相信许多留学生对数学代考都不陌生，国外许多大学都引进了网课的学习模式。网课学业有利有弊，学生不需要到固定的教室学习，只需要登录相应的网站研讨线上课程即可。但也正是其便利性，线上课程的数量往往比正常课程多得多。留学生课业深重，时刻名贵，既要学习知识，又要结束多种类型的课堂作业，physics作业代写，物理代写，论文写作等；网课考试很大程度增加了他们的负担。所以，您要是有这方面的困扰，不要犹疑，订购myassignments-help代考渠道的数学代考服务，价格合理，给你前所未有的学习体会。
我们的数学代考服务适用于那些对课程结束没有掌握，或许没有满足的时刻结束网课的同学。高度匹配专业科目，按需结束您的网课考试、数学代写需求。担保买卖支持，100%退款保证，免费赠送Turnitin检测报告。myassignments-help的Math作业代写服务，是你留学路上忠实可靠的小帮手！
复分析代考_Complex function代考_The Cauchy Integral Formula for Multiply Connected Domains
In previous chapters we treated the Cauchy integral formula for holomorphic functions defined on holomorphically simply connected (h.s.c.) domains. (In Chapter 4 we discussed the Cauchy formula on an annulus, in order to aid our study of Laurent expansions.] In many contexts we focused our attention on discs and squares. However it is often useful to have an extension of the Cauchy integral theory to multiply connected domains. While this matter is straightforward, it is not trivial. For instance, the holes in the domain may harbor poles or essential singularities of the function being integrated. Thus we need to treat this matter in detail.
The first stage of this process is to notice that the concept of integrating a holomorphic function along a piecewise $C^1$ curve can be extended to apply to continuous curves. The idea of how to do this is simple: We want to define $\oint_\gamma f$, where $\gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}$ is a continuous curve and $f$ is holomorphic on a neighborhood of $\gamma([a, b])$. If $a=a_1<a_2<\cdots<a_{k+1}=b$ is a subdivision of $[a, b]$ and if we set $\gamma_i$ to be $\gamma$ restricted to $\left[a_i, a_{i+1}\right]$, then certainly we would require that
$$
\oint_\gamma f=\sum_{i=1}^k \oint_{\gamma_i} f
$$
Suppose further that, for each $i=1, \ldots, k$, the image of $\gamma_i$ is contained in some open $\operatorname{disc} D_i$ on which $f$ is defined and holomorphic. Then we would certainly want to set
$$
\oint_{\gamma_i} f=F_i\left(\gamma_i\left(a_{i+1}\right)\right)-F_i\left(\gamma_i\left(a_i\right)\right)
$$
where $F_i: D_i \rightarrow \mathbb{C}$ is a holomorphic antiderivative for $f$ on $D_i$. Thus $\oint_\gamma f$ would be determined. It is a straightforward if somewhat lengthy matter (Exercise 36) to show that subdivisions of this sort always exist and that the resulting definition of $\oint_\gamma f$ is independent of the particular such subdivision used. This definition of integration along continuous curves enables us to use, for instance, the concept of index for continuous closed curves in the discussion that follows. [We take continuity to be part of the definition of the word “curve” from now on, so that “closed curve” means continuous closed curve, and so forth.] This extension to continuous, closed curves is important: A homotopy can be thought of as a continuous family of curves, but these need not be in general piecewise $C^1$ curves, and it would be awkward to restrict the homotopy concept to families of piecewise $C^1$ curves.
复分析代考_Complex function代考_Holomorphic Simple Connectivity
In Section $6.7$ we proved that if a proper subset $U$ of the complex plane is holomorphically (analytically) simply connected, then it is conformally equivalent to the unit disc. At that time we promised to relate holomorphic simple connectivity to some more geometric notion. This is the purpose of the present section.
It is plain that if a domain is holomorphically simply connected, then it is (topologically) simply connected. For the hypothesis implies (by the analytic form of the Riemann mapping theorem, Theorem 6.6.3) that the domain is either conformally equivalent to the disc or to $\mathbb{C}$. Hence it is certainly topologically equivalent to the disc. Therefore it is simply connected in the topological sense.
For the converse direction, we notice that if a domain $U$ is (topologically) simply connected, then simple modifications of ideas that we have already studied show that any holomorphic function on $U$ has an antiderivative: Suppose that $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ is holomorphic. Choose a point $P \in U$. If $\gamma_1, \gamma_2$ are two piecewise $C^1$ curves from $P$ to another point $Q$ in $U$, then $\oint_{\gamma_1} f(z) d z=\oint_{\gamma_2} f(z) d z$. This equality follows from applying Corollary 11.2.5 to the (closed) curve made up of $\gamma_1$ followed by ” $\gamma_2$ backwards” (this curve is homotopic to a constant, since $U$ is simply connected). Define $F(Q)=\oint_\gamma f(z) d z$ for any curve $\gamma$ from $P$ to $Q$. It follows, as in the proof of Morera’s theorem (Theorem 3.1.4), that $F$ is holomorphic and $F^{\prime}=f$ on $U$.
Thus one has the chain of implications for a domain $U \subset \mathbb{C}$ but unequal to $\mathbb{C}$ : homeomorphism to the $\operatorname{disc} D \Rightarrow$ (topological) simple connectivity $\Rightarrow$ holomorphic simple connectivity $\Rightarrow$ conformal equivalence to the disc $D$ $\Rightarrow$ homeomorphism to the disc $D$, so that all these properties are logically equivalent to each other. [Note: It is surprisingly hard to prove that “simple connectivity” $\Rightarrow$ “homeomorphism to $D$ ” without using complex analytic methods.] This in particular proves Theorem 6.4.2 and also establishes the following assertion, which is the result usually called the Riemann mapping theorem: Theorem 11.3.1 (Riemann mapping theorem). If $U$ is a connected, simply connected open subset of $\mathbb{C}$, then either $U=\mathbb{C}$ or $U$ is conformally equivalent to the unit disc $D$.
复分析代考
复分析代考_Complex function代考_The Cauchy Integral Formula for Multiply Connected Domains
在前面的章节中，我们处理了定义在全纯单连通 (hsc) 域上的全纯函数的柯西积分公式。（在第 4 章 中，我们讨论了圆环上的柯西公式，以帮助我们研究洛朗展开。]在许多情况下，我们将注意力集中在圆 盘和正方形上。然而，柯西积分理论的扩展通常很有用乘连通域。虽然这件事很简单，但它不是微不足 道的。例如，域中的孔可能包含极点或正在集成的函数的本质奇点。因此我们需要详细处理这个问题。
这个过程的第一步是注意到沿分段积分全纯函数的概念 $C^1$ curve 可以扩展以应用于连续曲线。如何做到 这一点的想法很简单: 我们想要定义 $\oint_\gamma f$ ，在哪里 $\gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}$ 是 条连续曲线，并且 $f$ 在的邻域上是 全纯的 $\gamma([a, b])$. 如果 $a=a_1<a_2<\cdots<a_{k+1}=b$ 是的细分 $[a, b]$ 如果我们设置 $\gamma_i$ 成为 $\gamma$ 受限于 $\left[a_i, a_{i+1}\right]$ ，那么我们当然会要求
$$
\oint_\gamma f=\sum_{i=1}^k \oint_{\gamma_i} f
$$
进一步假设，对于每个 $i=1, \ldots, k$ ，图像 $\gamma_i$ 包含在一些开放的disc $D_i$ 在哪个 $f$ 是定义的并且是全纯的。 那么我们当然要设置
$$
\oint_{\gamma_i} f=F_i\left(\gamma_i\left(a_{i+1}\right)\right)-F_i\left(\gamma_i\left(a_i\right)\right)
$$
在哪里 $F_i: D_i \rightarrow \mathbb{C}$ 是一个全纯反导数 $f$ 上 $D_i$. 因此 $\oint_\gamma f$ 将被确定。这是一个简单但有点写长的问题 (练 习36） 来证明这种细分总是存在的，并且由此产生的定义 $\oint_\gamma f$ 独立于所使用的特定细分。这种沿连续曲 线积分的定义使我们能够在接下来的讨论中使用例如连续闭合曲线的指数概念。[从现在开始，我们将连 续性作为“曲线”一词定义的一部分，因此“闭合曲线”表示连续闭合曲线，等等。]这种对连续闭合曲线的 扩展很重要: 同伦可以是被认为是连续的曲线族，但这些通常不需要分段 $C^1$ 曲线，并且将同伦概念限制 在分段族中会很尷尬 $C^1$ 曲线。
复分析代考_Complex function代考_Holomorphic Simple Connectivity
在节 $6.7$ 我们证明了如果一个适当的子集 $U$ 复平面的 是全纯（解析) 单连通的，那么它共形等价于单位 囷盘。那时我们承诺将全纯简单连通性与一些更几何的概念联系起来。这就是本节的目的。
很明显，如果一个域是全纯单连通的，那么它就是（拓扑) 单连通的。因为假设暗示 (通过黎曼映射定 理的解析形式，定理 6.6.3) 域要么共形等价于圆盘要么 $\mathbb{C}$. 因此它在拓扑上肯定等价于圆盘。因此它在 拓扑意义上是简单连通的。
对于相反的方向，我们注意到如果域 $U$ 是（拓扑) 单连通的，那么我们已经研究过的想法的简单修改表 明任何全纯函数 $U$ 有一个反导数：假设 $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ 是全纯的。选择一个点 $P \in U$. 如果 $\gamma_1, \gamma_2$ 是两个分段 $C^1$ 曲线来自 $P$ 到另一点 $Q$ 在 $U$ ，然后 $\oint_{\gamma_1} f(z) d z=\oint_{\gamma_2} f(z) d z$. 这个等式来自将推论 $11.2 .5$ 应用于由以 下组成的 (闭合) 曲线 $\gamma_1$ 其次是 ” $\gamma_2$ 向后” (这条曲线同伦于一个常数，因为 $U$ 是简单连接的) 。定义 $F(Q)=\oint_\gamma f(z) d z$ 对于任何曲线 $\gamma$ 从 $P$ 至 $Q$. 由此得出，如 Morera 定理（定理 3.1.4) 的证明，即 $F$ 是 全纯的并且 $F^{\prime}=f$ 上 $U$.
因此，一个人对一个领域有影响链 $U \subset \mathbb{C}$ 但不等于 $\mathbb{C}$ : 同胚到 $\operatorname{disc} D \Rightarrow$ (拓扑) 简单连通性 $\Rightarrow$ 全纯单连 通性 $\Rightarrow$ 圆盘保形等价 $D \Rightarrow$ 圆盘同胚 $D$ ，所以所有这些属性在逻辑上都是等价的。[注：要证明”简单连通 性”是出奇地困难 $\Rightarrow$ “同胚到 $D^{\prime \prime}$ 而无需使用复杂的解析方法。] 这特别证明了定理 6.4.2 并且还建立了以下 断言，这就是通常称为黎曼映射定理的结果：定理 $11.3 .1$ (黎鄤映射定理)。如果 $U$ 是一个连接的，简 单连接的开放子集 $\mathbb{C}$ ，那么要么 $U=\mathbb{C}$ 或者 $U$ 共形等价于单位圆盘 $D$.
myassignments-help数学代考价格说明
1、客户需提供物理代考的网址，相关账户，以及课程名称，Textbook等相关资料~客服会根据作业数量和持续时间给您定价~使收费透明，让您清楚的知道您的钱花在什么地方。
2、数学代写一般每篇报价约为600—1000rmb，费用根据持续时间、周作业量、成绩要求有所浮动(持续时间越长约便宜、周作业量越多约贵、成绩要求越高越贵)，报价后价格觉得合适，可以先付一周的款，我们帮你试做，满意后再继续，遇到Fail全额退款。
3、myassignments-help公司所有MATH作业代写服务支持付半款，全款，周付款，周付款一方面方便大家查阅自己的分数，一方面也方便大家资金周转，注意:每周固定周一时先预付下周的定金，不付定金不予继续做。物理代写一次性付清打9.5折。
Math作业代写、数学代写常见问题
留学生代写覆盖学科？
代写学科覆盖Math数学,经济代写，金融,计算机,生物信息，统计Statistics,Financial Engineering，Mathematical Finance，Quantitative Finance，Management Information Systems,Business Analytics,Data Science等。代写编程语言包括Python代写、Physics作业代写、物理代写、R语言代写、R代写、Matlab代写、C++代做、Java代做等。
数学作业代写会暴露客户的私密信息吗？
我们myassignments-help为了客户的信息泄露，采用的软件都是专业的防追踪的软件，保证安全隐私，绝对保密。您在我们平台订购的任何网课服务以及相关收费标准，都是公开透明，不存在任何针对性收费及差异化服务，我们随时欢迎选购的留学生朋友监督我们的服务，提出Math作业代写、数学代写修改建议。我们保障每一位客户的隐私安全。
留学生代写提供什么服务？
我们提供英语国家如美国、加拿大、英国、澳洲、新西兰、新加坡等华人留学生论文作业代写、物理代写、essay润色精修、课业辅导及网课代修代写、Quiz，Exam协助、期刊论文发表等学术服务，myassignments-help拥有的专业Math作业代写写手皆是精英学识修为精湛；实战经验丰富的学哥学姐！为你解决一切学术烦恼！
物理代考靠谱吗？
靠谱的数学代考听起来简单，但实际上不好甄别。我们能做到的靠谱，是把客户的网课当成自己的网课；把客户的作业当成自己的作业；并将这样的理念传达到全职写手和freelancer的日常培养中，坚决辞退糊弄、不守时、抄袭的写手！这就是我们要做的靠谱！
数学代考下单流程
提早与客服交流，处理你心中的顾虑。操作下单，上传你的数学代考/论文代写要求。专家结束论文，准时交给，在此过程中可与专家随时交流。后续互动批改
付款操作：我们数学代考服务正常多种支付方法，包含paypal，visa，mastercard，支付宝，union pay。下单后与专家直接互动。
售后服务：论文结束后保证完美经过turnitin查看，在线客服全天候在线为您服务。如果你觉得有需求批改的当地能够免费批改，直至您对论文满意为止。如果上交给教师后有需求批改的当地，只需求告诉您的批改要求或教师的comments，专家会据此批改。
保密服务：不需求提供真实的数学代考名字和电话号码，请提供其他牢靠的联系方法。我们有自己的工作准则，不会泄露您的个人信息。
myassignments-help擅长领域包含但不是全部:
myassignments-help服务请添加我们官网的客服或者微信/QQ，我们的服务覆盖：Assignment代写、Business商科代写、CS代考、Economics经济学代写、Essay代写、Finance金融代写、Math数学代写、report代写、R语言代考、Statistics统计学代写、物理代考、作业代写、加拿大代考、加拿大统计代写、北美代写、北美作业代写、北美统计代考、商科Essay代写、商科代考、数学代考、数学代写、数学作业代写、physics作业代写、物理代写、数据分析代写、新西兰代写、澳洲Essay代写、澳洲代写、澳洲作业代写、澳洲统计代写、澳洲金融代写、留学生课业指导、经济代写、统计代写、统计作业代写、美国Essay代写、美国代考、美国数学代写、美国统计代写、英国Essay代写、英国代考、英国作业代写、英国数学代写、英国统计代写、英国金融代写、论文代写、金融代考、金融作业代写。