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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|4th-Order Higher Spin Operator D4
Now for the main result in the $4 t h$-order higher spin case.
Theorem 3 Up to a multiplicative constant, the unique 4th-order conformally invariant differential operator is $\mathcal{D}_4: C^{\infty}\left(\mathbb{R}^m, \mathcal{H}_k\right) \longrightarrow C^{\infty}\left(\mathbb{R}^m, \mathcal{H}_k\right)$, where
$$
\mathcal{D}_4=\mathcal{D}_2^2-\frac{8}{(m+2 k-2)(m+2 k-4)} \mathcal{D}_2 \Delta_x .
$$
Hereafter we may suppress the $k$ index for the operator since there is little risk of confusion. The strategy is similar to that used above. It is sufficient to show only invariance under inversion. We have the definition for harmonic inversion as follows.
Definition 3 Harmonic inversion is a (conformal) transformation defined as
$$
\mathcal{J}_4: C^{\infty}\left(\mathbb{R}^m, \mathcal{H}_k\right) \longrightarrow C^{\infty}\left(\mathbb{R}^m, \mathcal{H}_k\right): f(x, u) \mapsto \mathcal{J}_4[f](x, u):=|x|^{4-m} f\left(\frac{x}{|x|^2}, \frac{x u x}{|x|^2}\right)
$$
Note this inversion consists of the classical Kelvin inversion $\mathcal{J}$ on $\mathbb{R}^m$ in the variable $x$ composed with a reflection $u \mapsto \omega u \omega$ acting on the dummy variable $u$ (where $x=$ $|x| \omega$ ) and a multiplication by a conformal weight term $|x|^{4-m}$. It satisfies $\mathcal{J}_4^2=$ 1. Then a similar calculation as in Proposition A.1 in [6] provides the following lemma.
Lemma 8 The special conformal transformation is defined as
$$
\mathcal{C}4:=\mathcal{J}_4 \partial{x_j} \mathcal{J}4=2\langle u, x\rangle \partial{u_j}-2 u_j\left\langle x, D_u\right\rangle+|x|^2 \partial_{x_j}-x_j\left(2 \mathbb{E}_x+m-4\right)
$$
Proposition 2 The special conformal transformations $\mathcal{C}_4$, with $j \in{1,2, \ldots, m}$ are generalized symmetries of $\mathcal{D}_4$. More specifically,
$$
\left[\mathcal{D}_4, \mathcal{C}_4\right]=-8 x_j \mathcal{D}_4 .
$$
In particular, this shows $\mathcal{J}_4 \mathcal{D}_4 \mathcal{J}_4=|x|^8 \mathcal{D}_4$, which generalizes the case of the classical higher order Dirac operator $D_x^4$. This also implies $\mathcal{D}_4$ is invariant under inversion and hence conformally invariant.
If the previous proposition holds, then the conformal invariance of $\mathcal{D}_4$ can be summarized in the following theorem:
Theorem 4 The first-order generalized symmetries of $\mathcal{D}_4$ are given by:
- The infinitesimal rotations $L_{i, j}^x+L_{i, j}^u$, with $1 \leq i<j \leq m$.
- The shifted Euler operator $m+2 \mathbb{E}_x-4$.
- The infinitesimal translations $\partial_{x_j}$, with $1 \leq j \leq m$.
- The special conformal transformations $\mathcal{J}4 \partial{x_j} \mathcal{J}_4$, with $1 \leq j \leq m$.
These operators span a Lie algebra which is isomorphic to the conformal Lie algebra $\mathfrak{s o}(1, m+1)$, whereby the Lie bracket is the ordinary commutator.
Proof The proof is similar as in [14] via transvector algebras.
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Connection with Lower Order Conformally Invariant
To construct higher order conformally invariant operators, one possible method is by composing and combining lower order conformally invariant operators. In this section, we will rewrite our operators $\mathcal{D}3$ and $\mathcal{D}_4$ in terms of first-order and secondorder conformally invariant operators. This might help us to construct higher order conformally invariant differential operators by induction from the lower order ones. Recall $\mathcal{D}_3$ maps $C^{\infty}\left(\mathbb{R}^m, \mathcal{M}_k\right)$ to $C^{\infty}\left(\mathbb{R}^m, \mathcal{M}_k\right)$. If we fix $x \in \mathbb{R}^m$, then for any $f(x, u) \in \mathcal{M}_k$, we have $\mathcal{D}_3 f(x, u) \in \mathcal{M}_k$. In other words, $\mathcal{D}_3$ should be equal to the sum of contributions to $\mathcal{M}_k$ of all terms in $\mathcal{D}_3$. Notice that if we apply each term of $\mathcal{D}_3$ to $f(x, u) \in C^{\infty}\left(\mathbb{R}^m, \mathcal{M}_k\right)$, we will get a $k$-homogeneous polynomial in $u$ that is in the kernel of $\Delta_u^2$. Hence, we can decompose it by harmonic decomposition as follows: $$ \mathcal{P}_k=\mathcal{H}_k \oplus u^2 \mathcal{H}{k-2},
$$
where $\mathcal{P}k$ is the $k$-homogeneous polynomial space and $\mathcal{H}_k$ is the $k$-homogeneous harmonic polynomial space. The Almansi-Fischer decomposition provides further $$ \mathcal{H}_k=\mathcal{M}_k \oplus u \mathcal{M}{k-1},
$$
where $\mathcal{M}k$ is the $k$-homogeneous monogenic polynomial space; therefore, the contribution of each term to $\mathcal{M}_k$ can be written with two projections. For instance, the contribution of $u^3\left\langle D_u, D_x\right\rangle^3 f(x, u)$ to $\mathcal{M}_k$ is $P_k P_1 u^3\left\langle D_u, D_x\right\rangle^3 f(x, u)$, where $$ \mathcal{P}_k \stackrel{P_1}{\rightarrow} \mathcal{H}_k \stackrel{P_k}{\rightarrow} \mathcal{M}_k, $$ and $$ P_1=1+\frac{u^2 \Delta_u}{2(m+2 k-4)}, P_k=1+\frac{u D_u}{m+2 k-2} . $$ We also notice that for fixed $x \in \mathbb{R}^m$ and $f(x, u) \in \mathcal{M}_k$, $$ u^3\left\langle D_u, D_x\right\rangle^3 f(x, u),|u|^2\left\langle D_u, D_x\right\rangle^2 D_x f(x, u) \in u^2 \mathcal{H}{k-2},
$$
and $u\left\langle D_u, D_x\right\rangle D_x^2 \in u \mathcal{M}_{k-1}$. Hence, their contributions to $\mathcal{M}_k$ are all zero. Therefore,
$$
\mathcal{D}_3=P_k P_1\left(D_x^3+\frac{4}{m+2 k}\left\langle u, D_x\right\rangle\left\langle D_u, D_x\right\rangle D_x-\frac{8 u\left\langle u, D_x\right\rangle\left\langle D_u, D_x\right\rangle^2}{(m+2 k)(m+2 k-2)}\right)
$$
复分析代考
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|4th-Order Higher Spin Operator D4
现在对于主要结果 $4 t h$-阶更高的自旋情况。
定理 3 直到一个乘法常数，唯一的四阶共形不变微分算子是 $\mathcal{D}4: C^{\infty}\left(\mathbb{R}^m, \mathcal{H}_k\right) \longrightarrow C^{\infty}\left(\mathbb{R}^m, \mathcal{H}_k\right)$ ， 在哪里 $$ \mathcal{D}_4=\mathcal{D}_2^2-\frac{8}{(m+2 k-2)(m+2 k-4)} \mathcal{D}_2 \Delta_x $$ 以后我们可能会压制 $k$ 操作员的索引，因为混溾的风险很小。该策略与上面使用的策略类似。仅显示反演 下的不变性就足够了。谐波反转的定义如下。 定义 3 谐波反演是一种 (共形) 变换，定义为 $$ \mathcal{J}_4: C^{\infty}\left(\mathbb{R}^m, \mathcal{H}_k\right) \longrightarrow C^{\infty}\left(\mathbb{R}^m, \mathcal{H}_k\right): f(x, u) \mapsto \mathcal{J}_4[f](x, u):=|x|^{4-m} f\left(\frac{x}{|x|^2}, \frac{x u x}{|x|^2}\right) $$ 请注意，此反演由经典的开尔文反演组成 $\mathcal{J}$ 上 $\mathbb{R}^m$ 在变量中 $x$ 由反射组成 $u \mapsto \omega u \omega$ 作用于虚拟变量 $u$ (在 哪里 $x=|x| \omega)$ 和乘以保形权重项 $|x|^{4-m}$. 它满足 $\mathcal{J}_4^2=1$. 然后与 [6] 中的命题 A.1 类似的计算提供了以 下引理。 引理 8 特殊共形变换定义为 $$ \mathcal{C} 4:=\mathcal{J}_4 \partial x_j \mathcal{J} 4=2\langle u, x\rangle \partial u_j-2 u_j\left\langle x, D_u\right\rangle+|x|^2 \partial{x_j}-x_j\left(2 \mathbb{E}_x+m-4\right)
$$
命题 2 特殊保角变换 $\mathcal{C}_4$ ， 和 $j \in 1,2, \ldots, m$ 是广义对称性 $\mathcal{D}_4$ 、进一步来说，
$$
\left[\mathcal{D}_4, \mathcal{C}_4\right]=-8 x_j \mathcal{D}_4
$$
特别地，这表明 $\mathcal{J}_4 \mathcal{D}_4 \mathcal{J}_4=|x|^8 \mathcal{D}_4$ ，它概括了经典高阶狄拉克算子的情况 $D_x^4$. 这也意味着 $\mathcal{D}_4$ 在反演下 不变，因此保形不变。
如果前面的命题成立，那么共形不变性 $\mathcal{D}_4$ 可以总结为以下定理:
定理 4 The first-order generalized symmetries of $\mathcal{D}_4$ 由:
- 无穷小的旋转 $L_{i, j}^x+L_{i, j}^u$ ， 和 $1 \leq i<j \leq m$.
- 移位的欧拉算子 $m+2 \mathbb{E}_x-4$.
- 特殊共形变换 \$\mathcal{}} $4 \backslash$ partial ${x$ j $} \backslash$ mathcal{}}_4, with $1 \backslash l$ eq $j \backslash l$ leq 米
.TheseoperatorsspanaLiealgebrawhichisisomorphictothecon formalLiealgebra
Imathfrak{so}(1, m+1)\$，其中李括号是普通的换向器。
证明证明与 [14] 中的类似，通过向量代数。
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Connection with Lower Order Conformally Invariant
为了构造高阶共形不变算子，一种可能的方法是通过组合和组合低阶共形不变算子。在本节中，我们将 重写我们的运算符 $\mathcal{D} 3$ 和 $\mathcal{D}4$ 在一阶和二阶共形不变算子方面。这可能有助于我们通过从低阶微分算子归 纳来构造高阶共形不变微分算子。记起 $\mathcal{D}_3$ 地图 $C^{\infty}\left(\mathbb{R}^m, \mathcal{M}_k\right)$ 至 $C^{\infty}\left(\mathbb{R}^m, \mathcal{M}_k\right)$.如果我们修复 $x \in \mathbb{R}^m$ ，那么对于任何 $f(x, u) \in \mathcal{M}_k$ ，我们有 $\mathcal{D}_3 f(x, u) \in \mathcal{M}_k$. 换句话说， $\mathcal{D}_3$ 应该等于贡献的总和 $\mathcal{M}_k$ 在所有条款中 $\mathcal{D}_3$. 请注意，如果我们应用每个术语 $\mathcal{D}_3$ 至 $f(x, u) \in C^{\infty}\left(\mathbb{R}^m, \mathcal{M}_k\right)$ ，我们会得到一个 $k$-齐次多项式 $u$ 那是在内核中 $\Delta_u^2$. 因此，我们可以通过调和分解对其进行分解，如下所示: $$ \mathcal{P}_k=\mathcal{H}_k \oplus u^2 \mathcal{H} k-2, $$ 在哪里 $\mathcal{P} k$ 是个 $k$-齐次多项式空间和 $\mathcal{H}_k$ 是个 $k$-齐次调和多项式空间。Almansi-Fischer 分解进一步提供了 $$ \mathcal{H}_k=\mathcal{M}_k \oplus u \mathcal{M} k-1, $$ 在哪里 $\mathcal{M} k$ 是个 $k$-齐次单基因多项式空间; 因此，每一项对 $\mathcal{M}_k$ 可以写成两个投影。例如，贡献 $u^3\left\langle D_u, D_x\right\rangle^3 f(x, u)$ 至 $\mathcal{M}_k$ 是 $P_k P_1 u^3\left\langle D_u, D_x\right\rangle^3 f(x, u)$ ， 在哪里 $$ \mathcal{P}_k \stackrel{P_1}{\rightarrow} \mathcal{H}_k \stackrel{P_k}{\rightarrow} \mathcal{M}_k, $$ 和 $$ P_1=1+\frac{u^2 \Delta_u}{2(m+2 k-4)}, P_k=1+\frac{u D_u}{m+2 k-2} . $$ 我们还注意到对于固定的 $x \in \mathbb{R}^m$ 和 $f(x, u) \in \mathcal{M}_k$ ， $$ u^3\left\langle D_u, D_x\right\rangle^3 f(x, u),|u|^2\left\langle D_u, D_x\right\rangle^2 D_x f(x, u) \in u^2 \mathcal{H} k-2, $$ 和 $u\left\langle D_u, D_x\right\rangle D_x^2 \in u \mathcal{M}{k-1}$. 因此，他们对 $\mathcal{M}_k$ 都是雱。所以，
$$
\mathcal{D}_3=P_k P_1\left(D_x^3+\frac{4}{m+2 k}\left\langle u, D_x\right\rangle\left\langle D_u, D_x\right\rangle D_x-\frac{8 u\left\langle u, D_x\right\rangle\left\langle D_u, D_x\right\rangle^2}{(m+2 k)(m+2 k-2)}\right)
$$
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