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金融代写|投资组合代写Investment Portfolio代考|PORTFOLIO CONSTRAINTS COMMONLY USED IN PRACTICE
Institutional features and investment policy decisions often lead to more complicated constraints and portfolio management objectives than those present in the original formulation of the mean-variance problem. For example, many mutual funds are managed relative to a particular benchmark or asset universe (e.g., S\&P 500, Russell 1000) so that their tracking error relative to the benchmark is kept small. ${ }^3$ A portfolio manager might also be restricted on how concentrated the investment portfolio can be in a particular industry or sector. These restrictions, and many more, can be modeled by adding constraints to the original formulation.
In this section, we describe constraints that are often used in combination with the mean-variance problem in practical applications. Specifically, we distinguish between linear, quadratic, nonlinear, and combinatorial/ integer constraints.
Throughout this section, we denote the current portfolio weights by $\mathbf{w}_0$ and the targeted portfolio weights by w, so that the amount to be traded is $\mathbf{x}=\mathbf{w}-\mathbf{w}_0$.
High portfolio turnover can result in large transaction costs that make portfolio rebalancing inefficient. One possibility is to limit the amount of turnover allowed when performing portfolio optimization. The most common turnover constraints limit turnover on each individual asset
$$
\left|x_i\right| \leq U_i
$$
or on the whole portfolio
$$
\sum_{i \in I}\left|x_i\right| \leq U_{\text {portfolio }}
$$
where $I$ denotes the available investment universe. Turnover constraints are often imposed relative to the average daily volume (ADV) of a stock. For example, we might want to restrict turnover to be no more than $5 \%$ of average daily volume. Modifications of these constraints, such as limiting turnover in a specific industry or sector, are also frequently applied.
金融代写|投资组合代写Investment Portfolio代考|Risk Factor Constraints
In practice, it is very common for portfolio managers to use factor models to control for different risk exposures to risk factors such as market, size, and style. ${ }^4$ Let us assume that security returns have a factor structure with $K$ risk factors, that is
$$
R_i=\alpha_i+\sum_{k=1}^K \beta_{i k} F_k+\varepsilon_i
$$
where $F_k, k=1, \ldots, K$ are the $K$ factors common to all the securities, $\beta_{i k}$ is the sensitivity of the $i$-th security to the $k$-th factor, and $\varepsilon_i$ is the nonsystematic return for the $i$-th security.
To limit a portfolio’s exposure to the k-th risk factor, we can impose the constraint
$$
\sum_{i=1}^N \beta_{i k} w_i \leq U_k
$$
where $U_k$ denotes maximum exposure allowed. To construct a portfolio that is neutral to the $k$-th risk factor (for example, market neutral) we would use the constraint
$$
\sum_{i=1}^N \beta_{i k} w_i=0
$$
金融代写|投资组合代写Investment Portfolio代考|PORTFOLIO CONSTRAINTS COMMONLY USED IN PRACTICE
制度特征和投资政策决策通常会导致比均值-方差问题的原始表述中更复杂的约束条件和投资组合管理目 标。例如，许多共同基金是根据特定基准或资产范围（例如标准普尔 500 指数、罗溸 1000 指数）进行 管理的，因此它们相对于基准的跟踪误差很小。 ${ }^3$ 投资组合经理也可能受到投资组合在特定行业或部门的 集中程度的限制。这些限制以及更多限制可以通过向原始公式添加限制来建模。
在本节中，我们描述了在实际应用中经常与均值-方差问题结合使用的约束。具体来说，我们区分线性、 二次、非线性和组合/整数约束。
在本节中，我们将当前投资组合权重表示为 $\mathbf{w}0$ 和目标投资组合的权重为 $w_t$ ，因此要交易的金额为 $\mathbf{x}=\mathbf{w}-\mathbf{w}_0$. 高投资组合周转率会导致大量交易成本，从而使投资组合再平衡效率低下。一种可能性是在执行投资组 合优化时限制允许的周转量。最常见的周转率限制限制了每项资产的周转率 $$ \left|x_i\right| \leq U_i $$ 或整个投资组合 $$ \sum{i \in I}\left|x_i\right| \leq U_{\text {portfolio }}
$$
在哪里 $I$ 表示可用的投资领域。换手率限制通常是相对于股票的平均每日交易量 (ADV) 施加的。例如， 我们可能布望限制营业额不超过 $5 \%$ 平均每日交易量。这些约束的修改，例如限制特定行业或部门的营业 额，也经常被应用。
金融代写|投资组合代写Investment Portfolio代考|Risk Factor Constraints
在实践中，投资组合经理使用因子模型来控制市场、规模和风格等风险因㨞的不同风险敞口是很常见 的。 4 让我们假设证券回报有一个因子结构 $K$ 危险因溸，即
$$
R_i=\alpha_i+\sum_{k=1}^K \beta_{i k} F_k+\varepsilon_i
$$
在哪里 $F_k, k=1, \ldots, K$ 是 $K$ 所有证券的共同因溸， $\beta_{i k}$ 是灵敏度 $i$-th 安全到 $k$-th 因嫊，和 $\varepsilon_i$ 是非系统 回报 $i$-安全。
为了限制投资组合对第 $\mathrm{k}$ 个风险因嗉的暴露，我们可以施加约束
$$
\sum_{i=1}^N \beta_{i k} w_i \leq U_k
$$
在哪里 $U_k$ 表示允许的最大曝光。构建一个中性的投资组合 $k$-th 风险因溸（例如，市场中性) 我们将使用 约束
$$
\sum_{i=1}^N \beta_{i k} w_i=0
$$
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