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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Rational numbers

The most basic numbers, namely, the natural numbers, are defined axiomatically via set theory. 7.ero and the negative integers are added via algebraic axioms and properties. We take all this as given because they are not analytic in nature. We use them to define fractions and establish their algebraic properties. Taking fractions,or rational numbers, as a starting point may seem arbitrary, but greater exposure to these numbers serves a useful pedagogical purpose since rational numbers play a critical role in proving many results in real analysis.

The ordinary addition and multiplication of rational numbers is defined the way we remember them from past algebra experience:
$$
\frac{j}{k}+\frac{m}{n}=\frac{k m+j n}{k n}, \quad \frac{j}{k} \frac{m}{n}=\frac{j m}{k n}
$$
Here $j, m \in \mathbb{Z}$, and $k, n \in \mathbb{N}$. Since sums and products of integers are again integers, the above definitions indicate that sums and products of rational numbers are also rational.

When adding rational numbers, we often use the least common multiple of the denominators $k$ and $n$ to speed up the process; if not, then the greatest common divisor of the two denominators is canceled out in the reduced form as in
$$
\frac{19}{18}-\frac{11}{12}=\frac{6 \times 2 \times 19-6 \times 3 \times 11}{6 \times 3 \times 6 \times 2}=\frac{6(38-33)}{6(36)}=\frac{5}{36}
$$
Notice that the least common multiple of the denominators 12 and 18 is indeed 36.

The set $\mathbb{Q}$ is a more structured set than $\mathbb{N}$ or $\mathbb{Z}$. From an algebraic point of view, $\mathbb{Q}$ is a field, but neither $\mathbb{N}$ nor $\mathbb{Z}$ are fields. Specifically, when we divide two numbers in $\mathbb{Q}$, the result is in $\mathbb{Q}$ (as long as we do not divide by 0 ) because if $p=m / n$ and $q=j / k$ then
$$
\frac{p}{q}=p \frac{1}{q}=\frac{m}{n} \frac{k}{j}=\frac{m k}{n j}
$$
is again rational; for instance, operations as simple as taking the average of two numbers $(p+q) / 2$ are possible in $\mathbb{Q}$ but not in $\mathbb{Z}$

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Cauchy sequences

Our goal is to start from the set $\mathbb{Q}$ of all rational numbers and build up to the set of all real numbers $\mathbb{R}$, including all of the irrationals. We now examine sequences of rational numbers that we can be sure will converge without requiring a knowledge of their limits. This suits our purpose since we don’t know all the irrational numbers; but is it possible?

We must rule out rational sequences that don’t converge, like the sequences $q_n=$ $n^2\left(\right.$ or $\left.1^2, 2^2, 3^2, \ldots\right)$ and $q_n=(-1)^n$ (or $\left.-1,1,-1,1, \ldots\right)$, which don’t approach any number, be it rational or not. So what is different about the sequence in (4.1) that does converge? How can we tell if a sequence converges if we don’t know a limit for it?

Our next major step on the way to the real numbers is to identify these special sequences of rational numbers.

Earlier we saw how to estimate $\sqrt{2}$ using a sequence of rational numbers. We found that the more terms we used, the closer the approximation became. Now since we don’t know the exact digital value of $\sqrt{2}$, consider a practical question: how many terms of a rational sequence should we use to get a desired accuracy, say, 10 decimal places?

If we use many terms of the sequence, then the later terms form a dense patch of rationals around the limit; in the language of Chapter 3 , the numbers cluster around the limit. The distance between any pair of terms $q_m$ and $q_n$ with large enough indices $m$ and $n$ can be as small as we need it to be, like a target threshold for a desired level of accuracy. For the 10-decimal-place accuracy, this threshold is $0.00000000005$ or $5 \times 10^{-11}$.

More precisely, we must reach an index $N$ that is large enough that the difference between any pair of terms $q_m$ and $q_n$ is less than $0.00000000005$ as long as $m, n$ both exceed $N$. Let’s illustrate this idea using the recursion (1.3) in Exercise 3 (the divide and average rule).

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|MATH315

实分析代考

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Rational numbers

最基本的数字,即自然数,是通过集合论公理化定义的。7.ero 和负整数通过代数公理和属性相加。我 们将所有这些都视为给定的,因为它们本质上不是分析性的。我们使用它们来定义分数并建立它们的代 数性质。以分数或有理数作为起点似乎是武断的,但更多地接触这些数字有利于教学目的,因为有理数 在证明实际分析中的许多结果方面发挥着关键作用。
有理数的普通加法和乘法是按照我们从过去的代数经验中记住的方式定义的:
$$
\frac{j}{k}+\frac{m}{n}=\frac{k m+j n}{k n}, \quad \frac{j}{k} \frac{m}{n}=\frac{j m}{k n}
$$
这里 $j, m \in \mathbb{Z} ,$ 和 $k, n \in \mathbb{N}$. 由于整数的和和乘积也是整数,上述定义表明有理数的和和乘积也是有理 数。
有理数相加时,我们经常使用分母的最小公倍数 $k$ 和 $n$ 加快进程; 如果不是,则两个分母的最大公约数以 简化形式抵消,如
$$
\frac{19}{18}-\frac{11}{12}=\frac{6 \times 2 \times 19-6 \times 3 \times 11}{6 \times 3 \times 6 \times 2}=\frac{6(38-33)}{6(36)}=\frac{5}{36}
$$
请注意,分母 12 和 18 的最小公倍数确实是 36 。
套装 $\mathbb{Q}$ 是一个比 $\mathbb{N}$ 或者 $\mathbb{Z}$. 从代数的角度来看, $\mathbb{Q}$ 是一个字段,但两者都不是 $\mathbb{N}$ 也不 $\mathbb{Z}$ 是领域。具体来 说,当我们将两个数相除时 $\mathbb{Q}$ ,结果在 $\mathbb{Q}$ (只要我们不除以 0) 因为如果 $p=m / n$ 和 $q=j / k$ 然后
$$
\frac{p}{q}=p \frac{1}{q}=\frac{m}{n} \frac{k}{j}=\frac{m k}{n j}
$$
又是理性的;例如,像取两个数的平均值一样简单的操作 $(p+q) / 2$ 有可能在 $\mathbb{Q}$ 但不在 $\mathbb{Z}$

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Cauchy sequences

我们的目标是从集合开始问所有有理数的集合,并建立所有实数的集合R,包括所有的无理数。我们现在检查有理数序列,我们可以肯定这些有理数序列会收敛,而无需知道它们的极限。这符合我们的目的,因为我们不知道所有的无理数;但有可能吗?

我们必须排除不收敛的有理数列,比如数列qn= n2(或者12,22,32,…)和qn=(−1)n(或者−1,1,−1,1,…),它不接近任何数字,无论是否有理。那么(4.1)中确实收敛的序列有什么不同?如果我们不知道序列的极限,我们如何判断它是否收敛?

我们通往实数之路的下一个主要步骤是识别这些特殊的有理数序列。

早些时候我们看到了如何估计2使用有理数序列。我们发现使用的项越多,近似值就越接近。现在因为我们不知道的确切数字值2,考虑一个实际问题:我们应该使用有理数列的多少项来获得所需的精度,比如小数点后 10 位?

如果我们使用数列的许多项,那么后面的项会在极限周围形成密集的有理数;用第 3 章的语言来说,数字聚集在极限周围。任意一对项之间的距离q米和qn有足够大的指标米和n可以像我们需要的那样小,就像所需精度级别的目标阈值一样。对于 10 位小数的精度,此阈值是0.00000000005或者5×10−11.

更准确地说,我们必须达到一个指数否足够大以至于任何一对项之间的差异q米和qn小于0.00000000005只要米,n都超过否. 让我们使用练习 3(除法和平均规则)中的递归 (1.3) 来说明这个想法。

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