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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Bounded, unbounded, and divergent sequences

In this section, we briefly discuss sequences that don’t converge. A sequence that can be contained in a bounded interval is a bounded sequence.

For instance, the sequence in (3.5) is unbounded because it can’t be bounded by two real numbers, while the sequence in (3.4) is clearly bounded. The latter is actually a bounded sequence that doesn’t converge. On the other hand, every convergent sequence of real numbers is bounded since it approaches a limit and in particular, isn’t going far away. Here is how to prove this fact.
Theorem 60 Every convergent sequence of real numbers is bounded.
Proof Suppose $s_n$ is a convergent sequence with limit $s$. Then in particular with $\varepsilon=1$, there is a positive integer $N$ such that
$$
\left|s_n-s\right|<1 \quad \text { for all } n>N
$$
Therefore,
$$
s-1N
$$
So all terms $s_{N+1}, s_{N+2}, \ldots$ with indices greater than $N$ are bounded between the real number $s-1$ and $s+1$. That leaves a finite number of terms $s_1, s_2, \ldots, s_N$, which can’t get infinitely large. In fact, define
$$
M=\max \left{\left|s_1\right|,\left|s_2\right|, \ldots,\left|s_N\right|\right}
$$
and note that
$$
-M \leq s_n \leq M
$$
for $n=1,2, \ldots, N$. It follows that all terms of the sequence are within a bounded interval; we can define this interval in many ways, e.g.,
$$
-M+s-1 \leq s_n \leq M+s+1 \text { for all } n \in \mathbb{N}
$$
We now consider sequences that are not bounded or not convergent.

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Subsequences

Consider the periodic sequence in (3.4)
$$
s_n=\cos \frac{\pi n}{3}
$$
Notice that for $n=6 k$ with $k=1,2,3, \ldots$ or $n=6,12,18, \ldots$ we get a sequence of constants: $s_{6 k}=\cos (2 \pi k)=1$. The sequence $s_{6 k}$ is a part of the original $s_n$ but unlike the latter, $s_{6 k}$ converges (trivially) to 1 as a constant sequence. You can check that there are five other parts of $s_n$ that also converge as constant sequences; they are $s_{6 k-1}, s_{6 k-2}, s_{6 k-3}, s_{6 k-4}$, and $s_{6 k-5}$.

Each of the six parts of the sequence $s_n$ above is called a subsequence of $s_n$. Although a nontrivial periodic sequence of period $m$ doesn’t converge, it has $m$ convergent subsequences. More generally, other types of non-convergent sequences can also have convergent subsequences, although the indices of the latter may not be evenly spaced. For instance, if
$$
s_n=\cos (\pi \sqrt{n})
$$
then $s_{4 k^2}=\cos (2 \pi k)=1$ is a convergent (constant) subsequence for $k=1,2,3, \ldots$ or $n=4 k^2=4,16,36, \ldots$ A less transparent example is $\sin n$ that has convergent subsequences; for this sequence, we need more powerful tools that are discussed in Chapter 4.

These results suggest that the concept of subsequence is important and useful in analysis, which is concerned with convergence and limits. We now give a formal definition.

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实分析代考

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Bounded, unbounded, and divergent sequences

在本节中,我们简要讨论不收敛的序列。可以包含在有界区间中的序列是有界序列。
例如,(3.5) 中的数列是无界的,因为它不能被两个实数有界,而 (3.4) 中的数列显然是有界的。后 者实际上是一个不收敛的有界序列。另一方面,每个收敛的实数序列都是有界的,因为它接近极限,特 别是不会远离极限。下面是如何证明这个事实。
定理 60 每个收敛的实数序列都是有界的。
证明假设 $s_n$ 是一个有极限的收玫序列 $s$. 然后特别是 $\varepsilon=1$, 有一个正整数 $N$ 这样
$$
\left|s_n-s\right|<1 \quad \text { for all } n>N
$$
所以,
$$
s-1 N
$$
所以所有条款 $s_{N+1}, s_{N+2}, \ldots$ 指数大于 $N$ 在实数之间有界 $s-1$ 和 $s+1$. 这留下了有限数量的条款 $s_1, s_2, \ldots, s_N$ ,它不能变得无限大。事实上,定义
并注意
$$
-M \leq s_n \leq M
$$
为了 $n=1,2, \ldots, N$. 由此可见,序列的所有项都在一个有界区间内;我们可以通过多种方式定义这个 区间,例如,
$$
-M+s-1 \leq s_n \leq M+s+1 \text { for all } n \in \mathbb{N}
$$
我们现在考虑无界或不收敛的序列。

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Subsequences

考虑 (3.4) 中的周期序列
$$
s_n=\cos \frac{\pi n}{3}
$$
请注意,对于 $n=6 k$ 和 $k=1,2,3, \ldots$ 或者 $n=6,12,18, \ldots$.我们得到一系列常量:
$s_{6 k}=\cos (2 \pi k)=1$. 序列 $s_{6 k}$ 是原件的一部分 $s_n$ 但与后者不同的是, $s_{6 k}$ 作为常数序列收敛(平凡地) 到 1 。您可以检亘还有其他五个部分 $s_n$ 也收敛为常量序列;他们是 $s_{6 k-1}, s_{6 k-2}, s_{6 k-3}, s_{6 k-4}$ , 和 $s_{6 k-5}$.
序列的六个部分中的每一个 $s_n$ 上面称为的子序列 $s_n$. 虽然周期的非平凡周期序列 $m$ 不收敛,它有 $m$ 收敛 的子序列。更一般地,其他类型的非收敛序列也可以有收敛子序列,尽管后者的索引可能不是均匀分布 的。例如,如果
$$
s_n=\cos (\pi \sqrt{n})
$$
然后 $s_{4 k^2}=\cos (2 \pi k)=1$ 是一个收敛的 (常数) 子序列 $k=1,2,3, \ldots$ 或者 $n=4 k^2=4,16,36, \ldots$ 一个不太透明的例子是 $\sin n$ 具有收敛的子序列;对于这个序列,我们需要第 4 章中讨论的更强大的工 具。
这些结果表明子序列的概念在分析中是重要和有用的,分析涉及收敛和限制。我们现在给出一个正式的 定义。

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