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数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Verfahren zur Lösung von ganzzahligen Problemen

In diesem Abschnitt lernen wir exakte Verfahren zur Lösung von (gemischt-) ganzzahligen Problemen kennen. Mit ihrer Hilfe lassen sich ganzzahlige Probleme in endlich vielen Schritten lösen. In ungünstigen Fällen wird allerdings exponentieller Rechenaufwand benötigt. Daher muss bei großen oder komplexen Problemen auf andere Methoden zurückgegriffen werden, z.B. auf heuristische Lösungsverfahren (vgl. Kap. 6).

Für ein (gemischt-) ganzzahliges Problem $P_0$ eignet sich die grundsätzliche Vorgehensweise in Algorithmus 5.1.

Die Bestimmung der speziellen Nebenbedingungen im letzten Schritt des Algorithmus stellt den rechentechnisch aufwändigsten Schritt bei der Lösung ganzzahliger Probleme dar. Die Erzeugung einer wirksamen Nebenbedingung im Sinne einer Einschränkung der zulässigen Menge entscheidet letztlich darüber, ob es mit den heute zur Verfügung stehenden Rechenmaschinen gelingt, das Problem zu lösen oder nicht.

Ein grundlegendes Verfahren zur Lösung ganzzahliger Optimierungsprobleme ist das Branch-\&-Bound-Verfahren, das auf die Arbeiten von Dakin zurückgeht ([9] und ferner [34]). Dessen Prinzip stützt sich zum einen auf die schrittweise Zerlegung der zulässigen Menge (engl.: Branching) und zum anderen auf die Bestimmung von Schranken für den optimalen Zielfunktionswert auf den einzelnen Teilen der zulässigen Menge (engl.: Bounding). Daneben werden im Verlauf des Verfahrens Teile der zulässigen Menge, von denen man weiß, dass sie keinen optimalen Punkt enthalten können, von einer weiteren Untersuchung ausgeschlossen. Diesen Vorgang bezeichnet man als Auslotung (engl.: Pruning). Im Folgenden werden die einzelnen Bestandteile des Branch-\&-Bound-Verfahrens für Maximierungsprobleme vorgestellt und zueinander in Beziehung gesetzt. Für Minimierungsprobleme gelten analoge Überlegungen.

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Auswahlregeln im Branch-&-Bound-Verfahren

Das Branch-\&-Bound-Verfahren aus Algorithmus $5.2$ stellt ein allgemeines Prinzip zur Lösung ganzzahliger Probleme dar. Konkrete Implementierungen müssen bez̈̈glich der Auswahl des nächsten zu untersuchenden Teilproblems und des Verzweigungsvorgangs genauer spezifiziert werden.

Im Folgenden sei angenommen, dass ein ganzzahliges Maximierungsproblem $P_0$ gegeben ist, und $L$ bezeichne die Liste der noch nicht betrachteten Teilprobleme. Zur Initialisierung setze $L:=\left{P_0\right}$. Zur Auswahl des nächsten Teilproblems erläutern wir die beiden folgenden Regeln:

• Last In – First Out (LIFO),
• Maximum Upper Bound.
  Last In – First Out (LIFO)
  Das zuletzt in die Liste aufgenommene Problem wird zuerst untersucht (Depth First Search). Dieses Vorgehen hat den Vorteil, dass man meist ziemlich schnell einen zulässigen Punkt für das Ausgangsproblem erreicht und sich wenige Teilprobleme in der Kandidatenliste befinden. Dies ist vor allem in rechenintensiven Anwendungen von großer Bedeutung. Die LIFO-Regel kann auf unterschiedliche Weise implementiert werden: Bei der reinen Tiefensuche (s. Alg. 5.3) bildet man vom betrachteten Problem ausgehend nur ein neues Teilproblem und betrachtet dieses im nächsten Schritt. Bei der Tiefensuche mit vollständiger Verzweigung (s. Alg. 5.4) wird ein Problem vollständig in Teilprobleme aufgeteilt und kann somit selbst aus $L$ gestrichen werden. Welches der Teilprobleme als nächstes gewählt wird, muss wiederum über eine zusätzliche Auswahlregel gesteuert werden, z.B. Auswahl des Teilproblems mit dem größten Zielfunktionswert.
• Diese Regel wählt im Sinne einer Greedy-Vorstellung immer dasjenige Problem aus der Liste $L$, das die größte obere Schranke $F_i^u$ besitzt (Breadth First Search). Leider befinden sich dadurch meistens relativ viele Probleme in der Kandidatenliste. Falls man nur an einem möglichst guten zulässigen Punkt interessiert ist, bietet sich dieses Verfahren an, da der erste gefundene Punkt meist recht gut ist. Das Vorgehen ist in Algorithmus $5.5$ zusammengefasst.
• Die Auswahl einer passenden Regel orientiert sich stark am zugrunde liegenden Problem. Die beiden vorgestellten Auswahlregeln können darüber hinaus auch beliebig kombiniert werden. Dadurch lässt sich gegebenenfalls schneller ein optimaler Punkt finden.

运筹学代考

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Verfahren zur Lösung von ganzzahligen Problemen

在本节中，我们将了解解决（混合）整数问题的确切方法。在他们的帮助下，整数问题可以在有限的步骤中解决。然而，在不利的情况下，需要指数计算工作量。因此，在大型或复杂问题的情况下，必须使用其他方法，例如启发式解决方法（参见第 6 章）。

对于（混合）整数问题P0算法 5.1 中的基本过程是合适的。

算法最后一步中特殊约束的确定代表了解决整数问题中计算上最复杂的步骤。在限制允许集的意义上创建有效约束最终决定了今天可用的计算机是否会成功这样做解决不了问题。

解决整数优化问题的基本方法是 Branch & Bound 方法，它可以追溯到 Dakin 的工作（[9] 和 [34]）。其原理一方面基于允许集的逐步分解（英语：branching），另一方面基于确定允许集各个部分的最佳目标函数值的界限（英语：bounding） . 此外，在该过程中，已知不包含最佳点的允许数量部分被排除在进一步调查之外。这个过程称为修剪。在下文中，介绍了用于最大化问题的分支定界方法的各个组成部分并相互关联。

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Auswahlregeln im Branch-&-Bound-Verfahren

算法中的分支\&边界方法5.2代表了解决整数问题的一般原则，具体的实现必须更精确地指定下一个要检查的子问题的选择和分支过程。

下面假设一个整数最大化问题P0给出，并且大号表示尚未考虑的子问题列表。设置初始化L:=\left{P_0\right}L:=\left{P_0\right}. 为了选择下一个子问题，我们解释以下两个规则：

• 后进先出 (LIFO)，
• 最大上限。
  后进先出 (LIFO)
  最后添加到列表中的问题首先被调查（深度优先搜索）。此过程的优点是您通常可以相当快地达到初始问题的允许点，并且候选列表中的子问题很少。这在计算密集型应用程序中尤为重要。LIFO 规则可以用不同的方式实现：在纯深度优先搜索中（见算法 5.3），从正在考虑的问题开始，只形成一个新的子问题，并在下一步中考虑它。在具有完全分支的深度优先搜索中（参见算法 5.4），一个问题被完全划分为子问题，因此可以自行解决大号被删除。接下来选择哪个子问题必须依次由附加的选择规则控制，例如选择具有最大目标函数值的子问题。
• 这条规则总是贪婪地从列表中挑选问题大号, 这是最大的上界F一世在拥有（广度优先搜索）。不幸的是，这通常会导致候选列表中出现相对较多的问题。如果您只对可能的最佳点感兴趣，则此方法是一个不错的选择，因为找到的第一个点通常非常好。该过程在算法中5.5总结。
• 选择合适的规则在很大程度上取决于潜在的问题。还可以根据需要组合所提供的两个选择规则。这意味着在必要时可以更快地找到最佳点。

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