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计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|Hash functions for hierarchical memory models

This section illustrates an approach for designing efficient hash tables in a modern computer system having a memory hierarchy.

Because of the memory hierarchy, linear probing is a good choice for resolving collisions, as probe sequences are sequential and tend to stay within cache blocks. But linear probing is most efficient when the hash function is complex (for example, 5 -independent as in Theorem 11.9). Fortunately, having a memory hierarchy means that complex hash functions can be implemented efficiently.

As noted in Section 11.3.5, one approach is to use a cryptographic hash function such as SHA-256. Such functions are complex and sufficiently random for hash table applications. On machines with specialized instructions, cryptographic functions can be quite efficient.
Instead, we present here a simple hash function based only on addition, multiplication, and swapping the halves of a word. This function can be implemented entirely within the fast registers, and on a machine with a memory hierarchy, its latency is small compared with the time taken to access a random slot of the hash table. It is related to the RC6 encryption algorithm and can for practical purposes be considered a “random oracle.”

Let $w$ denote the word size of the machine (e.g., $w=64$ ), assumed to be even, and let $a$ and $b$ be $w$-bit unsigned (nonnegative) integers such that $a$ is odd. Let $\operatorname{swap}(x)$ denote the $w$-bit result of swapping the two $w / 2$-bit halves of $w$-bit input $x$. That is,
$\operatorname{swap}(x)=(x \gg(w / 2))+(x \lll(w / 2))$ “left shift.” Define
$f_a(k)=\operatorname{swap}\left(\left(2 k^2+a k\right) \bmod 2^w\right)$
Thus, to compute $f_a(k)$, evaluate the quadratic function $2 k^2+a k$ modulo $2^w$ and then swap the left and right halves of the result.

Let $r$ denote a desired number of “rounds” for the computation of the hash function. We’ll use $r=4$, but the hash function is well defined for any nonnegative $r$. Denote by $f_a^{(r)}(k)$ the result of iterating $f_a$ a total of $r$ times (that is, $r$ rounds) starting with input value $k$. For any odd $a$ and any $r \geq 0$, the function $f_a^{(r)}$, although complicated, is one-to-one (see Exercise 11.5-1). A cryptographer would view $f_a^{(r)}$ as a simple block cipher operating on $w$-bit input blocks, with $r$ rounds and key $a$.

计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|The wee hash function for variable-length inputs

Sometimes inputs are long-more than one $w$-bit word in length-or have variable length, as discussed in Section 11.3.5. We can extend the wee hash function, defined above for inputs that are at most single $w$-bit word in length, to handle long or variable-length inputs. Here is one method for doing so.

Suppose that an input $k$ has length $t$ (measured in bits). Break $k$ into a sequence $\left\langle k_1, k_2, \ldots, k_u\right\rangle$ of $w$-bit words, where $u=\lceil t / w\rceil, k_1$ contains the least-significant $w$ bits of $k$, and $k_u$ contains the most significant bits. If $t$ is not a multiple of $w$, then $k_u$ contains fewer than $w$ bits, in which case, pad out the unused high-order bits of $k_u$ with 0-bits. Define the function chop to return a sequence of the $w$-bit words in $k$ :
$\operatorname{chop}(k)=\left\langle k_1, k_2, \ldots, k_u\right\rangle$
The most important property of the chop operation is that it is one-toone, given $t$ : for any two $t$-bit keys $k$ and $k^{\prime}$, if $k \neq k^{\prime}$ then $\operatorname{chop}(k) \neq$ $\operatorname{chop}\left(k^{\prime}\right)$, and $k$ can be derived from $\operatorname{chop}(k)$ and $t$. The chop operation also has the useful property that a single-word input key yields a singleword output sequence: $\operatorname{chop}(k)=\langle k\rangle$.

With the chop function in hand, we specify the wee hash function $h_{a, b, t, r}(k)$ for an input $k$ of length $t$ bits as follows:
$h_{a, b, t, r}(k)=\operatorname{WEE}(k, a, b, t, r, m)$,
where the procedure WEE defined on the facing page iterates through the elements of the $w$-bit words returned by chop $(k)$, applying $f_a^r$ to the sum of the current word $k_i$ and the previously computed hash value so far, finally returning the result obtained modulo $m$. This definition for variable-length and long (multiple-word) inputs is a consistent extension of the definition in equation (11.7) for short (single-word) inputs. For practical use, we recommend that $a$ be a randomly chosen odd $w$-bit word, $b$ be a randomly chosen $w$-bit word, and that $r=4$.

Note that the wee hash function is really a hash function family, with individual hash functions determined by parameters $a, b, t, r$, and $m$. The (approximate) 5 -independence of the wee hash function family for variable-length inputs can be argued based on the assumption that the 1-word wee hash function is a random oracle and on the security of the cipher-block-chaining message authentication code (CBC-MAC), as studied by Bellare et al. [42]. The case here is actually simpler than that studied in the literature, since if two messages have different lengths $t$ and $t$ ‘, then their “keys” are different: $a+2 t \neq a+2 t{ }^{\prime}$. We omit the details.

算法分析代考

计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|Hash functions for hierarchical memory models

本节说明了一种在具有内存层次结构的现代计算机系统中设计高效哈苃表的方法。
由于内存层次结构，线性探测是解决冲突的不错选择，因为探测序列是连续的并且倾向于保留在缓存块 中。但是当散列函数很复杂时（例如，定理 $11.9$ 中的 5 -独立)，线性探测是最有效的。幸运的是，拥 有内存层次结构意味着可以高效地实现复杂的哈㳍函数。
如第 11.3.5 节所述，一种方法是使用加密哈布函数，例如 SHA-256。这样的函数对于哈㹷表应用来说是 复杂且足够随机的。在具有专门指令的机器上，加密功能可能非常有效。
相反，我们在这里提供了一个简单的哈布函数，该函数仅基于加法、乘法和交换单词的两半。此功能可 以完全在快速寄存器内实现，并且在具有内存层次结构的机器上，与访问哈抪表的随机槽所花费的时间 相比，它的延迟很小。它与 RC6 加密算法有关，出于实用目的，可以将其视为“随机预言机”。
让 $w$ 表示机器的字长 (例如， $w=64$ )，假定为偶数，令 $a$ 和 $b$ 是 $w$ – 位无符号（非负) 整数，使得 $a$ 很奇 怪。让swap $(x)$ 表示 $w$ – 交换两者的位结果 $w / 2$-位的一半 $w$ 位输入 $x$. 那是， $\operatorname{swap}(x)=(x \gg(w / 2))+(x \lll(w / 2))^{\prime \prime}$ 左移。”定义 $f_a(k)=\operatorname{swap}\left(\left(2 k^2+a k\right) \bmod 2^w\right)$
因此，要计算 $f_a(k)$ ，计算二次函数 $2 k^2+a k$ 模块 $2^w$ 然后交换结果的左右两半。
让 $r$ 表示计算散列函数所需的“轮数”。我们将使用 $r=4$ ，但是散列函数对于任何非负数都有很好的定义 $r$ . 表示为 $f_a^{(r)}(k)$ 迭代的结果 $f_a$ 总共 $r$ 次 (即 $r$ rounds) 从输入值开始 $k$. 对于任何奇数 $a$ 和任何 $r \geq 0$ ，功能 $f_a^{(r)}$ ，虽然复杂，却是一对一的（见习题 11.5-1) 。密码学家会查看 $f_a^{(\tau)}$ 作为一个简单的块密码操作 $w$ 位 输入块，与 $r$ 回合和关键 $a$.

计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|The wee hash function for variable-length inputs

有时输入很长 – 不止一个 $w$-长度为位字或具有可变长度，如第 $11.3 .5$ 节所述。我们可以扩展上面为最多 单个输入定义的 wee hash 函数 $w$ 位字长度，用于处理长或可变长度输入。这是这样做的一种方法。
假设一个输入 $k$ 有长度 $t$ (以位为单位)。休息 $k$ 进入一个序列 $\left\langle k_1, k_2, \ldots, k_u\right\rangle$ 的 $w$ – 位词，其中 于 $w$ 位，在这种情况下，填充末使用的高阶位 $k_u$ 有 0 位。定义函数 chop 返回一个序列 $w$ 中的位字 $k:$ $\operatorname{chop}(k)=\left\langle k_1, k_2, \ldots, k_u\right\rangle$
chop 操作最重要的特性是它是一对一的，给定 $t$ : 对于任意两个 $t$ 位密钥 $k$ 和 $k^{\prime}$ ，如果 $k \neq k^{\prime}$ 然后 $\operatorname{chop}(k) \neq \operatorname{chop}\left(k^{\prime}\right)$ ， 和 $k$ 可以从 $\operatorname{chop}(k)$ 和t. chop 操作还有一个有用的属性，即单字输入键产生单 字输出序列: $\operatorname{chop}(k)=\langle k\rangle$.
有了 chop 函数，我们指定 wee hash 函数 $h_{a, b, t, r}(k)$ 对于输入 $k$ 长度 $t$ 位如下: $h_{a, b, t, r}(k)=\mathrm{WEE}(k, a, b, t, r, m)$ ，
其中对开页面上定义的过程 WEE 遍历了 $w$ 由 chop 返回的位字 $(k)$, 申请 $f_a^r$ 到当前单词的总和 $k_i$ 和之前计 算的哈布值到目前为止，最后返回取模得到的结果 $m$. 可变长度和长 (多字) 输入的定义是等式 (11.7) 中短 (单字) 输入定义的一致扩展。对于实际使用，我们建议 $a$ 是一个随机选择的奇数 $w$-位字， $b$ 是一个 随机选择 $w$-位字，那 $r=4$.
请注意， wee 哈苃函数实际上是一个哈苃函数族，各个哈苃函数由参数决定 $a, b, t, r$ ，和 $m$. 可以基于 1 字 wee 哈布函数是随机 oracle 的假设以及密码块链接消息身份验证的安全性来争论可变长度输入的 wee 哈㹷函数族的 (近似) 5 独立性代码 (CBC-MAC)，正如 Bellare 等人研究的那样。[42]。这里的情况实际 上比文献中研究的要简单，因为如果两条消息的长度不同 $t$ 和 $t^{\prime}$ ，那么它们的 “键”是不同的: $a+2 t \neq a+2 t^{\prime}$. 我们省略细节。

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