathcal{X}_0, \mathcal{X}_1\right)=\frac{1}{2} \sum{s \in S}\left|\operatorname{Pr}\left[\mathcal{X}0=s\right]-\operatorname{Pr}\left[\mathcal{X}_1=s\right]\right| . $$ Two probability spaces are $\epsilon$-close if the statistical distance is at most $\epsilon$. Exercise 6.8. Compute the statistical distance between the instance sampling algorithm for $\mathrm{DDH}{G, g}$ and $\mathrm{DDH}_{G, g}^{\prime}$.
Exercise 6.9. Fix a finite set $S$. Show that the statistical distance $\Delta$ is a metric on the set of probability spaces on $S$.
If we consider a fixed algorithm and give it input sampled from two different probability spaces, the statistical distance between the outputs will be bounded by the statistical distance of the inputs.
Exercise 6.10. Let $\mathcal{A}$ be an algorithm that takes as input elements of a finite set $S$ and outputs elements of a finite set $T$, and let $\mathcal{X}_0, \mathcal{X}_1$ be probability spaces on $S$. Define $\mathcal{Y}_i$ to be the probability space on $T$ induced by sampling $s \leftarrow \mathcal{X}_i$ and computing $u \leftarrow \mathcal{A}(s)$. Show that
$$
\Delta\left(\mathcal{Y}_0, \mathcal{Y}_1\right) \leq \Delta\left(\mathcal{X}_0, \mathcal{X}_1\right)
$$
Two probability spaces are statistically indistinguishable if their statistical distance is small. The origin of the phrase lies in the following result.
Proposition 6.1. Let $\mathcal{X}0, \mathcal{X}_1$ be probability spaces on a finite set $S$, and let $\mathcal{A}$ be a distinguisher for $\mathcal{X}_0$ and $\mathcal{X}_1$. Then $$ \operatorname{Adv}{\mathcal{X}_0, \mathcal{X}_1}^{\text {dist }}(\mathcal{A}) \leq 2 \Delta\left(\mathcal{X}_0, \mathcal{X}_1\right)
$$
密码学代考
数学代写|密码学代写cryptography theory代考|FACTORING USING A QUANTUM COMPUTER
我们的目标是建立一个具有类似 (5.2) 振幅分布的量子系统并应用量子傅里叶变换，这将导致一个量子系 统，我们知道测量一个的可能性 $k$ 满足 (5.1) 至少是 $4 / \pi^2$. 然后我们测量这样一个 $k$ 并计算一个有理逼近， 它给了我们函数的周期 $f$, 这让我们可以考虑 $n$.
我们从两个纠缠的量子奇存器开始，一个是 $\log 2 N$ 量子位和另一个与 $\left[\log 2 n\right\rceil$ 量子比特。第一个奇存器 应该包含整数的碮加 $0,1,2, \ldots, N-1$ ，都具有相同的振幅，而第二个寄存器应包含 0 。我们有状态 $$ \sum j=0^{N-1} \frac{1}{\sqrt{N}}|j\rangle|0\rangle . $$ 使用量子电路，我们计算 $f$ 在第一个奇存器上，将结果存储在第二个奇存器中。由于任何经典计算都可以 在量子计算机上完成，计算 $f$ 简单。我们的两个量子奇存器现在包含一个㞓加 $(k, f(k))$ 为了 $k=0,1, \ldots, N-1$ ，所有的可能性都一样，我们有新的状态 $$ \sum{j=0}^{N-1} \frac{1}{\sqrt{N}}|j\rangle|f(j)\rangle .
$$
接下来，我们测量第二个奇存器。假设我们测量值 $s$. 由于我们还没有测量第一个奇存器，我们不知道它 包含什么，但由于它与第二个奇存器纠緾在一起，我们可以测量的每个值都必须与 $s$. 认为 $t_0$ 是最小的非 负整数，使得 $f\left(t_0\right)=s$. 那么我们可以在第一个奇存器中测量的唯一值是整数 $t_0+j r$.
由于我们在测量第二个奇存器之前具有均匀概率，因此在测量之后我们必须具有均匀概率。我们现在有 $m$ 可能的状态，所以我们有状态
$$
\sum_{j=0}^{m-1} \frac{1}{\sqrt{m}}\left|t_0+j r\right\rangle|s\rangle .
$$
换句话说，如果我们忽略常数的第二个奇存器，我们的第一个奇存器现在正好具有由 (5.2) 给出的振幅。
然后我们使用第二个量子电路来计算第一个奇存器上的量子傅里叶变换。然后我们测量第一个奇存器。 正如所讨论的，我们将以显着的概率测量 $k$ 满足 (5.1)，这将使我们能够分解 $n$.
数学代写|密码学代写cryptography theory代考|STATISTICAL DISTANCE
我们有时需要考虑略有不同的采样算法。Decision Diffie-Hellman 问题的答案不是唯一的，如果唯一的 话有时会很方便。 $z_1 \longleftarrow r G$.
我们需要工具来推断如此微小的差异。
定义 6.1。让 $\mathcal{X} 0, \mathcal{X}1$ 是有限集上的概率空间 $S$. 之间的统计距离 $\mathcal{X}_0$ 和 $\mathcal{X}_1$ 是 $$ \Delta\left(\mathcal{X}_0, \mathcal{X}_1\right)=\frac{1}{2} \sum s \in S\left|\operatorname{Pr}[\mathcal{X} 0=s]-\operatorname{Pr}\left[\mathcal{X}_1=s\right]\right| . $$ 两个概率空间是 $\epsilon$-如果统计距离最多则关闭 $\epsilon$. 练习 6.8。计算实例采样算法之间的统计距离DDH $G, g$ 和 $\mathrm{DDH}{G, g}^{\prime}$
练习 6.9。固定一个有限集 $S$. 表明统计距离 $\Delta$ 是关于概率空间集合的度量 $S$.
如果我们考虑一个固定算法并给它从两个不同概率空间采样的输入，则输出之间的统计距离将受输入统 计距离的限制。
练习 6.10。让 $\mathcal{A}$ 是一种以有限集的输入元嫊为输入的算法 $S$ 并输出有限集的元嫊 $T$ ，然后让 $\mathcal{X}_0, \mathcal{X}_1$ 是概 率空间 $S$. 定义 $\mathcal{Y}_i$ 成为概率空间 $T$ 抽样诱发 $s \leftarrow \mathcal{X}_i$ 和计算 $u \leftarrow \mathcal{A}(s)$. 显示
$$
\Delta\left(\mathcal{Y}_0, \mathcal{Y}_1\right) \leq \Delta\left(\mathcal{X}_0, \mathcal{X}_1\right)
$$
如果两个概率空间的统计距离很小，则它们在统计上是不可区分的。该短语的起源在于以下结果。
提案 6.1。让 $\mathcal{X} 0, \mathcal{X}_1$ 是有限集上的概率空间 $S$ ，然后让 $\mathcal{A}$ 成为区别者 $\mathcal{X}_0$ 和 $\mathcal{X}_1$. 然后
$$
\operatorname{Adv} \mathcal{X}_0, \mathcal{X}_1{ }^{\text {dist }}(\mathcal{A}) \leq 2 \Delta\left(\mathcal{X}_0, \mathcal{X}_1\right)
$$
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