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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Limit supremum and limit infimum
In this section, we introduce concepts that help us gain a deeper understanding of the behavior of sequences. We begin with bounded sets.Upper bounds and lower bounds are not unique; for example, consider the halfopen interval $A=[-1,1)$ of real numbers. Then any number $u \geq 1$ is an upper bound of $A$ since every number in $[-1,1)$ is at most 1 . In particular, 1 is the least upper bound since no upper bound of $[-1,1)$ can be smaller than 1 without being less than some number in $[-1,1)$. For instance, $0.999$ is not an upper bound because it is less than, e.g., $0.9991$, which is in $[-1,1)$. We conclude that $\sup [-1,1)=1$
Similarly, every number $l \leq-1$ is a lower bound for $A$ and inf $[-1,1)=-1$. In this example, we also see that the supremum or the infimum may or may not be in $A$ (when they exist). Indeed, $[-1,1)$ contains not a single one of its upper bounds! Another example is that the countable set $S={1,1 / 2,1 / 3,1 / 4, \ldots}$ has sup $S=1$, which is in $S$, and $\inf S=0$, which is not in $S$.
Some sets don’t have upper bounds or lower bounds. If $A$ is $\mathbb{N}$ or $[1, \infty)$, then $\inf A=1$; lower bounds for $A$ include 0 and all negative numbers. But $A$ doesn’t have upper bounds because there is no real number $u$ that is larger than all numbers in $\mathbb{N}$ or $[1, \infty)$. In particular, sup $A$ doesn’t exist. Going further, the set $\mathbb{Z}$ of integers has no upper bounds and no lower bounds.
In Chapter 4, we discover that every bounded subset of the real number set $\mathbb{R}$ has both a supremum and an infimum; this is a consequence of the completeness of $\mathbb{R}$. But bounded sets in $\mathbb{Q}$, which is not complete, may fail to have a supremum or an infimum due to the existence of gaps or holes; see Exercise 87.
However, whencrer sup $\Lambda$ or $\inf \Lambda$ exist, they are uniquc.
Lemma 62 (a) If A has a supremum or least upper bound, then it is unique. Also, a greatest lower bound is unique, if it exists.
(b) There is a sequence $a_n$ in $A$ that converges to sup $A$. Also there is a sequence in $A$ that converges to $\inf A$.
数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|The Real Numbers
The real numbers came up often in previous chapters where we thought of them intuitively. Now it is time to answer questions like what exactly are real numbers, and why do we need them?
We define a rational number simply as the quotient of two integers, as long as we don’t divide by 0 . This feature endows the rational numbers with a useful feature that the integers lack: the reciprocal of every rational number is also a rational number. However, this is not enough to include numbers like $\sqrt{2}$ or $\pi$ that are also extremely important in all areas of pure and applied mathematics.
The key property that defines and distinguishes real numbers from the rational ones is “completeness.” This property is different from all the algebraic properties that are common to both rational and real numbers. Completeness is a collective set property, like closure: the sum and product of two rational numbers is rational, so the set of all rational numbers is closed under addition and multiplication.
In the case of completeness, it is necessary to invoke infinity since the set of real numbers must contain the limits of so-called Cauchy infinite sequences. Loosely speaking, if we think of the decimal expansion of, say, $\pi=3.14159 \ldots$, then we can imagine it being constructed progressively using a sequence of rational numbers like 3, 3.1 $=31 / 10,3.14=314 / 100$, and so on. The proper description of this process leads to greater technical challenges, like how to define the rational numbers that make up the sequence, how to make sure that adding or multiplying (irrational) real numbers gives a real number again, and of course, how to ensure that limits of Cauchy sequences of real numbers are again real numbers, i.e., the set of all real numbers is closed under limits.
It is common practice in analysis textbooks to introduce completeness as an axiom that is added to the field axioms that define the rational numbers once the concept of Cauchy sequence has been defined. Logically equivalent versions of completeness, such as the often used “least upper bound axiom,” don’t even need Cauchy sequences and can be defined as a property that subsets of the set of real numbers must satisfy. Many textbooks introduce more than one version and then prove the equivalence of those versions.
This approach certainly makes it possible to enter the theory faster, but it offers little intuition and insufficient insight into the real numbers, or in particular, what the irrational numbers are. From a pedagogical point of view, the axiomatic approach to introducing completeness seems contrived.
实分析代考
数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Limit supremum and limit infimum
在本节中，我们将介绍有助于我们更深入地了解序列行为的概念。我们从有界集开始。上界和下界不是唯一的；例如，考虑半开区间一个=[−1,1)的实数。然后任何数字在≥1是的上限一个因为每个数字在[−1,1)最多为 1 。特别地，1 是最小上限，因为没有上限[−1,1)可以小于 1 而不会小于中的某个数[−1,1). 例如，0.999不是上限，因为它小于，例如，0.9991，这是在[−1,1). 我们的结论是晚饭[−1,1)=1
同样，每个数升≤−1是下界一个和信息[−1,1)=−1. 在这个例子中，我们还看到上确界或下确界可能在也可能不在一个（当它们存在时）。的确，[−1,1)不包含其上限之一！另一个例子是可数集小号=1,1/2,1/3,1/4,…有晚饭小号=1，这是在小号， 和信息小号=0, 这不在小号.
有些集合没有上限或下限。如果一个是否或者[1,∞)， 然后信息一个=1; 下界为一个包括 0 和所有负数。但一个没有上限因为没有实数在大于中的所有数字否或者[1,∞). 特别是，一个不存在。更进一步，集合从整数没有上限也没有下限。
在第 4 章中，我们发现实数集的每个有界子集R既有上界也有下界；这是完整性的结果R. 但是有界集合问，它是不完整的，可能由于存在间隙或洞而没有上确界或下确界；见习题 87。
然而，当你喝大号或者信息大号存在，它们是独一无二的。
引理 62 (a) 如果 A 有上界或最小上界，则它是唯一的。此外，如果存在最大下界，则它是唯一的。
(b) 有一个序列一个n在一个收敛于 sup一个. 也有一个顺序一个收敛于信息一个.
数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|The Real Numbers
在我们凭直觉想到它们的前几章中，实数经常出现。现在是时候回答诸如究竟什么是实数以及我们为什么需要实数之类的问题了？
我们将有理数简单地定义为两个整数的商，只要我们不除以 0 即可。这个特性赋予了有理数一个整数所没有的有用特性：每个有理数的倒数也是有理数。但是，这还不足以包括像这样的数字2或者π这在纯数学和应用数学的所有领域也极为重要。
定义和区分实数与有理数的关键属性是“完整性”。此属性不同于有理数和实数共有的所有代数属性。完备性是集合的集合性质，就像闭包一样：两个有理数的和与乘积是有理数，所以所有有理数的集合在加法和乘法下都是封闭的。
在完整性的情况下，有必要调用无穷大，因为实数集必须包含所谓的柯西无限序列的极限。粗略地说，如果我们考虑十进制扩展，比如说，π=3.14159…, 然后我们可以想象它是使用一系列有理数逐步构建的，例如 3, 3.1=31/10,3.14=314/100， 等等。正确描述这个过程会带来更大的技术挑战，比如如何定义构成序列的有理数，如何确保将（无理数）实数相加或相乘再次得到实数，当然，如何确保柯西实数序列的极限再次为实数，即所有实数的集合在极限下闭合。
一旦定义了柯西序列的概念，分析教科书中的常见做法是将完备性作为公理引入到定义有理数的域公理中。完整性的逻辑等效版本，例如经常使用的“最小上界公理”，甚至不需要柯西序列，并且可以定义为实数集的子集必须满足的属性。许多教科书介绍了多个版本，然后证明了这些版本的等价性。
这种方法当然可以更快地进入理论，但它提供的直觉和对实数的洞察力不足，特别是无理数是什么。从教学的角度来看，引入完整性的公理化方法似乎是人为的。
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