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经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Conditional Moment Tests

One important approach to model specification testing that we have not yet discussed is to base tests directly on certain conditions that the error terms of a model should satisfy. Such tests are sometimes called moment specification tests but are more frequently referred to as conditional moment, or CM, tests. They were first suggested by Newey (1985a) and Tauchen (1985) and have been further developed by White (1987), Pagan and Vella (1989), Wooldridge (1991a, 1991b), and others. The basic idea is that if a model is correctly specified, many random quantities which are functions of the error terms should have expectations of zero. The specification of a model sometimes allows a stronger conclusion, according to which such functions of the error terms have zero expectations conditional on some information set – whence the terminology of conditional moment tests.

Since an expectation is often referred to as a moment, the condition that a random quantity has zero expectation is generally referred to as a moment condition. Even if a population moment is zero, its empirical counterpart, which we will call an empirical moment, will (almost) never be so exactly, but it should not be significantly different from zero. Conditional moment tests are based directly on this fact.

Conditional moment tests can be used to test many different aspects of the specification of econometric models. Suppose that the economic or statistical theory behind a given parametrized model says that for each observation $t$ there is some function of the dependent variable $y_t$ and of the model parameters $\boldsymbol{\theta}$, say $m_t\left(y_t, \boldsymbol{\theta}\right)$, of which the expectation is zero when the DGP used to compute the expectation is characterized by $\theta$. Thus, for all $t$ and for all $\theta$,
$$
E_{\boldsymbol{\theta}}\left(m_t\left(y_t, \boldsymbol{\theta}\right)\right)=0 .
$$
We may think of (16.48) as expressing a moment condition. In general, the functions $m_t$ may also depend on exogenous or predetermined variables.
Even though there is a different function for each observation, it seems reasonable, by analogy with empirical moments, to take the following expression as the empirical counterpart of the moment in condition (16.48):
$$
m(\boldsymbol{y}, \hat{\boldsymbol{\theta}}) \equiv \frac{1}{n} \sum_{t=1}^n m_t\left(y_t, \hat{\boldsymbol{\theta}}\right),
$$
where $\hat{\boldsymbol{\theta}}$ denotes a vector of estimates of $\boldsymbol{\theta}$. Expression (16.49) is thus a form of empirical moment. A one-degree-of-freedom CM test would be computed by dividing it by an estimate of its standard deviation and would be asymptotically distributed as $N(0,1)$ under suitable regularity conditions. There might well be more than one moment condition, of course, in which case the test statistic could be calculated as a quadratic form in the empirical moments and an estimate of their covariance matrix and would have the chi-squared distribution asymptotically.

经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Information Matrix Tests

One important type of conditional moment test is the class of tests called information matrix, or IM, tests. These were originally suggested by White (1982), although the conditional moment interpretation is more recent; see Newey (1985a) and White (1987). The basic idea is very simple. If a model that is estimated by maximum likelihood is correctly specified, the information matrix must be asymptotically equal to minus the Hessian. If it is not correctly specified, that equality will in general not hold, because the proof of the information matrix equality depends crucially on the fact that the joint density of the data is the likelihood function; see Section 8.6.

Consider a statistical model characterized by a loglikelihood function of the form
$$
\ell(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\theta})=\sum_{t=1}^n \ell_t\left(y_t, \boldsymbol{\theta}\right),
$$
where $\boldsymbol{y}$ denotes an $n$-vector of observations $y_t, t=1, \ldots, n$, on a dependent variable, and $\boldsymbol{\theta}$ denotes a $k$-vector of parameters. As the subscript $t$ indicates, the contribution $\ell_t$ made by observation $t$ to the loglikelihood function may depend on exogenous or predetermined variables that vary across the $n$ observations. The null hypothesis for the IM test is that
$$
\operatorname{plim}{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n} \sum{t=1}^n\left(\frac{\partial^2 \ell_t(\boldsymbol{\theta})}{\partial \theta_i \partial \theta_j}+\frac{\partial \ell_t(\boldsymbol{\theta})}{\partial \theta_i} \frac{\partial \ell_t(\boldsymbol{\theta})}{\partial \theta_j}\right)\right)=0,
$$
for $i=1, \ldots, k$ and $j=1, \ldots, i$. Expression (16.65) is a typical element of the information matrix equality. The first term is an element of the Hessian, and the second is the corresponding element of the outer product of the gradient. Since the number of such terms is $\frac{1}{2} k(k+1)$, the number of degrees of freedom for an IM test is potentially very large.

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计量经济学代考

经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Conditional Moment Tests

我们尚末讨论的一种重要的模型规范测试方法是直接根据模型误差项应满足的某些条件进行测试。此类 测试有时称为力矩规范测试,但更常称为条件力矩或 CM 测试。它们首先由 Newey (1985a) 和 Tauchen (1985) 提出,并由 White (1987)、Pagan 和 Vella (1989)、Wooldridge (1991a,1991b) 等人进一步发展。 基本思想是,如果模型被正确指定,作为误差项函数的许多随机量的期望值应该为零。模型的规范有时 可以得出更有力的结论,
由于期望通常被称为矩,因此随机量具有零期望的条件通常被称为矩条件。即使人口矩为零,它的经验 对应物 (我们称之为经验矩) 也(几乎) 永远不会如此精确,但它不应该与零有显着差异。条件矩测试 直接基于这个事实。
条件矩检验可用于检验计量经济学模型规范的许多不同方面。假设给定参数化模型背后的经济或统计理 论表明,对于每个观察t因变量有一些函数 $y_t$ 和模型参数 $\boldsymbol{\theta}$ ,说 $m_t\left(y_t, \boldsymbol{\theta}\right)$ ,当用于计算期望的 DGP 具有 以下特征时,期望为零 $\theta$. 因此,对于所有 $t$ 对于所有人 $\theta$ ,
$$
E_{\boldsymbol{\theta}}\left(m_t\left(y_t, \boldsymbol{\theta}\right)\right)=0 .
$$
我们可以将 (16.48) 视为表达矩条件。一般来说,函数 $m_t$ 也可能取决于外生或预定变量。
尽管每个观察都有不同的函数,但通过与经验矩的类比,将以下表达式作为条件矩 (16.48) 的经验对应物 似乎是合理的:
$$
m(\boldsymbol{y}, \hat{\boldsymbol{\theta}}) \equiv \frac{1}{n} \sum_{t=1}^n m_t\left(y_t, \hat{\boldsymbol{\theta}}\right),
$$
在哪里 $\hat{\theta}$ 表示估计的向量 $\boldsymbol{\theta}$. 因此,表达式 (16.49) 是经验矩的一种形式。单自由度 CM 检验的计算方法是 将其除以其标准差的估计值,并将渐近分布为 $N(0,1)$ 在合适的规律性条件下。当然,很可能存在不止一 个矩条件,在这种情况下,检验统计量可以计算为经验矩的二次形式及其协方差矩阵的估计值,并且渐 近地具有卡方分布。

经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Information Matrix Tests

一种重要的条件矩测试类型是称为信息矩阵或 IM 测试的测试类别。这些最初是由 White (1982) 提出 的,尽管条件矩解释最近出现;参见 Newey (1985a) 和 White (1987)。基本思想非常简单。如果正确指 定了通过最大似然估计的模型,则信息矩阵必须渐近地等于减去 Hessian。如果指定不正确,则该等式 通常不成立,因为信息矩阵等式的证明关键取决于数据的联合密度是似然函数这一事实;参见第 $8.6$ 节。
考虑一个以对数似然函数为特征的统计模型
$$
\ell(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\theta})=\sum_{t=1}^n \ell_t\left(y_t, \boldsymbol{\theta}\right)
$$
在哪里 $\boldsymbol{y}$ 表示一个 $n$-观察向量 $y_t, t=1, \ldots, n$ ,在一个因变量上,并且 $\boldsymbol{\theta}$ 表示一个 $k$-参数向量。作为下 标 $t$ 表明,贡献 $\ell_t$ 通过观察 $t$ 对数似然函数可能取决于随变量变化的外生或预定变量 $n$ 观察。IM 检验的原 假设是
$$
\operatorname{plim} n \rightarrow \infty\left(\frac{1}{n} \sum t=1^n\left(\frac{\partial^2 \ell_t(\boldsymbol{\theta})}{\partial \theta_i \partial \theta_j}+\frac{\partial \ell_t(\boldsymbol{\theta})}{\partial \theta_i} \frac{\partial \ell_t(\boldsymbol{\theta})}{\partial \theta_j}\right)\right)=0
$$
为了 $i=1, \ldots, k$ 和 $j=1, \ldots, i$. 表达式 (16.65) 是信息矩阵等式的典型元䋤。第一项是Hessian的一个 元嫊,第二项是梯度外积的对应元嫊。由于此类项的数量是 $\frac{1}{2} k(k+1)$ ,IM 测试的自由度数可能非常 大。 $_0$

经济代写|博弈论代写Game Theory代考

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