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经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Shadow prices

Given $m$ functions $a_1, \ldots, a_m: \mathbb{R}{+}^n \rightarrow \mathbb{R}$ and $m$ scalars $b_1, \ldots$, $b_m \in \mathbb{R}$, the optimization problem $$ \max {x \in \mathbb{R}{+}^n} f(x) \quad \text { s.t. } \quad a_1(x) \leq b_1, \ldots, a_m(x) \leq b_m $$ is of type (22) with the $m$ restriction functions $g_i(x)=b_i-a_i(x)$ and has the LAGRANGE function $$ \begin{aligned} L(x, y) &=f(x)+\sum{i=1}^m y_i\left(b_i-a_i(x)\right) \
&=f(x)-\sum_{i=1}^m y_i a_i(x)+\sum_{i=1}^m y_i b_i .
\end{aligned}
$$
For an intuitive interpretation of the problem (26), think of the data vector
$$
x=\left(x_1, \ldots, x_n\right)
$$
as a plan for $n$ products to be manufactured in quantities $x_j$ and of $f(x)$ as the market value of $x$.

Assume that $x$ requires the use of $m$ materials in quantities $a_1(x), \ldots, a_m(x)$ and that the parameters $b_1, \ldots, b_m$ describe the quantities of the materials already in the possession of the manufacturer.

If the numbers $y_1, \ldots, y_m$ represent the market prices (per unit) of the $m$ materials, we find that $L(x, y)$ is the total value of the manufacturer’s assets:
$$
\begin{aligned}
L(x, y)=& \text { market value of the production } x \
&+\text { value of the materials left in stock. }
\end{aligned}
$$
The manufacturer would like to have that value as high as possible by deciding on an appropriate production plan $x$.

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Equilibria of convex LAGRANGE games

Remarkably, the KKT-conditions turn out to be not only necessary but also sufficient for the characterization of equilibria in convex LAGRANGE games with differentiable objective functions. This gives a way to compute such equilibria and hence to solve optimization problems of type $(22)$ in practice : $^9$ :

• Find a solution $\left(x^, y^\right) \in X \times \mathbb{R}{+}^m$ for the $K K T$ inequalities. $\left(x^, y^\right)$ will yield an equilibrium in $\Lambda=$ $\left(X, \mathbb{R}{+}^m, L\right)$ and $x^$ will be an optimal solution for (22). Indeed, one finds: THEOREM 3.3. A pair $\left(x^, y^\right) \in X \times \mathbb{R}{+}^m$ is an equilibrium of the convex Lagrange game $\Lambda=\left(X, \mathbb{R}{+}^m, L\right)$ if and only if $\left(x^, y^\right)$ satisfies the $K K T$-conditions. Proof. From Lemma 3.2, we know that the KKT-conditions are necessary. To show sufficiency, assume that $\left(x^, y^\right) \in X \times \mathbb{R}_{+}^m$ satisfies the KKT-conditions. We must demonstrate that $\left(x^, y^*\right)$ is
• an equilibrium of the convex Lagrange game $\Lambda=\left(X, \mathbb{R}{+}^m, L\right)$, i.e., satisfies $$ \max {x \in X} L\left(x, y^\right)=L\left(x^, y^\right)=\min {y \geq 0} L\left(x^, y\right)
• $$
• for the function $L(x, y)=f(x)+y^T g(x)$.
• Since $x \mapsto L\left(x, y^\right)$ is a concave function, we have for every $x \in X$, $$ L\left(x, y^\right)-L\left(x^, y^\right) \leq \nabla_x L\left(x^, y^\right)\left(x-x^\right) . $$ Because $\left(\mathrm{K}_2\right)$ guarantees $\nabla_x L\left(x^, y^\right)\left(x-x^\right) \leq 0$, we conclude
• $$
• L\left(x, y^\right) \leq L\left(x^, y^\right), $$ which implies the first equality in (27). For the second equality, $\left(\mathrm{K}_0\right)$ and $\left(\mathrm{K}_1\right)$ yield $g\left(x^\right) \geq 0$ and $\left(y^\right)^T g\left(x^\right)=0$ and therefore:
• $$
• \begin{aligned}
• \min {y \geq 0} L\left(x^, y\right) &=f\left(x^\right)+\min _{y \geq 0} y^T g\left(x^\right)=f\left(x^\right)+0 \
• &=f\left(x^\right)+\left(y^\right)^T g\left(x^\right)=L\left(x^, y^*\right) .
• \end{aligned}
• $$

博弈论代考

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Shadow prices

鉴于 $m$ 功能 $a_1, \ldots, a_m: \mathbb{R}+^n \rightarrow \mathbb{R}$ 和 $m$ 标量 $b_1, \ldots, b_m \in \mathbb{R}$, 优化问题
$$
\max x \in \mathbb{R}+{ }^n f(x) \quad \text { s.t. } \quad a_1(x) \leq b_1, \ldots, a_m(x) \leq b_m
$$
是类型 $(22)$ 与 $m$ 限制函数 $g_i(x)=b_i-a_i(x)$ 并具有 LAGRANGE 函数
$$
L(x, y)=f(x)+\sum i=1^m y_i\left(b_i-a_i(x)\right) \quad=f(x)-\sum_{i=1}^m y_i a_i(x)+\sum_{i=1}^m y_i b_i .
$$
为了直观地解释问题 (26)，请考虑数据向量
$$
x=\left(x_1, \ldots, x_n\right)
$$
作为计划 $n$ 批量生产的产品 $x_j$ 和 $f(x)$ 作为市场价值 $x$.
假使，假设 $x$ 需要使用 $m$ 数量的材料 $a_1(x), \ldots, a_m(x)$ 并且参数 $b_1, \ldots, b_m$ 描述制造商已经拥有的材料 的数量。
如果数字 $y_1, \ldots, y_m$ 代表市场价格（每单位) $m$ 材料，我们发现 $L(x, y)$ 是制造商资产的总价值:
$L(x, y)=$ market value of the production $x \quad$ + value of the materials left in stock.
制造商苃望通过决定适当的生产计划来尽可能提高该值 $x$.

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Equilibria of convex LAGRANGE games

值得注意的是，事实证明，KKT 条件对于刻画具有可微目标函数的凸拉格朗日博孪中的均衡点不仅是必 要的，而且是充分的。这提供了一种计算这种平衡并因此解决类型优化问题的方法 $(22)$ 在实践中： ${ }^9$ : 平衡 $\Lambda=\left(X, \mathbb{R}+{ }^m, L\right)$ 和 $\mathrm{x}^{\wedge}$ 将是 (22) 的最优解。事实上，人们发现：定理 3.3。一双
Yeft( $x^{\wedge}, y^{\wedge} \backslash$ right) $\backslash$ in $X \backslash t$ imes $\backslash$ mathbb{R ${+}^{\wedge} m$ 是凸拉格朗日博亦的均衡 $\Lambda=\left(X, \mathbb{R}+{ }^m, L\right)$ 当且仅当 左 $\left(x^{\wedge}, y^{\wedge} \backslash\right.$ 右 $)$ 满足 $K K T$-条件。证明。从引理 3.2，我们知道 KKT 条件是必要的。为了显示充分性， 假设 $\backslash$ left $\left(x^{\wedge}, y^{\wedge} \backslash\right.$ right $\backslash$ in $X \backslash t$ imes $\backslash m a t h b b{R}_{-}{+}^{\wedge} m$ 满足 $K K T$ 条件。我们必须证明 $\left(x^{\prime} y^*\right)$ 是 $y^{\wedge} \backslash$ right $)=\backslash \min {y \backslash$ geq 0$}$ L\eft $\left(x^{\wedge}, y \backslash\right.$ 右 $)$

• $\$ \$$
• 对于功能 $L(x, y)=f(x)+y^T g(x)$.
• 自从 $x \backslash$ \mapsto $L \backslash l$ left $\left(x, y^{\wedge} \backslash\right.$ right $)$ 是凹函数，我们对每个 $x \in X$,
  因为 $\left(\mathrm{K}2\right)$ 保证 $\backslash$ nabla $x \backslash \backslash$ left $\left(x^{\wedge}, y^{\wedge} \backslash\right.$ right $) \backslash$ left $\left(x x^{\wedge} \backslash\right.$ right $\backslash \backslash$ leq 0 , 我们得出结论
• $\$ \$$ 和 $\left(K_1\right)$ 屈沚 $g_{\bigvee l e f t}\left(x^{\wedge} \backslash\right.$ right $\backslash$ geq 0 和 $\backslash$ left( $\left(y^{\wedge} \backslash \text { right }\right)^{\wedge} T g \backslash l$ eft $\left(x^{\wedge} \backslash r i g h t\right)=0$ 因此:
• $\$ \$$
• $\backslash$ begin{对齐 $}$ $\left(x^{\wedge} \backslash\right.$ 右 $)+0 \backslash$
• \& $=f \backslash$ left( $x^{\wedge} \backslash$ right $)+\backslash$ left( $\left(y^{\wedge} \backslash \text { right }\right)^{\wedge} T g \backslash$ left $\left(x^{\wedge} \backslash\right.$ Yright $)=\left\lfloor\backslash l\right.$ left $\left(x^{\wedge}, y^{\wedge} \backslash\right.$ right) 。
• \结束{对齐}
• $\$ \$$

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