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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|The Cox, Ross and Rubinstein model

We will now illustrate the different concepts introduced above using a specific case of financial market. This is a discretized version of the Black and Scholes model.
The market is considered to be made up of a risk-free asset $S_n^0=(1+r)^n$ and a single risky asset $S^1$ with the dynamic
$$
S_0^1=1, \quad S_{n+1}^1=S_n^1 T_{n+1}, n \geq 0,
$$
where $\left(T_n\right)_{1 \leq n \leq N}$ is a sequence of random variable taking only two values $1+d$ and $1+u$ with $-1<d<u$. In other words, $d$ and $u$ are interpreted as interest rates. We thus write
$$
\Omega={1+d, 1+u}^N, \mathcal{F}_0={\emptyset, \Omega}, \mathcal{F}_n=\sigma\left(T_1, \ldots, T_n\right), 1 \leq n \leq N
$$
In particular, $\mathcal{F}_N=\sigma\left(T_1, \ldots, T_N\right)=\mathcal{P}(\Omega)$ is the set of subsets of $\Omega$.
We will now characterize viable markets in this model. In order to do this, we start by studying risk-neutral probabilities.

PROPOSITION 5.2.- The discounted prices $\left(\widetilde{S}n^1\right){0 \leq n \leq N}$ are a martingale under a probability $\mathbb{P}^$ if and only if, for any $0 \leq n \leq N-1$, we have $$ \mathbb{E}^\left[T_{n+1} \mid \mathcal{F}_n\right]=1+r
$$
with $\mathbb{E}^$ denoting the expectation for the probability $\mathbb{P}^$.
PROOF. – Let us proceed through double implication.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Portfolio optimization

We now study a portfolio optimization problem in the Cox, Ross and Rubinstein model.

Let $V_0$ be the wealth of an investor at the time 0 . The investor can invest their money either in a risky asset or in a risk-free asset, following an admissible strategy. We use $\phi_n^0$ and $\phi_n^1$ to denote the number of shares in the risk-free asset and the number of shares in the risky asset, respectively, held between the time $n-1$ and $n$. Let $\pi_n$ be the proportion of the wealth invested in the risky asset between the instants $n-1$ and $n$, that is,
$$
\pi_n=\frac{\phi_n^1 S_{n-1}^1}{V_{n-1}} .
$$
1) Express $\phi_n^0$ and $\phi_n^1$ as the functions of $\pi_n, S_{n-1}^0, S_{n-1}^1$ and $V_{n-1}$ for any $n$.
2) Derive from this that for any $n$, the wealth at the time $n$, after the evolution of the prices and before the redistribution of the portfolio has the value:
$$
V_n=\left(\pi_n T_n+\left(1-\pi_n\right)(1+r)\right) V_{n-1} .
$$
3) On the same graph and for the same random sampled trajectory, represent the evolution of the risk-free asset and the evolution of the wealth for the following two strategies:

a) The proportion of the wealth invested in the risky asset is fixed over time, at $1 / 4$.
b) The proportion of the wealth invested in the risky asset only takes the values 0 and 1 . It takes the value 1 when the price of a risky asset strictly exceeds that of the risk-free asset, and takes the value 0 when the risky asset is small than or equal to the risk-free asset, while remaining predictable.

We will take the following parameters: initial wealth $V_0=1$, the risky asset evolves as per the Cox, Ross and Rubinstein model with parameters $d=-2 \%$, $u=10 \%$ and $q=0.52$, interest rate $r=4 \%$ and duration of investment: $N=100$ periods.

离散数学代写

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|The Cox, Ross and Rubinstein model

我们现在将使用金融市场的具体案例来说明上面介绍的不同概念。这是 Black 和 Scholes 模型的离散版
本。
市场被认为是由无风险资产组成的 $S_n^0=(1+r)^n$ 和单一风险资产 $S^1$ 与动态
$$
S_0^1=1, \quad S_{n+1}^1=S_n^1 T_{n+1}, n \geq 0,
$$
在哪里 $\left(T_n\right){1 \leq n \leq N}$ 是一个只取两个值的随机变量序列 $1+d$ 和 $1+u$ 和 $-1{n+1} \mid \mathcal{F}_n\right]}=1+r
$$
和 $\backslash$ mathbb ${E}^{\wedge}$ 表示对概率的期望 $\backslash$ \mathbb ${P}^{\wedge}$.
证明。-让我们继续进行双重暗示。

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Portfolio optimization

我们现在研究 Cox、Ross 和 Rubinstein 模型中的投资组合优化问题。
让 $V_0$ 是投资者在 0 时的财富。投资者可以按照可接受的策略将资金投资于风险资产或无风险资产。我们 用 $\phi_n^0$ 和 $\phi_n^1$ 分别表示持有无风险资产的股份数和持有风险资产的股份数 $n-1$ 和 $n$. 让 $\pi_n$ 是时刻之间投资 于风险资产的财富比例 $n-1$ 和 $n$ ，那是，
$$
\pi_n=\frac{\phi_n^1 S_{n-1}^1}{V_{n-1}} .
$$
1) 快递 $\phi_n^0$ 和 $\phi_n^1$ 作为功能 $\pi_n, S_{n-1}^0, S_{n-1}^1$ 和 $V_{n-1}$ 对于任何 $n$.
2) 由此得出，对于任何 $n$ ，当时的财富 $n$ ，在价格演变之后和投资组合重新分配之前具有以下价值:
$$
V_n=\left(\pi_n T_n+\left(1-\pi_n\right)(1+r)\right) V_{n-1} .
$$
3) 在同一张图上，对于相同的随机采样轨迹，代表以下两种策略的无风险资产的演变和财富的演变:
a) 投资于风险资产的财富比例随着时间的推移是固定的，在 $1 / 4$.
b) 投资于风险资产的财富比例只取值 0 和 1。当风险资产的价格严格超过无风险资产的价格时取值 1， 当风险资产小于或等于无风险资产时取值 0 ，同时保持可预测性。
我们将采用以下参数：初始财富 $V_0=1$ ，风险资产根据带参数的 Cox、Ross 和 Rubinstein 模型演化 $d=-2 \%, u=10 \%$ 和 $q=0.52$ ，利率 $r=4 \%$ 和投资期限： $N=100$ 期间。

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