数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|MPCS50103

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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Portfolio optimization with withdrawal

In this section, the investor is allowed to withdraw a proportion $c_n$ of their wealth at the instant $n$, after updating the asset prices, but before the redistribution of their portfolio for the next investment period. Therefore, they only reinvest the non-withdrawn part. The corresponding investment-withdrawal strategy $\left(\pi_n, c_n\right)$ is no longer self-financed, but it must remain predictable and the wealth after the withdrawal must be positive or zero at each instant. Therefore, it can thus be shown that the new wealth at the time $n$ after the evolution of the prices and when the value of the withdrawal is
$$
V_n(\pi, c)=\prod_{i=1}^n\left(1-c_i\right)\left(\pi_i T_i+\left(1-\pi_i\right)(1+r)\right),
$$
such that the value of the wealth withdrawn at the instant $n$ is $R_n(\pi, c)$ with
$$
R_n(\pi, c)= \begin{cases}\frac{c_n V_n(\pi, c)}{1-c_n} & \text { if } c_n \neq 1, \ V_{n-1}(\pi, c)\left(\pi_n T_n+\left(1-\pi_n\right)(1+r)\right) & \text { if not. }\end{cases}
$$
1) Graphically represent the evolution of the wealth for the investment strategy with the following withdrawal policy:
a) The proportion of the wealth invested in the risky asset is fixed over time, at $1 / 4$,
b) The proportion of the wealth withdrawn at each instant is equal to $1 \%$ over the interval $[1,80], 5 \%$ over the interval $] 80,90], 10 \%$ over the interval $] 90,95], 25 \%$ over the interval $] 95,100$ [ and upon maturity, all the remaining wealth is withdrawn.
We will take the following parameters: the initial wealth $V_0=1$, the risky asset evolves as per the Cox, Ross and Rubinstein model with parameters $d=-2 \%$, $u=10 \%$ and $q=0.52$, interest rate $r=4 \%$, duration of investment: $N=100$ periods.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Complete markets

We now wish to see whether it is possible to construct admissible strategies that allow us to obtain a European option $X_N$ at the date of maturity $N$.

DEFINITION 6.2.- A European option $X_N$ is said to be simulable if there exists an admissible strategy whose value at the date of maturity $N$ is exactly $X_N$.

DEFINITION 6.3.-A market is said to be complete if any European option is simulable.

We will now see that it is possible to characterize complete markets using martingales.

THEOREM 6.1.-A market is viable and complete if and only if there exists a unique risk-neutral probability $\mathbb{P}^*$ equivalent to $\mathbb{P}$.

PROOF. – The characterization of a viable market through the existence of viable, risk-neutral probabilities has already been seen in Theorem $5.2$.

Let us assume that the market is viable and complete and that there exist two risk-neutral probabilities $\mathbb{P}1$ and $\mathbb{P}_2$. Let $X_N$ be a European option. Since the market is complete, there exists an admissible strategy $\Phi$ such that $V_N(\Phi)=X_N$. Furthermore, under a risk-neutral probability, the discounted value of the portfolio $\left(\widetilde{V}_n(\Phi)\right)$ is a martingale. In particular, we have $$ \begin{aligned} &\mathbb{E}_1\left[V_N(\Phi)\right]=\frac{\mathbb{E}_1\left[X_N\right]}{S_N^0}=\mathbb{E}_1\left[\widetilde{V}_0(\Phi)\right]=V_0(\Phi) \ &\mathbb{E}_2\left[V_N(\Phi)\right]=\frac{\mathbb{E}_2\left[X_N\right]}{S_N^0}=\mathbb{E}_2\left[\widetilde{V}_0(\Phi)\right]=V_0(\Phi) \end{aligned} $$ Thus, for any random $X_N \mathcal{F}_N=\mathcal{F}$-measurable variable, we have $\mathbb{E}_1\left[X_N\right]=$ $\mathbb{E}_2\left[X_N\right]$. Taking $X_N=1\omega$, for example, we obtain $\mathbb{P}_1(\omega)=\mathbb{P}_2(\omega)$ for any $\omega \in \Omega$; therefore, $\mathbb{P}_1=\mathbb{P}_2$. Hence, we have unicity.

The converse is based on the orthogonality properties of the sub-spaces of random variables and sheds no particular light on the concepts of martingales or financial markets. We have therefore omitted it here and the reader who wishes to learn more about them may wish to consult, among others, [LAM 97, Theorem 3.4] for more details.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|MPCS50103

离散数学代写

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Portfolio optimization with withdrawal

在本节中,投资者可以提取一部分 $c_n$ 他们的财富在瞬间 $n$ ,在更新资产价格之后,但在下一个投资期的 投资组合重新分配之前。因此,他们只将末提取的部分进行再投资。相应的投资退出策略 $\left(\pi_n, c_n\right)$ 不再 是自筹资金,但必须保持可预测性,并且提款后的财富必须在每一刻都为正或为零。因此,由此可见, 当时的新财富 $n$ 在价格演变之后以及提款的价值是
$$
V_n(\pi, c)=\prod_{i=1}^n\left(1-c_i\right)\left(\pi_i T_i+\left(1-\pi_i\right)(1+r)\right)
$$
使得即时提取的财富价值 $n$ 是 $R_n(\pi, c)$ 和
$$
R_n(\pi, c)=\left{\frac{c_n V_n(\pi, c)}{1-c_n} \quad \text { if } c_n \neq 1, V_{n-1}(\pi, c)\left(\pi_n T_n+\left(1-\pi_n\right)(1+r)\right) \quad\right. \text { if not. }
$$
1) 以图形方式表示具有以下退出策略的投赆策略的财富演变:
a) 投资于风险资产的财富比例随着时间的推移是固定的,在 $1 / 4$ ,
b) 每一时刻提取的财富比例等于 $1 \%$ 在区间内 $[1,80], 5 \%$ 在区间内 $] 80,90], 10 \%$ 在区间内 $] 90,95], 25 \%$ 在区间内] 95,100 [ 到期后,所有剩余的财富将被提取。
我们将采用以下参数:初始财富 $V_0=1$ ,风险资产根据带参数的 Cox、Ross 和 Rubinstein 模型演化 $d=-2 \%, u=10 \%$ 和 $q=0.52$ ,利率 $r=4 \%$ 、投资期限: $N=100$ 期间。

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Complete markets

我们现在㳍望看看是否有可能构建允许我们获得欧洲期权的可接受策略 $X_N$ 在到期日 $N$.
定义 6.2.- 欧式选项 $X_N$ 如果存在一个可接受的策略,其在到期日的价值,则被称为是可模拟的 $N$ 正是 $X_N$
定义 6.3.- 如果任何欧式期权是可模拟的,则称市场是完备的。
我们现在将看到可以使用鞅来表征完整的市场。
定理 6.1.-当且仅当存在唯一的风险中性概率时,市场才是可行的和完整的 $\mathbb{P}^*$ 相当于 $\mathbb{P}$.
证明。在定理中已经看到通过存在可行的、风险中性的概率来表征可行的市场 $5.2$.
让我们假设市场是可行的和完整的,并且存在两个风险中性概率 $\mathbb{P} 1$ 和 $P_2$. 让 $X_N$ 成为欧式选项。由于市 场是完备的,因此存在一个可接受的策略 $\Phi$ 这样 $V_N(\Phi)=X_N$. 此外,在风险中性概率下,投资组合的 贴现值 $\left(\tilde{V}_n(\Phi)\right)$ 是一个鞅。特别地,我们有
$$
\mathbb{E}_1\left[V_N(\Phi)\right]=\frac{\mathbb{E}_1\left[X_N\right]}{S_N^0}=\mathbb{E}_1\left[\tilde{V}_0(\Phi)\right]=V_0(\Phi) \quad \mathbb{E}_2\left[V_N(\Phi)\right]=\frac{\mathbb{E}_2\left[X_N\right]}{S_N^0}=\mathbb{E}_2\left[\tilde{V}_0(\Phi)\right]=V_0(\Phi)
$$
因此,对于任意随机 $X_N \mathcal{F}_N=\mathcal{F}$ – 可测变量,我们有 $\mathbb{E}_1\left[X_N\right]=\mathbb{E}_2\left[X_N\right]$. 服用 $X_N=1 \omega$ ,例如,我 们得到 $\mathbb{P}_1(\omega)=\mathbb{P}_2(\omega)$ 对于任何 $\omega \in \Omega$; 所以, $\mathbb{P}_1=\mathbb{P}_2$. 因此,我们有唯一性。
反过来是基于随机变量子空间的正交性属性,并且没有特别说明鞅或金融市场的概念。因此,我们在这 里省略了它,苃望了解更多有关它们的读者可能㳍望参考 [LAM 97,定理 3.4] 等以获取更多详细信息。

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考

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