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计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|Hashing and authentication
Let $\mathscr{H}$ be a family of hash functions in which each hash function $h \in$ $\mathscr{f}$ maps the universe $U$ of keys to ${0,1, \ldots, m-1}$.
a. Show that if the family $\mathscr{H}$ of hash functions is 2 -independent, then it is universal.
b. Suppose that the universe $U$ is the set of $n$-tuples of values drawn from $\mathbb{Z}p={0,1, \ldots, p-1}$, where $p$ is prime. Consider an element $x=$ $\left\langle x_0, x_1, \ldots, x{n-1}\right\rangle \in U$. For any $n$-tuple $a=\left\langle a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}\right\rangle \in U$, define the hash function $h_a$ by $h_a(x)=\left(\sum_{j=0}^{n-1} a_j x_j\right) \bmod p$.
Let $\mathscr{H}=\left{h_a: a \in U\right}$. Show that $\mathscr{H}$ is universal, but not 2independent. (Hint: Find a key for which all hash functions in $\mathscr{H}$ produce the same value.)
c. Suppose that we modify $\mathscr{H}$ slightly from part (b): for any $a \in U$ and for any $b \in \mathbb{Z}p$, define $h{a b}^{\prime}(x)=\left(\sum_{j=0}^{n-1} a_j x_j+b\right) \bmod p$
and $\mathscr{H}^{\prime}=\left{h_{a b}^{\prime}: a \in U\right.$ and $\left.b \in \mathbb{Z}p\right}$. Argue that $\mathscr{H}$ is 2-independent. (Hint: Consider fixed $n$-tuples $x \in U$ and $y \in U$, with $x_i \neq y_i$ for some $i$. What happens to $h{a b}^{\prime}(x)$ and $h_{a b}^{\prime}(y)$ as $a_i$ and $b$ range over $\mathbb{Z}_p$ ?)
d. Alice and Bob secretly agree on a hash function $h$ from a 2
计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|Binary Search Trees
The search tree data structure supports each of the dynamic-set operations listed on page 250: SEARCH, MINIMUM, MAXIMUM, PREDECESSOR, SUCCESSOR, INSERT, and DELETE. Thus, you can use a search tree both as a dictionary and as a priority queue.
Basic operations on a binary search tree take time proportional to the height of the tree. For a complete binary tree with $n$ nodes, such operations run in $\Theta(\lg n)$ worst-case time. If the tree is a linear chain of $n$ nodes, however, the same operations take $\Theta(n)$ worst-case time. In Chapter 13, we’ll see a variation of binary search trees, red-black trees, whose operations guarantee a height of $O(\lg n)$. We won’t prove it here, but if you build a binary search tree on a random set of $n$ keys, its expected height is $O(\lg n)$ even if you don’t try to limit its height.
After presenting the basic properties of binary search trees, the following sections show how to walk a binary search tree to print its values in sorted order, how to search for a value in a binary search tree, how to find the minimum or maximum element, how to find the predecessor or successor of an element, and how to insert into or delete from a binary search tree. The basic mathematical properties of trees appear in Appendix B.
算法分析代考
计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|Hashing and authentication
让 $\mathscr{H}$ 是一个散列函数族，其中每个散列函数 $h \in \mathrm{f}$ 映射宇宙 $U$ 键的 $0,1, \ldots, m-1$.
一个。表明如果家庭 $\mathscr{H}$ 的哈布函数是 2 独立的，那么它是通用的。
b. 假设宇宙 $U$ 是一组 $n$ – 从中得出的值的元组 $\mathbb{Z} p=0,1, \ldots, p-1$ ，在哪里 $p$ 是质数。考虑一个元榡 $x=\left\langle x_0, x_1, \ldots, x n-1\right\rangle \in U$. 对于任何 $n$-元组 $a=\left\langle a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}\right\rangle \in U$ ， 定义哈布函数 $h_a$ 经过 $h_a(x)=\left(\sum_{j=0}^{n-1} a_j x_j\right) \bmod p$. 㳍函数都在 $\mathscr{H}$ 产生相同的价值。)
C。假设我们修改 $\mathscr{H}$ 部分 (b) 略有不同：对于任何 $a \in U$ 对于任何 $b \in \mathbb{Z} p$ ， 定义
$h a b^{\prime}(x)=\left(\sum_{j=0}^{n-1} a_j x_j+b\right) \bmod p$
独立的。(提示: 考虑固定的 $n$-元组 $x \in U$ 和 $y \in U ，$ 和 $x_i \neq y_i$ 对于一些i. 发生了什么事 $h a b^{\prime}(x)$ 和 $h_{a b}^{\prime}(y)$ 作为 $a_i$ 和 $b$ 范围超过 $\mathbb{Z}_p ?$ ?)
计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|Binary Search Trees
搜索树数据结构支持第 250 页上列出的每个动态集操作：SEARCH、MINIMUM、MAXIMUM、PREDECESSOR、SUCCESSOR、INSERT 和 DELETE。因此，您可以将搜索树用作字典和优先级队列。
二叉搜索树的基本操作所花费的时间与树的高度成正比。对于一个完整的二叉树n节点，这样的操作运行在日(LGn)最坏情况的时间。如果树是线性链n节点，但是，相同的操作需要日(n)最坏情况的时间。在第 13 章中，我们将看到二叉搜索树的变体，即红黑树，其操作保证高度为欧(LGn). 我们不会在这里证明它，但是如果你在一组随机的n键，它的预期高度是欧(LGn)即使您不尝试限制它的高度。
在介绍了二叉搜索树的基本属性之后，以下部分将展示如何遍历二叉搜索树以按排序顺序打印其值，如何在二叉搜索树中搜索值，如何找到最小或最大元素，如何找到元素的前导或后继，以及如何插入或删除二叉搜索树。树的基本数学性质出现在附录 B 中。
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