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经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Efficient GMM Estimators
It is not completely straightforward to answer the question of whether GMM estimators are asymptotically efficient, since a number of separate issues are involved. The first issue was raised at the beginning of the last section, in connection with estimation by instrumental variables. We saw there that, for a given set of empirical moments $\boldsymbol{W}^{\top}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})$, a whole family of estimators can be generated by different choices of the weighting matrix $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{y})$ used to construct a quadratic form from the moments. Asymptotically, the most efficient of these estimators is obtained by choosing $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{y})$ such that it tends to a nonrandom probability limit proportional to the inverse of the limiting covariance matrix of the empirical moments, suitably weighted by an appropriate power of the sample size $n$. This turns out to be true quite generally, as we now show.
Theorem 17.3. A Necessary Condition for Efficiency
A necessary condition for the estimator obtained by minimizing the quadratic form (17.13) to be asymptotically efficient is that it should be asymptotically equal to the estimator defined by minimizing (17.13) with $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{y})$ independent of $\boldsymbol{y}$ and equal to the inverse of the asymptotic covariance matrix of the empirical moments $n^{-1 / 2} \boldsymbol{F}^{\top}(\boldsymbol{\theta}) \boldsymbol{\iota}$.
Note that, when the necessary condition holds, the form of the asymptotic covariance matrix of the GMM estimator $\hat{\theta}$ becomes much simpler. For arbitrary limiting weighting matrix $\boldsymbol{A}_0$, that matrix was given by (17.31). If the necessary condition is satisfied, then $\boldsymbol{A}_0$ in (17.31) may be replaced by the inverse of $\boldsymbol{\Phi}$, which, according to its definition (17.29), is the asymptotic covariance of the empirical moments. Substituting $\boldsymbol{A}_0=\boldsymbol{\Phi}^{-1}$ into (17.31) gives the simple result that
$$
\boldsymbol{V}\left(n^{1 / 2}\left(\hat{\boldsymbol{\theta}}-\boldsymbol{\theta}_0\right)\right)=\left(\boldsymbol{D}^{\top} \boldsymbol{\Phi}^{-1} \boldsymbol{D}\right)^{-1} .
$$
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Estimation with Conditional Moments
The moment conditions that we have used up to now have all been unconditional ones. In practice, however, it is the exception rather than the rule for an econometric model to be specified solely in terms of unconditional moments. In the literature on rational expectations models, for instance, economic theory requires that agents’ errors of prediction should be orthogonal to all variables in their information sets at the time the predictions are made. In the simple context of the linear regression model $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{u}$, it is usual to assume not only that an error term $u_t$ is uncorrelated with the regressors $\boldsymbol{X}$ but also that its expectation conditional on the regressors is zero, which carries the additional implication that it is uncorrelated with any function of the regressors. In a time-series context, it is very common to suppose that the error $u_t$ has expectation zero conditional on all the past regressors as well as on the current ones.
Formally, it is easy to write down a set of parameter-defining equations in terms of conditional moments. Often there is only one such equation, which may be written as
$$
E\left(f_t\left(y_t, \boldsymbol{\theta}\right) \mid \Omega_t\right)=0 \quad \text { for all } t=1, \ldots, n,
$$
where $\Omega_t$ is the information set for observation $t$. We will make the simplifying assumption that $\Omega_t \subseteq \Omega_s$ for $t<s$. In (17.46) we are interpreting $f_t\left(y_t, \boldsymbol{\theta}\right)$ as some sort of error, such as a prediction error made by economic agents. The case of IV estimation of a linear regression model provides a simple example. In that case, (17.46) is interpreted as saying that the errors, just one per observation, are orthogonal to the information set defined by the set of instruments. It would be possible for there to be several parameter-defining equations like (17.46), as in the case of a multivariate regression model, but for simplicity we will in this section assume that there is just one.
In theory, there is no identification problem posed by the fact that there is only a single parameter-defining equation, because there is an infinite number of possible instruments in the sort of information set we consider. In practice, of course, one has to choose a finite number of these in order to set up a criterion function for GMM estimation. Most of this section will be taken up with establishing some results that affect this choice. First, we will demonstrate that the more instruments are used, the more precise is the GMM estimator. Next we show that, despite this, the asymptotic covariance matrices of the GMM estimators which can be constructed from instruments contained in the information sets $\Omega_t$ are bounded below. The lower bound, which is akin to the Cramér-Rao lower bound introduced in Chapter 8, is often called the GMM bound. In theory at least, there exists an optimal set of instruments which allows the GMM bound to be achieved, and the optimal instruments can in some cases be computed or estimated.
计量经济学代考
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Efficient GMM Estimators
回答 GMM 估计量是否渐近有效的问题并不完全直接，因为涉及许多不同的问题。第一个问题在上一节 开头提出，与工具变量估计有关。我们在那里看到，对于给定的一组经验矩 $\boldsymbol{W}^{\top}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})$ ， 可以通过不 同的权重矩阵选择生成整个估计量族 $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{y})$ 用于从时刻构建二次形式。渐近地，这些估计量中最有效的是 通过选择获得的 $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{y})$ 使得它趋向于与经验矩的极限协方差矩阵的倒数成比例的非随机概率极限，由样本 量的适当幂适当加权 $n$. 正如我们现在展示的那样，事实证明这在普遍情况下是正确的。 定理 17.3。效率
的必要条件通过最小化二次型 (17.13) 获得的估计量渐近有效的必要条件是它应该渐近等于通过最小化 (17.13) 定义的估计量 $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{y})$ 独立于 $\boldsymbol{y}$ 等于经验矩的渐近协方差矩阵的逆 $n^{-1 / 2} \boldsymbol{F}^{\top}(\boldsymbol{\theta}) \boldsymbol{\iota}$.
注意，当必要条件成立时，GMM 估计量的渐近协方差矩阵的形式 $\hat{\theta}$ 变得简单多了。对于任意限制加权矩 阵 $\boldsymbol{A}_0$, 该矩阵由 (17.31) 给出。如果满足必要条件，则 $\boldsymbol{A}_0$ (17.31) 中的可由以下的倒数代替 $\boldsymbol{\Phi}$ ，根据其定 义 (17.29)，它是经验矩的渐近协方差。代入 $\boldsymbol{A}_0=\boldsymbol{\Phi}^{-1}$ 进入 (17.31) 给出简单的结果
$$
\boldsymbol{V}\left(n^{1 / 2}\left(\hat{\boldsymbol{\theta}}-\boldsymbol{\theta}_0\right)\right)=\left(\boldsymbol{D}^{\top} \boldsymbol{\Phi}^{-1} \boldsymbol{D}\right)^{-1}
$$
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Estimation with Conditional Moments
到目前为止，我们使用的瞬间条件都是无条件的。然而，在实践中，仅根据无条件矩来指定计量经济模 型是例外而不是规则。例如，在有关理性预期模型的文献中，经济理论要求代理人的预测误差应与做出 预测时其信息集中的所有变量正交。在线性回归模型的简单上下文中 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{u}$ ，通常不仅假设错误 项 $u_t$ 与回归变量不相关 $\boldsymbol{X}$ 而且它以回归量为条件的期望为零，这意味着它与回归量的任何函数都不相 关。在时间序列上下文中，很常见的假设是错误 $u_t$ 对所有过去的回归变量以及当前的回归变量的期望为 零。
形式上，很容易根据条件矩写下一组参数定义方程。通常只有一个这样的方程，可以写成
$$
E\left(f_t\left(y_t, \theta\right) \mid \Omega_t\right)=0 \quad \text { for all } t=1, \ldots, n,
$$
在哪里 $\Omega_t$ 是观察的信息集 $t$. 我们将做出以下简化假设 $\Omega_t \subseteq \Omega_s$ 为了 $t<s$. 在 (17.46) 中我们解释 $f_t\left(y_t, \boldsymbol{\theta}\right)$ 作为某种错误，例如经济主体做出的预测错误。线性回归模型的 IV 估计的情况提供了一个简 单的例子。在这种情况下，(17.46) 被解释为表示误差 (每次观察只有一个误差) 与仪器集定义的信息集 正交。在多元回归模型的情况下，可能会有几个参数定义方程，如 (17.46)，但为了简单起见，我们在本 节中假设只有一个。
理论上，只有一个参数定义方程这一事实不会造成识别问题，因为在我们考虑的这类信息集中有无数种 可能的工具。当然，在实践中，人们必须选择其中的有限数量，以便为 GMM 估计建立一个标准函数。 本节的大部分内容将用于确定影响此选择的一些结果。首先，我们将证明使用的工具越多，GMM 估计 器就越精确。接下来我们表明，尽管如此，GMM 估计量的渐近协方差矩阵可以从信息集中包含的工具 构建 $\Omega_t$ 被限制在下面。下界类似于第 8 章介绍的 Cramér-Rao 下界，通常称为 GMM 界。至少在理论 上，存在允许实现 GMM 界限的一组最优工具，并且在某些情况下可以计算或估计最优工具。
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