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数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Das Schnittebenenverfahren von Gomory

Die Klasse der Schnittebenenverfahren (engl.: cutting plane methods) zur Lösung ganzzahliger Probleme wurde als Alternative zu den Branch-\&-BoundVerfahren entwickelt und lässt sich auf Probleme der Form
$$
P_0: \quad \max c^{\top} x \quad \text { s.t. } \quad A x \leq b, \quad x \in \mathbb{Z}^n
$$
mit $c \in \mathbb{Z}^n, b \in \mathbb{Z}^m$ und der $(m, n)$-Matrix $A$ mit ganzzahligen Einträgen anwenden. Ihr grundsätzlicher Ablauf lässt sich wie folgt skizzieren: Zunächst wird eine Relaxierung (meist LP-Relaxierung) des ursprünglichen Problems gebildet und gelöst. Anschließend wird die zulässige Menge der Relaxierung schrittweise durch Hinzunahme neuer Nebenbedingungen (Schnittebenen) solange weiter eingeschränkt, bis eine ganzzahlige Lösung gefunden wird. Die neuen Nebenbedingungen stellen zusätzliche Ungleichungen dar, die von allen zulässigen Punkten des ganzzahligen Problems erfüllt werden, nicht aber von der aktuellen Lösung der Relaxierung. Diese wird somit von der weiteren Betrachtung ausgeschlossen.

Schnittebenenverfahren existieren sowohl für allgemeine ganzzahlige Probleme (z.B. Schnittebenenverfahren von Gomory) oder für spezielle Problemstellungen (z.B. Schnittebenenverfahren für Traveling Salesman Probleme). In diesem Abschnitt werden wir die allgemeine Form eines Gomory Cuts für ganzzahlige Probleme herleiten. Zunächst besprechen wir hierzu ein Beispiel.

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Heuristiken

Wie wir in Kapitel 5 gesehen haben, ist die Lösung eines ganzzahligen linearen Problems eine $\mathcal{N} \mathcal{P}$-schwere Aufgabe, so dass die vorgestellten exakten Verfahren im Allgemeinen einen exponentiellen Rechenaufwand besitzen. Aus diesem Grund greift man in vielen Anwendungen auf Heuristiken zurück, wenn der mit der Anwendung exakter Verfahren verbundene Rechenaufwand zu groß wird. Heuristiken sind demnach Verfahren zur Bestimmung eines guten, aber nicht notwendigerweise optimalen zulässigen Punktes eines Problems bei akzeptablem Aufwand. „Gut ” bedeutet in diesem Zusammenhang, dass der Zielfunktionswert des Punktes möglichst nahe am Optimalwert liegen soll. Der wesentliche Vorteil von Heuristiken liegt in ihrer meist polynomialen und damit relativ schnellen Rechengeschwindigkeit.

Zwar kann man im Allgemeinen keine Garantie für die Güte der erhaltenen Lösung geben, doch folgen Heuristiken plausiblen und erfolgversprechenden Vorgehensregeln. Aus diesem Grund ist die Akzeptanz von Heuristiken unter Praxisanwendern relativ hoch, da sie leicht verständlich sind und weniger hohe Ansprüche an mathematische Kenntnisse des Benutzers stellen.
Heuristische Verfahren lassen sich in die folgenden Klassen einteilen:

• Konstruktionsheuristiken (oder Eröffnungsverfahren) finden für ein gegebenes Problem einen ersten zulässigen Punkt,
• Verbesserungsheuristiken gehen von dem Vorhandensein eines zulässigen Punktes aus und versuchen, diesen zu verhessern,
• Heuristiken zur Bestimmung von Schranken suchen nicht unbedingt nach konkreten Lösungen für eine Problemstellung, sondern bestimmen obere und untere Schranken für den optimalen Zielfunktionswert.

运筹学代考

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Das Schnittebenenverfahren von Gomory

用于解决整数问题的切割平面方法类是作为分支定界方法的替代方法而开发的，可以应用于形式问题
$$
P_0: \quad \max c^{\top} x \quad \text { s.t. } \quad A x \leq b, \quad x \in \mathbb{Z}^n
$$
和 $c \in \mathbb{Z}^n, b \in \mathbb{Z}^m$ 和 $(m, n)$-矩阵 $A$ 与整数条目。它的基本过程可以概括如下：首先，创建并解决原始 问题的松扡（通常是 LP 松弛) 。然后通过添加新的约束 (相交平面) 逐步进一步限制允许的松纤量，直 到找到整数解。新约束表示整数问题的所有可行点都满足的附加不等式，但当前松肔的解不满足这些不 等式。因此，这被排除在进一步考虑之外。
切割平面法既适用于一般整数问题 (例如 Gomory 的切割平面法)，也适用于特殊问题 (例如旅行商问 题的切割平面法) 。在本节中，我们将推导整数问题的 Gomory 割的一般形式。首先，让我们讨论一个 例子。

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正如我们在第 5 章中看到的，整数线性问题的解是一个否P- 艰巨的任务，因此所提出的确切方法通常具有指数级的计算量。出于这个原因，当与精确方法的应用相关的计算工作变得太大时，启发式方法在许多应用中被使用。因此，启发式方法是用可接受的努力确定问题的一个好的但不一定是最佳的可行点的方法。在此上下文中，“好”意味着该点的目标函数值应尽可能接近最优值。启发式的主要优点在于它们大多是多项式的，因此计算速度相对较快。

一般来说，无法保证所获得解决方案的质量，但启发式算法遵循合理且有希望的程序规则。因此，启发式在实际用户中的接受度比较高，因为它们易于理解并且对用户的数学知识要求不高。
启发式方法可以分为以下几类：

• 构造启发式（或开放程序）为给定问题找到第一个可行点，
• 改进启发式假设存在一个有效点并尝试对其进行改进，
• 用于确定边界的启发式不一定搜索问题的具体解决方案，而是确定目标函数的最优值的上限和下限。

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