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经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|The Generalized Method of Moments
We saw in the last chapter that if a model is correctly specified, there will often be conditional moments which are zero. The essential idea of the generalized method of moments, or GMM, is that moment conditions can be used not only to test model specification but also to define model parameters, in the sense of providing a parameter-defining mapping for a model. The very simplest example of this is a model in which the only parameter of interest is the expectation of the dependent variable. This is a special case of what is called a location model. If each observation on a dependent variable $y$ is a drawing from a distribution with expectation $m$, then the moment $E(y-m)$ must be zero. This fact serves to define the parameter $m$, since if $m^{\prime} \neq m$, $E\left(y-m^{\prime}\right) \neq 0$. In other words, the moment condition is satisfied only by the true value of the parameter.
According to the (ordinary) method of moments, if one has a sample of independent drawings from some distribution, one can estimate any moment of the distribution by the corresponding sample moment. This procedure is justified very easily by invoking the law of large numbers in its simplest form. Thus, for the location model, if the sample is denoted by $y_t, t=1, \ldots, n$, the method of moments estimator of $m$ is just the sample mean
$$
\hat{m}=\frac{1}{n} \sum_{t=1}^n y_t
$$
When one speaks of the generalized method of moments, several generalizations are in fact implied. Some involve no more than relaxing regularity conditions, for instance, the assumption of i.i.d. observations. Since many different laws of large numbers can be proved (recall the list in Section 4.7), there is no reason to limit oneself to the i.i.d. case. But the essential generalizations follow from two facts. The first is that conditional moments may be used as well as unconditional ones, and the second is that moments may depend on unknown parameters.
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Criterion Functions and M-Estimators
In Chapter 7 , the IV estimator for the linear regression model was defined by the minimization of the criterion function
$$
(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})^{\top} \boldsymbol{P}_W(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}) ;
$$
see equation (7.15). Let $k$ denote the number of regressors and $l \geq k$ the number of instruments. In the just identified case, in which $l=k$, the minimized value of the criterion function is zero. This value is achieved at the value of $\boldsymbol{\beta}$ given by the simple IV estimator, defined by the $k$ conditions (17.05). When $l>k$, the minimized value is in general greater than zero, since it is not in general possible to solve what is now the set of $l$ conditions (17.05) for $k$ unknowns.
The overidentified case in the GMM context is similar. There are $l$ estimator-defining equations (17.07) but just $k$ unknown parameters. Instead of solving a set of equations, the left-hand sides of these equations are used to define a criterion function which is subsequently minimized to provide parameter estimates. Consider (17.08) again. If we write it as
$$
(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})^{\top} \boldsymbol{W}\left(\boldsymbol{W}^{\top} \boldsymbol{W}\right)^{-1} \boldsymbol{W}^{\top}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}),
$$
we see that the expression is a quadratic form made up from the empirical moments $\boldsymbol{W}^{\top}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})$ and the inverse of the positive definite matrix $\boldsymbol{W}^{\top} \boldsymbol{W}$. This positive definite matrix is, under homoskedasticity and serial independence of the error terms, proportional to the covariance matrix of the vector of moments, the factor of proportionality being the variance of the error terms. Omitting this factor of proportionality does not matter, because the $\boldsymbol{\beta}$ which minimizes (17.09) is unchanged if (17.09) is multiplied by any positive scalar.
It is not necessary to use the covariance matrix of the empirical moments $\boldsymbol{W}^{\top}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})$ if one merely wishes to obtain consistent, rather than efficient, estimates of $\boldsymbol{\beta}$ by the minimization of the criterion function.
计量经济学代考
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|The Generalized Method of Moments
我们在上一章中看到，如果正确指定了模型，通常会有条件矩为雾。广义矩法 (Generalized Method of moments，GMM) 的基本思想是，矩条件不仅可用于测试模型规范，还可用于定义模型参数，即为模型 提供参数定义映射。最简单的例子是一个模型，其中唯一感兴趣的参数是因变量的期望。这是所谓的位 置模型的特例。如果对因变量的每个观察 $y$ 是来自具有期望的分布的绘图 $m$, 那么时刻 $E(y-m)$ 必须为 零。这个事实用于定义参数 $m$, 因为如果 $m^{\prime} \neq m, E\left(y-m^{\prime}\right) \neq 0$. 换句话说，只有参数的真值才满足 矩条件。
根据（普通) 矩量法，如果有来自某个分布的独立绘图样本，则可以通过相应的样本矩估计分布的任何 矩量。通过以最简单的形式调用大数定律，可以很容易地证明这个过程是合理的。因此，对于位置模 型，如果样本表示为 $y_t, t=1, \ldots, n$ ，矩估计的方法 $m$ 只是样本均值
$$
\hat{m}=\frac{1}{n} \sum_{t=1}^n y_t
$$
当谈到广义矩法时，实际上暗示了几种概括。有些仅涉及放宽规律性条件，例如 iid 观察的假设。由于可 以证明许多不同的大数定律 (回想一下第 $4.7$ 节中的列表)，没有理由将自己局限于独立同分布的情 况。但基本的概括来自两个事实。第一个是条件矩和无条件矩都可以使用，第二个是矩可能取决于末知参数。
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Criterion Functions and M-Estimators
在第7章中，线性回归模型的IV估计量是通过准则函数的最小化来定义的。
$$
(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})^{\top} \boldsymbol{P}_W(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})
$$
见等式 (7.15)。让 $k$ 表示回归量的数量和 $l \geq k$ 仪器的数量。在刚刚确定的案例中， $l=k$ ，准则函数的 最小值为零。该值是在以下值实现的 $\beta$ 由简单的 IV 估计量给出，由 $k$ 条件 (17.05)。什么时候 $l>k$ ，最小 值通常大于雴，因为通常不可能解决现在的集合 $l$ 条件 (17.05) 为 $k$ 末知数。
GMM 上下文中过度识别的情况类似。有l估计量定义方程 (17.07) 但只是 $k$ 末知参数。这些方程的左侧用 于定义一个准则函数，而不是求解一组方程，随后将其最小化以提供参数估计。再次考虑 (17.08)。如果 涐们把它写成
$$
(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})^{\top} \boldsymbol{W}\left(\boldsymbol{W}^{\top} \boldsymbol{W}\right)^{-1} \boldsymbol{W}^{\top}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}),
$$
我们看到表达式是由经验矩组成的二次形式 $\boldsymbol{W}^{\top}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})$ 和正定矩阵的逆 $\boldsymbol{W}^{\top} \boldsymbol{W}$. 在误差项的同方差 性和序列独立性下，该正定矩阵与矩向量的协方差矩阵成正比，比例因子是误差项的方差。省略这个比 例因傃并不重要，因为 $\beta$ 如果 (17.09) 乘以任何正标量，则最小化 (17.09) 不变。
没有必要使用经验矩的协方差矩阵 $\boldsymbol{W}^{\top}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})$ 如果一个人只是布望获得一致的而不是有效的估计 $\boldsymbol{\beta}$ 通过标准函数的最小化。
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