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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Financial assets
Let us consider a financial market comprising of a risk-free asset $\left(S_n^0\right){0 \leq n \leq N}$ and $d \geq 1$ risky assets $\left(S_n^0\right){0 \leq n \leq N}$ for $1 \leq i \leq d$. The price of the risky assets is represented by stochastic processes. The risk-free asset dynamic is
$$
\begin{aligned}
&S_0^0=1, \
&S_n^0=(1+r)^n, n \geq 1,
\end{aligned}
$$
where $r$ is the interest rate on the market. The risky assets have a random dynamic that is unspecified for the moment. As we need to compare the prices of the assets on different dates, we may sometimes wish to ignore the effect of the depreciation of currency, which is considered to be linked to the risk-free rate of interest.
DEFINITION 5.1.- The discounted prices of assets are the prices divided by the current value of the risk-free asset
$$
\widetilde{S}_n^i=\frac{S_n^i}{S_n^0}=\frac{S_n^i}{(1+r)^n}, \quad n \geq 0 .
$$
In mathematical terms, discounting prices is equivalent to considering that the risk-free interest rate is zero.
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Investment strategies
Let us now consider an investor who wishes to invest money in the market. In order to define their investment strategy, they must know, at each instant, the number of shares invested in each asset.
DEFINITION 5.2.-An investment strategy is a process $\Phi=\left(\Phi_n\right){1 \leq n \leq N}$ that corresponds to the quantities $\Phi_n=\left(\phi_n^0, \phi_n^1, \ldots, \phi_n^d\right) \in \mathbb{R}^{d+1}$ of each asset held by an investor between the instant $n-1$ and the instant $n$. It is a predictable process: for any $1 \leq n \leq N$, and $0 \leq i \leq d, \phi_n^i$ is the $\bar{F}{n-1}$ measurable
An investment strategy must be predictable, since decisions on how to distribute the portfolio between the instants $n-1$ and $n$ can be based only on the information available up to the instant $n-1$. In other words, there is no insider trading and the investor has no information on the future of the market.
Given the current prices of assets and an investment strategy, it is possible to calculate the value of the investor’s portfolio at every instant.
DEFINITION 5.3.- The value, at an instant $n$, of a portfolio that applies the investment strategy $\Phi$ is
$$
V_n(\Phi)=\sum_{i=1}^d \phi_n^i S_n^i=<\Phi_n, S_n>,
$$
where $\langle x, y\rangle$ is the scalar product of $x$ and $y$, and $S_n=\left(S_n^0, S_n^1, \ldots, S_n^d\right)$.
The above notation may be ambiguous. Indeed, using our notations, $V_n(\Phi)$ represents the wealth at time $n$, just after the asset prices have been updated and before the portfolio is redistributed for the next period. We may also wish to consider the wealth at the instant $n$ after the redistribution of the portfolio. In fact, in most cases that we will consider, these two quantities are equal.
离散数学代写
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Financial assets
让我们考虑一个由无风险资产组成的金融市场 $\left(S_n^0\right) 0 \leq n \leq N$ 和 $d \geq 1$ 风险资产 $\left(S_n^0\right) 0 \leq n \leq N$ 为 了 $1 \leq i \leq d$. 风险资产的价格由随机过程表示。无风险资产动态是
$$
S_0^0=1, \quad S_n^0=(1+r)^n, n \geq 1,
$$
在哪里 $r$ 是市场利率。风险资产具有暂时末指定的随机动态。由于我们需要比较资产在不同日期的价格， 有时我们可能布望忽略货币贬值的影响，这被认为与无风险利率挂钧。
定义 5.1.- 资产的贴现价格是价格除以无风险资产的现值
$$
\widetilde{S}_n^i=\frac{S_n^i}{S_n^0}=\frac{S_n^i}{(1+r)^n}, \quad n \geq 0 .
$$
用数学术语来说，贴现价格相当于认为无风险利率为雴。
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Investment strategies
现在让我们考虑一个郗望在市场上投资的投资者。为了定义他们的投资策略，他们必须知道每时每刻投 资于每项资产的股票数量。
定义 5.2.-投资策略是一个过程 $\Phi=\left(\Phi_n\right) 1 \leq n \leq N$ 对应于数量 $\Phi_n=\left(\phi_n^0, \phi_n^1, \ldots, \phi_n^d\right) \in \mathbb{R}^{d+1}$ 投资 者在即时之间持有的每项资产 $n-1$ 和瞬间 $n$. 这是一个可预测的过程: 对于任何 $1 \leq n \leq N$ ， 和 $0 \leq i \leq d, \phi_n^i$ 是个 $\bar{F} n-1$ 可衡量的
投资策略必须是可预测的，因为关于如何在瞬间之间分配投损组合的决定 $n-1$ 和 $n$ 只能基于当前可用的 信息 $n-1$. 换句话说，没有内幕交易，投资者对市场的末来没有任何信息。
给定资产的当前价格和投资策略，可以随时计算出投资者投资组合的价值。
定义 5.3.- 瞬间的价值 $n$ ，应用投资策略的投资组合 $\Phi$ 是
$$
V_n(\Phi)=\sum_{i=1}^d \phi_n^i S_n^i=<\Phi_n, S_n>
$$
在哪里 $\langle x, y\rangle$ 是的标量积 $x$ 和 $y$ ， 和 $S_n=\left(S_n^0, S_n^1, \ldots, S_n^d\right)$.
上面的符号可能有歧义。事实上，使用我们的符号， $V_n(\Phi)$ 代表当时的财富 $n$ ，就在资产价格更新之后 和下一个时期的投资组合重新分配之前。我们也不妨考虑一下当下的财富 $n$ 投资组合重新分配后。事实 上，在我们要考虑的大多数情况下，这两个量是相等的。
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