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金融代写|投资组合代写Investment Portfolio代考|The Mathematics of Portfolio Selection with Higher Moments
Dealing with the third and higher portfolio moments quickly becomes cumbersome algebraically and can also be computationally inefficient unless caution is used. It is convenient to have similar formulas for the skew and kurtosis as for the portfolio mean and standard deviation
$$
\begin{aligned}
r_p &=\mathbf{w}^{\prime} \boldsymbol{\mu} \
\sigma_p^2 &=\mathbf{w}^{\prime} \mathbf{\Sigma} \mathbf{w}
\end{aligned}
$$
where $\boldsymbol{\mu}$ and $\boldsymbol{\Sigma}$ are the vector of expected returns and the covariance matrix of returns of the assets. In full generality, each moment of a random vector can be mathematically represented as a tensor. In the case of the second moment, the second moment tensor is the familiar $N \times N$ covariance matrix, whereas the third moment tensor, the so-called skew tensor, can intuitively be seen as a three-dimensional cube with height, width, and depth of $N$. The fourth moment tensor, the kurtosis tensor, can similarly be visualized as a four-dimensional cube.
When dealing with higher moments in the portfolio choice problem, it is convenient to “slice” the higher moment tensors and create one big matrix out of the slices. For example, the skew tensor (a three-dimensional cube) with $N^3$ elements and the kurtosis tensor (a fourth-dimensional cube) with $N^4$ elements, can each be represented by an $N \times N^2$ and an $N \times N^3$ matrix, respectively. Formally, we denote the $N \times N^2$ and $N \times N^3$ skew and kurtosis matrices by ${ }^{52}$
$$
\begin{aligned}
&\mathbf{M}3=\left(s{i j k}\right)=E\left[(\mathbf{R}-\boldsymbol{\mu})(\mathbf{R}-\boldsymbol{\mu})^{\prime} \otimes(\mathbf{R}-\boldsymbol{\mu})^{\prime}\right] \
&\mathbf{M}4=\left(\kappa{i j k l}\right)=E\left[(\mathbf{R}-\boldsymbol{\mu})(\mathbf{R}-\boldsymbol{\mu})^{\prime} \otimes(\mathbf{R}-\boldsymbol{\mu})^{\prime} \otimes(\mathbf{R}-\boldsymbol{\mu})^{\prime}\right]
\end{aligned}
$$
where each element is defined by the formulas
$$
\begin{aligned}
s_{i j k} &=E\left[\left(R_i-\mu_i\right)\left(R_j-\mu_j\right)\left(R_k-\mu_k\right)\right], i, j, k=1, \ldots, N \
\kappa_{i j k} &=E\left[\left(R_i-\mu_i\right)\left(R_j-\mu_j\right)\left(R_k-\mu_k\right)\left(R_l-\mu_l\right)\right], i, j, k, l=1, \ldots, N
\end{aligned}
$$
金融代写|投资组合代写Investment Portfolio代考|POLYNOMIAL GOAL PROGRAMMING FOR PORTFOLIO
In this section we discuss an approach to the portfolio optimization problem with higher moments that is referred to as the polynomial goal programming (PGP) approach. ${ }^{56}$ We suggested in the previous section that investors have a preference for positive odd moments, but strive to minimize their exposure to even moments. For example, an investor may attempt to, on the one hand, maximize expected portfolio return and skewness, while on the other, minimize portfolio variance and kurtosis. Mathematically, we can express this by the multiobjective optimization problem:
$$
\begin{aligned}
\max {\mathbf{w}} O_1(\mathbf{w}) &=\mathbf{w}^{\prime} \boldsymbol{\mu} \ \min {\mathbf{w}} O_2(\mathbf{w}) &=\mathbf{w}^{\prime} \mathbf{\Sigma} \mathbf{w} \
\max {\mathbf{w}} O_3(\mathbf{w}) &=\mathbf{w}^{\prime} \mathbf{M}_3(\mathbf{w} \otimes \mathbf{w}) \ \min {\mathbf{w}} O_4(\mathbf{w}) &=\mathbf{w}^{\prime} \mathbf{M}_4(\mathbf{w} \otimes \mathbf{w} \otimes \mathbf{w})
\end{aligned}
$$
subject to desired constraints. The notation used in this formulation was introduced in the previous section. This type of problem, which addresses the trade-off between competing objectives, is referred to as a goal programming (GP) problem. The basic idea behind goal programming is to break the overall problem into smaller solvable elements and then iteratively attempt to find solutions that preserve, as closely as possible, the individual goals.
Because the choice of the relative percentage invested in each asset is the main concern in the portfolio allocation decision, the portfolio weights can be rescaled and restricted to the unit variance space $\left{\mathbf{w} \mid \mathbf{w}^{\prime} \mathbf{\Sigma} \mathbf{w}=1\right}$. This observation allows us to formulate the multiobjective optimization problem as follows:
$$
\begin{aligned}
\max {\mathbf{w}} O_1(\mathbf{w}) &=\mathbf{w}^{\prime} \boldsymbol{\mu} \ \max {\mathbf{w}} O_3(\mathbf{w}) &=\mathbf{w}^{\prime} \mathbf{M}3(\mathbf{w} \otimes \mathbf{w}) \ \min {\mathbf{w}} O_4(\mathbf{w}) &=\mathbf{w}^{\prime} \mathbf{M}4(\mathbf{w} \otimes \mathbf{w} \otimes \mathbf{w}) \end{aligned} $$ subject to $$ \begin{gathered} \mathbf{l}^{\prime} \mathbf{w}=1, \mathbf{‘}^{\prime}=[1,1, \ldots, 1] \ \mathbf{w}^{\prime} \mathbf{\Sigma}{\mathbf{w}}=1
\end{gathered}
$$
金融代写|投资组合代写Investment Portfolio代考|The Mathematics of Portfolio Selection with Higher Moments
处理第三个和更高的投资组合时刻在代数上很快变得很麻烦，并且除非谨㥀使用，否则计算效率也可能 很低。对于投资组合均值和标准差，偏斜和峰度有类似的公式是很方便的
$$
r_p=\mathbf{w}^{\prime} \boldsymbol{\mu} \sigma_p^2 \quad=\mathbf{w}^{\prime} \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{w}
$$
在哪里 $\boldsymbol{\mu}$ 和 $\boldsymbol{\Sigma}$ 是预期收益的向量和资产收益的协方差矩阵。一般而言，随机向量的每个矩都可以在数学 上表示为张量。在二阶矩的情况下，二阶矩张量就是大家熟悉的 $N \times N$ 协方差矩阵，而三次矩张量，即 所谓的偏凃张量，可以直观地看作是一个三维立方体，其高度、宽度和深度为 $N$. 四阶矩张量，峰度张 量，可以类似地可视化为一个四维立方体。
在处理投资组合选择问题中的高矩时，将高矩张量”切片”并从切片中创建一个大矩阵很方便。例如，偏 斜张量 (三维立方体) 与 $N^3$ 元隻和峰度张量 (第四维立方体) $N^4$ 元素，每个元件都可以表示为 $N \times N^2$ 和 $N \times N^3$ 矩阵，分别。形式上，我们表示 $N \times N^2$ 和 $N \times N^3$ 偏斜和峰度矩阵 ${ }^{52}$
$$
\mathbf{M} 3=(s i j k)=E\left[(\mathbf{R}-\boldsymbol{\mu})(\mathbf{R}-\boldsymbol{\mu})^{\prime} \otimes(\mathbf{R}-\boldsymbol{\mu})^{\prime}\right] \quad \mathbf{M} 4=(\kappa i j k l)=E\left[(\mathbf{R}-\boldsymbol{\mu})(\mathbf{R}-\boldsymbol{\mu})^{\prime} \otimes(\mathbf{R}-\boldsymbol{\mu})\right.
$$
其中每个元偰都由公式定义
$$
s_{i j k}=E\left[\left(R_i-\mu_i\right)\left(R_j-\mu_j\right)\left(R_k-\mu_k\right)\right], i, j, k=1, \ldots, N \kappa_{i j k} \quad=E\left[\left(R_i-\mu_i\right)\left(R_j-\mu_j\right)\left(R_k-\mu_k\right)\right.
$$
金融代写|投资组合代写Investment Portfolio代考|POLYNOMIAL GOAL PROGRAMMING FOR PORTFOLIO
在本节中，我们将讨论一种解决具有更高矩的投资组合优化问题的方法，称为多项式目标规划 (PGP) 方 法。 ${ }^{56}$ 我们在上一节中建议投资者偏爱正奇数时刻，但尽量减少对偶数时刻的敞口。例如，投资者可能 会尝试，一方面，最大化预期投资组合回报和偏度，而另一方面，最小化投资组合方差和峰态。在数学 上，我们可以用多目标优化问题来表达: $\max \mathbf{w} O_1(\mathbf{w})=\mathbf{w}^{\prime} \boldsymbol{\mu} \min \mathbf{w} O_2(\mathbf{w}) \quad=\mathbf{w}^{\prime} \mathbf{\Sigma} \mathbf{w} \max \mathbf{w} O_3(\mathbf{w})=\mathbf{w}^{\prime} \mathbf{M}_3(\mathbf{w} \otimes \mathbf{w}) \min \mathbf{w} O_4(\mathbf{w})$
受期望的约束。此公式中使用的符号已在上一节中介绍过。这种解决竞争目标之间权衡的问题称为目标 规划 (GP) 问题。目标规划背后的基本思想是将整个问题分解为更小的可解决元嫊，然后迭代地尝试找到 尽可能接近地保留单个目标的解决方案。
由于投资于每种资产的相对百分比的选择是投资组合分配决策中的主要关注点，因此可以重新调整投资 组合权重并将其限制在单位方差空间内 标优化问题表述如下:
$$
\max \mathbf{w} O_1(\mathbf{w})=\mathbf{w}^{\prime} \boldsymbol{\mu} \max \mathbf{w} O_3(\mathbf{w}) \quad=\mathbf{w}^{\prime} \mathbf{M} 3(\mathbf{w} \otimes \mathbf{w}) \min \mathbf{w} O_4(\mathbf{w})=\mathbf{w}^{\prime} \mathbf{M} 4(\mathbf{w} \otimes \mathbf{w} \otimes \mathbf{w})
$$
受制于
$$
\mathbf{1}^{\prime} \mathbf{w}=1,^{6^{\prime}}=[1,1, \ldots, 1] \mathbf{w}^{\prime} \mathbf{\Sigma} \mathbf{w}=1
$$
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