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复分析代考_Complex function代考_Runge’s Theorem

A rational function is, by definition, a quotient of polynomials. A function from $\widehat{\mathbb{C}}$ to $\widehat{\mathbb{C}}$ is rational if and only if it is meromorphic on all of $\widehat{\mathbb{C}}$ (Theorem 4.7.7). A rational function has finitely many zeros and finitely many poles. The polynomials are those rational functions with pole only at $\infty$. Let $K \subseteq$ $\mathbb{C}$ be compact and let $f: K \rightarrow \mathbb{C}$ be a given function on $K$. Under what conditions is $f$ the uniform limit of rational functions with poles in $\widehat{\mathbb{C}} \backslash K$ ? There are some obvious necessary conditions:
(1) $f$ must be continuous on $K$;
(2) $f$ must be holomorphic on $\stackrel{\circ}{K}$, the interior of $K$.
It is a striking result of Mergelyan that, in case $\widehat{\mathbb{C}} \backslash K$ has finitely many connected components, then these conditions are also sufficient. We shall prove Mergelyan’s theorem in the next section. In the present section we shall establish a slightly weaker result-known as Runge’s theorem-that is considerably easier to prove.

Theorem 12.1.1 (Runge). Let $K \subseteq \mathbb{C}$ be compact. Let $f$ be holomorphic on a neighborhood of $K$. Suppose that $P$ is a subset of $\widehat{\mathbb{C}} \backslash K$ containing one point from each connected component of $\widehat{\mathbb{C}} \backslash K$. Then for any $\epsilon>0$ there is a rational function $r(z)$ with poles in $P$ such that
$$
\sup _{z \in K}|f(z)-r(z)|<\epsilon
$$

Corollary 12.1.2. Let $K \subseteq \mathbb{C}$ be compact with $\widehat{\mathbb{C}} \backslash K$ connected. Let $f$ be holomorphic on a neighborhood of $K$. Then for any $\epsilon>0$ there is a holomorphic polynomial $p(z)$ such that
$$
\sup _K|p(z)-f(z)|<\epsilon .
$$
The corollary follows from the theorem by taking $P={\infty}$.
We shall prove Theorem 12.1.1 later in this section, but first we shall give some applications and explain the idea of the proof.

复分析代考_Complex function代考_Mergelyan’s Theorem

It is easy to see that the proof of Runge’s theorem in Section $12.1$ genuinely relied on the hypothesis that $f$ is holomorphic in a neighborhood of $K$. After all, we needed some place to put the contour $\gamma$. This leaves open the question whether conditions (1) and (2) at the beginning of Section $12.1$ are sufficient for rational approximation on $K$. When $\widehat{\mathbb{C}} \backslash K$ has finitely many components, the conditions are sufficient: This is the content of Mergelyan’s theorem which we prove in this section. It is startling that a period of sixty-seven years elapsed between the appearance of Runge’s theorem (1885) and that of Mergelyan’s theorem (1952), for Mergelyan’s proof involves no fundamentally new ideas. The proof even uses Runge’s theorem. The sixtyseven year gap is even more surprising if one examines the literature and sees the large number of papers written on this subject during those years. The explanation is probably that people thought that Mergelyan’s theorem was too good to be true. It took the world by surprise and superseded a huge number of very technical partial results that had been proved by others.
We shall concentrate first on proving the simplest form of Mergelyan’s theorem, using elementary and self-contained methods (the proof that we give here follows the steps in [RUD2]). Afterwards, in this section and in Section $12.3$, we shall explore further results of the same type.

Theorem 12.2.1 (Mergelyan). Let $K \subseteq \mathbb{C}$ be compact and assume that $\widehat{\mathbb{C}} \backslash K$ is connected. Let $f \in C(K)$ be holomorphic on the interior $\stackrel{\circ}{K}$ of $K$. Then for any $\epsilon>0$ there is a holomorphic polynomial $p(z)$ such that
$$
\sup _{z \in K}|p(z)-f(z)|<\epsilon .
$$
The proof is most readily grasped if it is broken into several lemmas: In this way, the main ideas can be identified.

复分析代考

复分析代考_Complex function代考_Runge’s Theorem

根据定义，有理函数是多项式的商。一个函数来自 $\widehat{\mathbb{C}}$ 至 $\widehat{\mathbb{C}}$ 是有理数当且仅当它在所有上都是亚纯的 $\widehat{\mathbb{C}}$ (定 理 4.7.7)。有理函数具有有限多个零点和有限多个极点。多项式是那些只有极点的有理函数 $\infty$. 让 $K \subseteq$ $\mathbb{C}$ 紧凑，让 $f: K \rightarrow \mathbb{C}$ 是一个给定的函数 $K$. 在什么条件下 $f$ 具有极点的有理函数的一致极限 $\widehat{\mathbb{C}} \backslash K$ ? 有 一些明显的必要条件:
(1) $f$ 必须是连续的 $K$;
(2) $f$ 必须是全纯的 $K$ ，的内部 $K$.
Mergelyan 的一个惊人结果是，如果 $\widehat{\mathbb{C}} \backslash K$ 有有限多个连通分量，则这些条件也充分。我们将在下一节证 明 Mergelyan 定理。在本节中，我们将建立一个稍微弱一点的结果一一称为龙格定理一一它更容易证 明。
定理 12.1.1 (龙格) 。让 $K \subseteq \mathbb{C}$ 紧湊。让 $f$ 在的邻域上是全纯的 $K$. 假设 $P$ 是一个子集 $\widehat{\mathbb{C}} \backslash K$ 包含来自每 个连接组件的一个点 $\widehat{C} \backslash K$. 然后对于任何 $\epsilon>0$ 有一个有理函数 $r(z)$ 有两极 $P$ 这样
$$
\sup _{z \in K}|f(z)-r(z)|<\epsilon $$ 推论 12.1.2。让 $K \subseteq \mathbb{C}$ 与 $\widehat{\mathbb{C}} \backslash K$ 连接的。让 $f$ 在的邻域上是全纯的 $K$. 然后对于任何 $\epsilon>0$ 存在一个全纯多 项式 $p(z)$ 这样
$$
\sup _K|p(z)-f(z)|<\epsilon .
$$
推论从定理得出 $P=\infty$.
我们将在本节稍后证明定理 12.1.1，但首先我们将给出一些应用并解释证明的思想。

复分析代考_Complex function代考_Mergelyan’s Theorem

不难看出龙格定理的证明 $12.1$ 真正依赖于以下假设 $f$ 是全纯的 $K$. 毕竟，我们需要一些地方来放置轮廓 $\gamma$. 这就留下了一个悬而末决的问题，即本节开头的条件 (1) 和 (2) 是否 $12.1$ 足以对有理逼近 $K$. 什么时候 $\widehat{\mathbb{C}} \backslash K$ 有有限多个分量，条件充分：这就是我们在本节中证明的 Mergelyan 定理的内容。令人吃惊的 是，从龙格定理（1885 年) 到 Mergelyan 定理（1952 年) 出现之间相隔了 67 年，因为 Mergelyan 的 证明没有涉及根本上的新思想。证明甚至使用龙格定理。如果研究文献并看到在那些年里关于这个主题 的大量论文，那么 67 年的差距就更令人惊讶了。解释可能是人们认为 Mergelyan 的定理好得令人难以 置信。它让世界大吃一惊，并取代了大量已被其他人证明的非常技术性的部分结果。
我们将首先集中精力证明 Mergelyan 定理的最简单形式，使用基本的和独立的方法（我们在这里给出的 证明遒循 [RUD2] 中的步骤) 。之后，在本节和节中 $12.3$ ，我们将探索相同类型的进一步结果。
定理 12.2.1 (Mergelyan)。让 $K \subseteq \mathbb{C}$ 紧凑并假设 $\widehat{\mathbb{C}} \backslash K$ 已连接。让 $f \in C(K)$ 在内部是全纯的 $K$ 的 $K$. 然后对于任何 $\epsilon>0$ 存在一个全纯多项式 $p(z)$ 这样
$$
\sup _{z \in K}|p(z)-f(z)|<\epsilon .
$$
如果将证明分解为几个引理，则最容易掌握：这样，可以确定主要思想。

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