计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|CS120

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计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|Average node depth in a randomly built binary search tree

A randomly huilt hinary search tree on $n$ keys is a binary search tree created by starting with an empty tree and inserting the keys in random order, where each of the $n$ ! permutations of the keys is equally likely. In this problem, you will prove that the average depth of a node in a randomly built binary search tree with $n$ nodes is $O(\lg n)$. The technique reveals a surprising similarity between the building of a binary search tree and the execution of RANDOMIZED-QUICKSORT from Section 7.3.

Denote the depth of any node $x$ in tree $T$ by $d(x, T)$. Then the total path length $P(T)$ of a tree $T$ is the sum, over all nodes $x$ in $T$, of $d(x, T)$.
a. Argue that the average depth of a node in $T$ is
$$
\frac{1}{n} \sum_{x \in T} d(x, T)=\frac{1}{n} P(T) .
$$
Thus, you need to show that the expected value of $P(T)$ is $O(n \lg n)$.

b. Let $T_L$ and $T_R$ denote the left and right subtrees of tree $T$, respectively. Argue that if $T$ has $n$ nodes, then
$$
P(T)=P\left(T_L\right)+P\left(T_R\right)+n-1 .
$$
c. Let $P(n)$ denote the average total path length of a randomly built binary search tree with $n$ nodes. Show that
$$
P(n)=\frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1}(P(i)+P(n-i-1)+n-1) .
$$
d. Show how to rewrite $P(n)$ as
$$
P(n)=\frac{2}{n} \sum_{k=1}^{n-1} P(k)+\Theta(n) .
$$
$e$. Recalling the alternative analysis of the randomized version of quicksort given in Problem 7-3, conclude that $P(n)=O(n \lg n)$.
Each recursive invocation of randomized quicksort chooses a random pivot element to partition the set of elements being sorted. Each node of a binary search tree partitions the set of elements that fall into the subtree rooted at that node.
$f$. Describe an implementation of quicksort in which the comparisons to sort a set of elements are exactly the same as the comparisons to insert the elements into a binary search tree. (The order in which comparisons are made may differ, but the same comparisons must occur.)

计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|Properties of red-black trees

A red-black tree is a binary search tree with one extra bit of storage per node: its color, which can be either RED or BLACK. By constraining the node colors on any simple path from the root to a leaf, red-black trees ensure that no such path is more than twice as long as any other, so that the tree is approximately balanced. Indeed, as we’re about to see, the height of a red-black tree with $n$ keys is at most $2 \lg (n+1)$, which is $O(\lg$ $n$ ).

Each node of the tree now contains the attributes color, key, left, right, and $p$. If a child or the parent of a node does not exist, the corresponding pointer attribute of the node contains the value NIL. Think of these NILs as pointers to leaves (external nodes) of the binary search tree and the normal, key-bearing nodes as internal nodes of the tree.

A red-black tree is a binary search tree that satisfies the following redblack properties:

  1. Every node is either red or black.
  2. The root is black.
  3. Every leaf (NIL) is black.
  4. If a node is red, then both its children are black.
  5. For each node, all simple paths from the node to descendant leaves contain the same number of black nodes.
    Figure 13.1(a) shows an example of a red-black tree.
    As a matter of convenience in dealing with boundary conditions in red-black tree code, we use a single sentinel to represent NIL (see page 262). For a red-black tree $T$, the sentinel T.nil is an object with the same attributes as an ordinary node in the tree. Its color attribute is BLACK, and its other attributes-p, left, right, and key-can take on arbitrary values. As Figure 13.1(b) shows, all pointers to NIL are replaced by pointers to the sentinel T.nil.
计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|CS120

算法分析代考

计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|Average node depth in a randomly built binary search tree

一个随机生成的 hinary 搜索树 $n$ keys 是一棵二叉搜索树,它是从一棵空树开始并以随机顺序揷入键而创 建的,其中每个 $n$ ! 键的排列是同样可能的。在此问题中,您将证明随机构建的二叉搜索树中节点的平 均深度为 $n$ 节点是 $O(\lg n)$. 该技术揭示了二叉搜索树的构建与第 $7.3$ 节中 RANDOMIZED-QUICKSORT 的 执行之间惊人的相似性。
表示任何节点的深度 $x$ 在树上 $T$ 经过 $d(x, T)$. 那么总路径长度 $P(T)$ 一棵树 $T$ 是所有节点的总和 $x$ 在 $T$ , 的 $d(x, T)$.
一个。认为一个节点的平均深度在 $T$ 是
$$
\frac{1}{n} \sum_{x \in T} d(x, T)=\frac{1}{n} P(T) .
$$
因此,您需要证明 $P(T)$ 是 $O(n \lg n)$.
b. 让 $T_L$ 和 $T_R$ 表示树的左右子树 $T$ ,分别。认为如果 $T$ 有 $n$ 节点,那么
$$
P(T)=P\left(T_L\right)+P\left(T_R\right)+n-1 .
$$
C。让 $P(n)$ 表示随机构建的二叉搜索树的平均总路径长度 $n$ 节点。显示
$$
P(n)=\frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1}(P(i)+P(n-i-1)+n-1) .
$$
d. 显示如何重写 $P(n)$ 作为
$$
P(n)=\frac{2}{n} \sum_{k=1}^{n-1} P(k)+\Theta(n)
$$
$e$. 回顾问题 7-3 中给出的快速排序的随机版本的替代分析,得出结论 $P(n)=O(n \lg n)$.
随机快速排序的每次递归调用都会选择一个随机枢轴元嫊来划分正在排序的元傃集。二叉搜索树的每个 节点都对落入以该节点为根的子树的元嫊集进行分区。
f. 描述快速排序的一个实现,其中对一组元㨞进行排序的比较与将元㨞揷入二叉搜索树的比较完全相
同。(进行比较的顺序可能不同,但必须进行相同的比较。)

计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|Properties of red-black trees

红黑树是一种二叉搜索树,每个节点有一个额外的存储位:它的颜色,可以是红色或黑色。通过限制从根到叶子的任何简单路径上的节点颜色,红黑树确保没有一条路径的长度是其他任何路径的两倍,因此树近似平衡。事实上,正如我们即将看到的,一棵红黑树的高度n钥匙最多2LG⁡(n+1), 这是欧(LG n ).

树的每个节点现在都包含属性 color、key、left、right 和p. 如果节点的子节点或父节点不存在,则该节点对应的指针属性包含值 NIL。将这些 NIL 视为指向二叉搜索树的叶子(外部节点)的指针,将普通的、承载密钥的节点视为树的内部节点。

红黑树是满足以下红黑属性的二叉搜索树:

  1. 每个节点要么是红色要么是黑色。
  2. 根是黑色的。
  3. 每片叶子 (NIL) 都是黑色的。
  4. 如果一个节点是红色的,那么它的两个孩子都是黑色的。
  5. 对于每个节点,从该节点到后代叶子的所有简单路径都包含相同数量的黑色节点。
    图 13.1(a) 显示了一个红黑树的例子。
    为了方便处理红黑树代码中的边界条件,我们使用单个哨兵来表示 NIL(参见第 262 页)。对于红黑树吨,哨兵 T.nil 是一个对象,与树中的普通节点具有相同的属性。它的颜色属性是 BLACK,它的其他属性——p、left、right 和 key——可以取任意值。如图 13.1(b) 所示,所有指向 NIL 的指针都被指向哨兵 T.nil 的指针所取代。
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