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数学代写|密码学代写cryptography theory代考|The Sieve of Eratosthenes
The sieve of Eratosthenes finds the primes below some limit $J$. It writes the numbers $1,2, \ldots, J$. Then it crosses out the number 1 , which is not prime. After that, let $p$ be the first number not crossed out. Cross out all multiples of $p$ greater than $p$. Repeat these steps, replacing $p$ by the next number not yet crossed out, as long as $p \leq \sqrt{J}$. When $p$ reaches $\sqrt{J}$ all numbers crossed out are composite (or 1) and all numbers not crossed out are prime.
A computer program would use an array $P[]$ to represent the numbers 1 to $J$. Let ‘ 1 ‘ mean that the number is not crossed out and ‘ 0 ‘ mean that the number is crossed out. The algorithm starts by marking 1 as ‘crossed out’ and the other numbers as ‘not crossed out’. For each prime $p$, cross out all multiples of the prime $p$. Then the first number not yet crossed out is the next prime $p$. At the end, the value of $P[i]$ is 1 if $i$ is prime and 0 if $i$ is 1 or composite. The sieve of Eratosthenes computes all primes $\leq J$ in $O(J \log \log J)$ steps.
A variation of this sieve factors the numbers in the range of a polynomial $f(x)$ with integer coefficients, but it only finds the prime factors of each $f(x)$ that lie in a finite set $\mathcal{P}$ of primes. The polynomial $f(x)$ is fixed. This sieve algorithm (see Algorithm 3.4) is the heart of the quadratic and number field sieve factoring algorithms. For each $i$, a linked list $L[i]$ holds the distinct prime factors of $f(i)$.
The output $L[i]$ lists only the distinct prime factors of $f(i)$ in $\mathcal{P}$. A modification of this algorithm also finds the number of repetitions of each prime factor of $f(i)$ without ever forming that number, which may be huge.
数学代写|密码学代写cryptography theory代考|The Quadratic Sieve Factoring Algorithm
The quadratic sieve factoring algorithm, QS, and the CFRAC differ only in the method of producing relations $x^2 \equiv q(\bmod n)$ with $q$ factored completely. The CFRAC forms $x$ and $q$ from the continued fraction expansion of $\sqrt{n}$ and factors $q$ by slow trial division. The QS produces $x$ and $q$ using a quadratic polynomial $q=f(x)$ and factors the $q$ with a sieve, much faster than trial division. The quadratic polynomial $f(x)$ is chosen so that the $q$ will be as small as possible. Most of these $q$ will exceed $2 \sqrt{n}$, but not by a large factor, so that they are almost as likely to be smooth âs the $q$ in CFRAC.
Let $f(x)=x^2-n$ and $s=\lceil\sqrt{n}\rceil$. The QS factors some of the numbers
$$
f(s), f(s+1), f(s+2), \ldots
$$
by Algorithm 3.4. If there are $K$ primes in the factor base and we find $R>K$ $B$-smooth numbers $f(x)$, then there will be $R$ relations involving $K$ primes and linear algebra will produce at least $R-K$ congruences $x^2 \equiv y^2(\bmod n)$, each of which has probability at least $1 / 2$ of factoring $n$, by Theorem 3.7.
Sieve by using the fast Algorithm $3.4$ to find the $B$-smooth numbers among $f(s), f(s+1), f(s+2), \ldots$. The factor base $\mathcal{P}$ consists of the primes $p<B$ for which the Legendre symbol $(n / p) \neq-1$. Write the numbers $f(s+i)$ for $i$ in some interval $a \leq i<b$ of convenient length. The first interval will have $a=s$. Subsequent intervals will begin with $a$ equal to the endpoint $b$ of the previous interval. For each prime $p<B$, remove all factors of $p$ from those $f(s+i)$ that $p$ divides. Because $f(x)=x^2-n, p$ divides $f(x)$ precisely when $x^2 \equiv n(\bmod p)$. The solutions $x$ to this congruence lie in the union of two arithmetic progressions with common difference $p$. If the roots of $x^2 \equiv n(\bmod p)$ are $x_1$ and $x_2$, then the arithmetic progressions begin with the first numbers $\equiv x_1$ and $x_2(\bmod p)$ which are $\geq a$. The sieve is much faster than trial division. Pomerance [478] proved that the time complexity of the QS is $L(n)=\exp (\sqrt{(\ln n) \ln \ln n})$.
密码学代考
数学代写|密码学代写cryptography theory代考|The Sieve of Eratosthenes
Eratosthenes 篩法发现低于某个极限的溸数 $J$. 它写数字 $1,2, \ldots, J$. 然后它划掉数字 1 ，它不是溸数。
之后，让 $p$ 是第一个没有划掉的数字。划掉所有的倍数 $p$ 比 …更棒 $p$. 重复这些步㡜，更换 $p$ 通过下一个尚末 划掉的数字，只要 $p \leq \sqrt{J}$. 什么时候 $p$ 达到 $\sqrt{J}$ 所有被划掉的数都是合数（或 1），所有没有被划掉的数 都是溸数。
计算机程序将使用数组 $P$ [代表数字 1 到 $J$. 让”1″表示数字末被划掉，”0″表示数字被划掉。该算法首先将 1 标记为“划掉”，将其他数字标记为 “末划掉”。对于每个嫊数 $p$, 划掉所有责数的倍数 $p$. 那么第一个还没有 划掉的数就是下一个嫊数 $p$. 最后，价值 $P[i]$ 是 1 如果 $i$ 是溸数且 0 如果 $i$ 为 1 或合数。埃拉托色尼笑法计 算所有嗉数 $\leq J$ 在 $O(J \log \log J)$ 脚步。
这个筛子的一个变体会分解多项式范围内的数字 $f(x)$ 具有整数系数，但它只能找到每个的质因数 $f(x)$ 位 于有限集合中 $\mathcal{P}$ 的嫊数。多项式 $f(x)$ 是固定的。该监算法 (参见算法 3.4) 是二次和数域笑因式分解算法 的核心。对于每个 $i$, 一个链表 $L[i]$ 拥有不同的主要因嫊 $f(i)$.
输出 $L[i]$ 仅列出不同的主要因雔 $f(i)$ 在 $\mathcal{P}$. 这个算法的一个修改也找到了每个质因数的重复次数 $f(i)$ 从来 没有形成这个数字，这可能是巨大的。
数学代写|密码学代写cryptography theory代考|The Quadratic Sieve Factoring Algorithm
二次篮因式分解算法、QS 和 CFRAC 仅在生成关系的方法上有所不同 $x^2 \equiv q(\bmod n)$ 和 $q$ 完全考虑。 CFRAC 表格 $x$ 和 $q$ 从连分数展开 $\sqrt{n}$ 和因傃 $q$ 按慢审师。QS产生 $x$ 和 $q$ 使用二次多项式 $q=f(x)$ 和因溸 $q$ 用 筛子，比试司快得多。二次多项式 $f(x)$ 被选择，以便 $q$ 将㞔可能小。其中大部分 $q$ 会超过 $2 \sqrt{n}$ ，但不是很 大的因雔，因此它们几乎与平滑的可能性一样 $q$ 在 CFRAC 中。
让 $f(x)=x^2-n$ 和 $s=\lceil\sqrt{n}]$. QS 考虑了一些数字
$$
f(s), f(s+1), f(s+2), \ldots
$$
通过算法 3.4。如果有 $K$ 因子基中的表数，我们发现 $R>K B$ – 平滑数字 $f(x)$ ，那么就会有 $R$ 涉及的关系 $K$ 嫊数和线性代数至少会产生 $R-K$ 一致 $x^2 \equiv y^2(\bmod n)$ ，其中每一个至少有概率 $1 / 2$ 保理的 $n$ ，根据 定理 3.7。
使用快速算法监选 $3.4$ 找到 $B$ – 之间的平滑数字 $f(s), f(s+1), f(s+2), \ldots$ 因溸基础 $\mathcal{P}$ 由质数组成 $p<B$ 勒让德符号 $(n / p) \neq-1$. 写下数字 $f(s+i)$ 为了 $i$ 在某个时间间隔 $a \leq i<b$ 方便的长度。第一个 间隔将有 $a=s$. 随后的间隔将开始于 $a$ 等于端点 $b$ 上一个间隔。对于每个嫊数 $p<B$ ，去除所有因子 $p$ 从那 些 $f(s+i)$ 那 $p$ 分。因为 $f(x)=x^2-n, p$ 分裂 $f(x)$ 正是在什么时候 $x^2 \equiv n(\bmod p)$. 解决方案 $x$ 这种 一致在于两个具有公差的算术级数的并集 $p$. 如果根 $x^2 \equiv n(\bmod p)$ 是 $x_1$ 和 $x_2$ ，然后算术级数从第一个 数字开始三 $x_1$ 和 $x_2(\bmod p)$ 哪个是 $\geq a$. 筛分比试分快得多。Pomerance [478] 证明了 QS 的时间复杂 度为 $L(n)=\exp (\sqrt{(\ln n) \ln \ln n})$.
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