经济代写|博弈论代写Game Theory代考|ECON3503

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经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Investing and Betting

Assume that an investor (or bettor or gambler or simply player) is considering a financial engagement in a certain venture. Then the obvious – albeit rather vague – big question for the investor is:

  • What decision should best be taken?
    More specifically, the investor wants to decide whether an engagement is worthwhile at all and, if so, how much of the available capital should be invested how. Obviously, the answer depends on additional information: What is the likelihood of a success? What gain can be expected? What is the risk of a loss? etc.

The investor is thus about to participate as a player in a 2-person game with an opponent whose stratcgics and objective are not always clear or known in advance. Relevant information is not completely (or not reliably) available to the investor so that the decision must be made under uncertainties. Typical examples are gambling and betting where the success of the engagement depends on events that may or may not occur and hence on “fortune” or “chance”. But also investments in the stock market fall into this category when it is not clear in advance whether the value of a parlicular investment will rise or fall.

We are not able to answer the big question above completely but will discuss various aspects of it. Before going into further details, let us illustrate the difficulties of the subject with a classical – and seemingly paradoxical – gambling situation.

The St. Petersburg paradox. Imagine yourself as a potential player in the following game of chance.

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Proportional investing

Our general model consists of a potential investor with an initial portfolio $B$ of $b>0$ euros (or dollars or…) and an investment opportunity $A$. If things go well, an investment of size $x$ would bring a return $r x>x$. If things do not go well, the investment will return nothing.
In the analysis, we will denote the net return rate by
$$
\rho=r-1 .
$$
The investor is to decide what portion of $B$ should be invested. The investor believes:
(PI) Things go well with probability $p>0$ and do not go well with probability $q=1-p$.

Under the assumption (PI), the investor’s expected portfolio value after the investment $x$ is
$$
B(x)=[(b-x)+r x] p+(b-x) q=[b+\rho x] p+(b-x) q
$$
since an amount of size $b-x$ is not invested and therefore not at risk. The derivative is
$$
B^{\prime}(x)=\rho p-q
$$
So $B(x)$ is strictly increasing if $\rho>q / p$ and non-increasing otherwise. Hence, if the investor’s decision is motivated by the maximization of the expected portfolio value $B(x)$, the naive investment rule applies.

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博弈论代考

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Investing and Betting

假设投资者(或投注者或赌徒或简单的玩家)正在考虑参与某项风险投资。那么对投资者来说,一个显而易见的——尽管相当模糊——的大问题是:

  • 最好做出什么决定?
    更具体地说,投资者想要决定一项参与是否值得,如果值得,应该以何种方式投资多少可用资本。显然,答案取决于其他信息:成功的可能性有多大?可以期待什么收获?损失的风险是什么?等等

因此,投资者将作为一名玩家与对手进行一场 2 人游戏,对手的战略和目标并不总是很清楚或事先不知道。投资者无法完全(或不可靠地)获得相关信息,因此必须在不确定的情况下做出决定。典型的例子是赌博和打赌,其中参与的成功取决于可能会或可能不会发生的事件,因此取决于“运气”或“机会”。但是,当事先不清楚特定投资的价值是上涨还是下跌时,对股票市场的投资也属于此类。

我们无法完全回答上面的大问题,但会讨论它的各个方面。在进入更多细节之前,让我们用一个经典的——看似矛盾的——赌博情境来说明这个主题的困难。

圣彼得堡悖论。想象自己是以下机会游戏中的潜在玩家。

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Proportional investing

我们的一般模型由具有初始投资组合的潜在投资者组成 $B$ 的 $b>0$ 欧元 (或美元或…..) 和投资机会 $A$. 如 果一切顺利,投资规模 $x$ 会带来回报 $r x>x$. 如果事情进展不顺利,投资将一无所获。
在分析中,我们将净回报率表示为
$$
\rho=r-1 .
$$
投资者决定哪一部分 $B$ 应该投赕。投资者认为:
(PI) 事情进展顺利的概率 $p>0$ 并且不太可能顺利 $q=1-p$.
假设 ( $\mathrm{PI})$ 下,投资者投资后预期的投资组合价值 $x$ 是
$$
B(x)=[(b-x)+r x] p+(b-x) q=[b+\rho x] p+(b-x) q
$$
因为一定数量 $b-x$ 没有投资,因此没有风险。导数是
$$
B^{\prime}(x)=\rho p-q
$$
所以 $B(x)$ 严格递增,如果 $\rho>q / p$ 否则不增加。因此,如果投资者的决策是由预期投资组合价值的最大 化所驱动的 $B(x)$ ,朴嗉投资规则适用。

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