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机器学习代考_Machine Learning代考_Average link

In practice, the preferred method is average link clustering, which measures the average distance between all pairs:
$$
d_{\text {avg }}(G, H)=\frac{1}{n_G n_H} \sum_{i \in G} \sum_{i \in} \in d_{i, i^{\prime}}
$$
where $n_G$ and $n_H$ are the number of elements in groups $G$ and $H$. See Figure 21.3(c).
Average link clustering represents a compromise between single and complete link clustering. It tends to produce relatively compact clusters that are relatively far apart. (See Figure 21.4(c).) result. In contrast, single linkage and complete linkage are invariant to monotonic transformations of $d_{i, i^{\prime}}$, since they leave the relative ordering the same.

Suppose we have a set of time series measurements of the expression levels for $N=300$ genes at $T=7$ points. Thus each data sample is a vector $\boldsymbol{x}_n \in \mathbb{R}^7$. See Figure $21.5$ for a visualization of the data. We see that there are several kinds of genes, such as those whose expression level goes up monotonically over time (in response to a given stimulus), those whose expression level goes down monotonically, and those with more complex response patterns.

Suppose we use Euclidean distance to compute a pairwise dissimilarity matrix, $\mathbf{D} \in \mathbb{R}^{300 \times 300}$, and apply HAC using average linkage. We get the dendogram in Figure 21.6(a). If we cut the tree at a certain height, we get the 16 clusters shown in Figure 21.6(b). The time series assigned to each cluster dô indeéd “look like” each otherr.

机器学习代考_Machine Learning代考_K means clustering

There are several problems with hierarchical agglomerative clustering (Section 21.2). First, it takes $O\left(N^3\right)$ time (for the average link method), making it hard to apply to big datasets. Second, it assumes that a dissimilarity matrix has already been computed, whereas the notion of “similarity” is often unclear and needs to be learned. Third, it is just an algorithm, not a model, and so it is hard to evaluate how good it is. That is, there is no clear objective that it is optimizing.

In this section, we discuss the K-means algorithm [Mac67; Llo82], which addresses these issues. First, it runs in $O(N K T)$ time, where $T$ is the number of iterations. Second, it computes similarity in terms of Euclidean distance to learned cluster centers $\boldsymbol{\mu}_k \in \mathbb{R}^D$, rather than requiring a dissimilarity matrix. Third, it optimizes a well-defined cost function, as we will see.

We assume there are $K$ cluster centers $\boldsymbol{\mu}k \in \mathbb{R}^D$, so we can cluster the data by assigning each data point $\boldsymbol{x}_n \in \mathbb{R}^D$ to it closest center: $$ z_n^*=\arg \min _k\left|\boldsymbol{x}_n-\boldsymbol{\mu}_k\right|_2^2 $$ Of course, we don’t know the cluster centers, but we can estimate them by computing the average value of all points assigned to them: $$ \boldsymbol{\mu}_k=\frac{1}{N_k} \sum{n: z_n=k} \boldsymbol{x}n $$ We can then iterate these steps to convergence. More formally, we can view this as finding a local minimum of the following cost function, known as the distortion: $$ J(\mathbf{M}, \mathbf{Z})=\sum{n=1}^N\left|\boldsymbol{x}n-\boldsymbol{\mu}{z_n}\right|^2=\left|\mathbf{X}-\mathbf{Z} \mathbf{M}^{\top}\right|_F^2
$$
where $\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{N \times D}, \mathbf{Z} \in[0,1]^{N \times K}$, and $\mathbf{M} \in \mathbb{R}^{D \times K}$ contains the cluster centers $\boldsymbol{\mu}_k$ in its columns. $\mathrm{K}$-means optimizes this using alternating minimization. (This is closely related to the EM algorithm for GMMs, as we discuss in Section 21.4.1.1.)

机器学习代考_Machine Learning代考_CS446

机器学习代考

机器学习代考_Machine Learning代考_Average link

在实践中,首选方法是平均链接聚类,它测量所有对之间的平均距离:
$$
d_{\text {avg }}(G, H)=\frac{1}{n_G n_H} \sum_{i \in G} \sum_{i \in} \in d_{i, i^{\prime}}
$$
在哪里 $n_G$ 和 $n_H$ 是组中元嗉的数量 $G$ 和 $H$. 见图 21.3(c)。
平均链接聚类代表了单个链接聚类和完整链接聚类之间的折衷。它倾向于产生相对较远的相对紧凑的集 群。(见图 21.4(c)) 结果。相反,单链接和完全链接对于单调变换是不变的 $d_{i, i^{\prime}}$ ,因为他们离开相对排 序相同。
假设我们有一组表达水平的时间序列测量值 $N=300$ 基因在 $T=7$ 点。因此每个数据样本都是一个向量 $\boldsymbol{x}_n \in \mathbb{R}^7$. 见图21.5用于数据的可视化。我们看到有几种基因,例如表达水平随时间单调上升(响应给 定刺激)的基因、表达水平单调下降的基因,以及具有更复杂反应模式的基因。 21.6(a) 中的树状图。如果我们在一定高度切割树,我们得到如图 21.6(b) 所示的 16 个笶。分配给每个集 群的时间序列确实彼此”相似”。

机器学习代考_Machine Learning代考_K means clustering

层次凝聚聚类有几个问题(第 $21.2$ 节)。首先,需要 $O\left(N^3\right)$ 时间(对于平均链接方法),使其难以应 用于大数据集。其次,它假设已经计算出相异矩阵,而”相似”的概念往往不清楚,需要学习。第三,它 只是一个算法,不是一个模型,很难评价它的好坏。也就是说,它没有明确的优化目标。
在本节中,我们将讨论 K-means 算法 [Mac67;Llo82],它解决了这些问题。首先,它运行在 $O(N K T)$ 时间,地点 $T$ 是迭代次数。其次,它根据与学习的聚类中心的欧井距离计算相似性 $\mu_k \in \mathbb{R}^D$ ,而不是需 要相异矩阵。第三,正如我们将看到的,它优化了一个明确定义的成本函数。
我们假设有 $K$ 聚类中心 $\boldsymbol{\mu} k \in \mathbb{R}^D$ ,所以我们可以通过分配每个数据点来聚类数据 $\boldsymbol{x}_n \in \mathbb{R}^D$ 离它最近的中 心:
$$
z_n^*=\arg \min _k\left|\boldsymbol{x}_n-\boldsymbol{\mu}_k\right|_2^2
$$
当然,我们不知道聚类中心,但我们可以通过计算分配给它们的所有点的平均值来估计它们:
$$
\boldsymbol{\mu}_k=\frac{1}{N_k} \sum n: z_n=k \boldsymbol{x} n
$$
然后我们可以迭代这些步骤以收敛。更正式地说,我们可以将其视为找到以下成本函数的局部最小值, 称为失真:
$$
J(\mathbf{M}, \mathbf{Z})=\sum n=\mathbf{1}^N\left|\boldsymbol{x} n-\boldsymbol{\mu} z_n\right|^2=\left|\mathbf{X}-\mathbf{Z} \mathbf{M}^{\top}\right|_F^2
$$
在哪里 $\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{N \times D}, \mathbf{Z} \in[0,1]^{N \times K}$ , 和 $\mathbf{M} \in \mathbb{R}^{D \times K}$ 包含聚类中心 $\boldsymbol{\mu}_k$ 在其专栏中。 $\mathrm{K}$-means 使用交替 最小化对此进行优化。(这与 GMM 的 EM 算法密切相关,正如我们在第 21.4.1.1 节中讨论的那样。)

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