相信许多留学生对数学代考都不陌生，国外许多大学都引进了网课的学习模式。网课学业有利有弊，学生不需要到固定的教室学习，只需要登录相应的网站研讨线上课程即可。但也正是其便利性，线上课程的数量往往比正常课程多得多。留学生课业深重，时刻名贵，既要学习知识，又要结束多种类型的课堂作业，physics作业代写，物理代写，论文写作等；网课考试很大程度增加了他们的负担。所以，您要是有这方面的困扰，不要犹疑，订购myassignments-help代考渠道的数学代考服务，价格合理，给你前所未有的学习体会。

我们的数学代考服务适用于那些对课程结束没有掌握，或许没有满足的时刻结束网课的同学。高度匹配专业科目，按需结束您的网课考试、数学代写需求。担保买卖支持，100%退款保证，免费赠送Turnitin检测报告。myassignments-help的Math作业代写服务，是你留学路上忠实可靠的小帮手！

---

数学代写|数论作业代写number theory代考|Wilson’s Theorem

Wilson’s theorem, in number theory, signifies that any prime $p$ divides $(p-1) !+1$, where $n !$ is the factorial notation for $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \cdots \times n$. For example, 7 divides $(7-1) !+1=6 !+1=721$. The conjecture was first published by the English mathematician Edward Waring in Meditationes Algebraicae (1770 ‘Thoughts on Algebra’), where he described it to the English mathematician John Wilson.
After that it was proved by the French mathematician Joseph-Louis Lagrange in 1771. The converse of the theorem is also true; that is, $(n-1) !+1$ is not divisible by a composite number $n$. In theory, these theorems provide a test for primes; in practice, the calculations are impractical for large numbers.

Theorem 5.4.1. Wilson’s Theorem: If $p$ is a prime then $(p-1) ! \equiv-1(\bmod p)$.
Proof. Let us choose $p>3$ and consider the linear congruence $a x \equiv 1(\bmod p)$ where $a$ is any one of $1,2,3, \cdots, p-1$. Therefore $\operatorname{gcd}(a, p)=1$. Hence, it has an unique solution viz $a \tilde{a} \equiv(\bmod p)$ with $1 \leq \tilde{a} \leq p-1$. Because $p$ is prime, $a=\tilde{a} \Leftrightarrow a=1$ or $a=p-1$ provided $a^2 \equiv 1(\bmod p) \Rightarrow(a-1)(a+1) \equiv 0($ $\bmod p)$. Therefore $(a-1) \equiv 0(\bmod p)$ or $(a+1) \equiv 0(\bmod p)$. Now if we delete 1 and $p-1$, then the remaining $2,3, \ldots, p-2$ are set into pairs $a$ and $\tilde{a}$, where $a \neq \tilde{a}$. So if these $\frac{p-3}{2}$ congruences are multiplied, we obtain $2 \cdot 3 \cdots(p-2) \equiv 1($ $\bmod p) \Rightarrow(p-2) ! \equiv 1(\bmod p) \Rightarrow(p-1) ! \equiv(p-1) \equiv-1(\bmod p)$

$p=11$. Divide the integers $2,3,4,5,6,7,8,9$ into $\frac{p-3}{2}$ pairs such as
$$
\begin{aligned}
&2 \cdot 6 \equiv 1(\bmod 11) \
&3 \cdot 4 \equiv 1(\bmod 11) \
&7 \cdot 8 \equiv 1(\bmod 11) \
&5 \cdot 9 \equiv 1(\bmod 11)
\end{aligned}
$$
Multiplying each pair together we obtain, $9 ! \equiv 1(\bmod 11)$. Hence $10 ! \equiv 1($ $\bmod 11$ ), shows the result is true for $p=11$. An interesting observation is that the converse is also true. Let $n$ be a non-prime required integer. Then $n$ must have a divisor $d$ where $1<d<n$. As $d \leq n-1$, we have $d \mid(n-1)$ !. Now from the condition we have, $n \mid((n-1) !+1)$. Hence combining the conditions, we have $d \mid((n-1) !+1)$. Thus $d \mid 1$ leads to contradiction, showing $n$ is prime. Taking Wilson’s theorem and its converse together we can say that the condition is necessary and sufficient for an integer to be prime. Thus it gives us a condition of testing primality.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Worked out Exercises

Problem 5.5.1. Find the remainder when 15 ! is divided by 17.
Solution 5.5.1. Since $(17-1) !=16$ !, we have by virtue of Wilson’s theorem $(17-1) ! \equiv-1(\bmod 17)$. Therefore $16 ! \equiv-1(\bmod 17) \equiv 16(\bmod 17) \Rightarrow 15 ! \equiv 1($ mod 17). Hence the remainder is 1.
Problem 5.5.2. Find the remainder when 2(26)! is divided by 29.
Solution 5.5.2. From Wilson’s theorem, we find $28 ! \equiv-1(\bmod 29) \Rightarrow 28 ! \equiv 28($ $\bmod 29) \Rightarrow 27 ! \equiv 1(\bmod 29)$. Here we note that $\operatorname{gcd}(28,29)=1 \Rightarrow 27(26) ! \equiv$ $(1+29)=30(\bmod 29) \Rightarrow 9(26) ! \equiv 10(\bmod 29) \Rightarrow 9(26) ! \equiv(10+29)=9($ $\bmod 29) \Rightarrow 3(26) ! \equiv 13(\bmod 29) \Rightarrow 3(26) ! \equiv(13+29)=42(\bmod 29) \Rightarrow(26) ! \equiv$ $14(\bmod 29)$. Therefore $2(26) ! \equiv 28(\bmod 29)$. Thus, 28 is the remainder.
Problem 5.5.3. Show that $18 ! \equiv-1(\bmod 437)$.
Solution 5.5.3. Note that $437=19 \cdot 23$, where both 19 and 23 are prime numbers. By Wilson’s theorem, we have $18 ! \equiv-1(\bmod 19)$ therefore $19 \mid(18 !+$ 1) holds. So here the only thing we need to show is $23 \mid(18 !+1)$, because $\operatorname{gcd}(19,23)=1$. Further by Wilson’s theorem, we obtain $22 ! \equiv-1(\bmod 23) \equiv 22($ $\bmod 23) \Rightarrow 21 ! \equiv 1(\bmod 23) \equiv 1+23=24(\bmod 23) \Rightarrow 7(20) ! \equiv 8(\bmod 23) \Rightarrow$ $7 \cdot 5 \cdot 19 ! \equiv 2 \equiv 2+23 \equiv 25(\bmod 23) \Rightarrow 7 \cdot 19 \cdot 18 ! \equiv 5(\bmod 23) \equiv 5+23=28($ $\bmod 23) \Rightarrow 19 \cdot 18 ! \equiv 4(\bmod 23) \Rightarrow 19 \cdot 18 ! \equiv(4-23)=-19(\bmod 23) \Rightarrow 18 ! \equiv$ $-1(\bmod 23)$. Therefore $23|(18 !+1) \Rightarrow 437|(18 !+1)$.

Problem 5.5.4. Prove that for $n(>1)$ is prime if and only if $(n-2) ! \equiv 1($ $\bmod n)$.

Solution 5.5.4. By Wilson’s theorem and it’s converse we have, $n$ is prime if and only if $(n-1) ! \equiv-1(\bmod n)$. Hence $(n-1) ! \equiv-1+n=n-1(\bmod n)$. Therefore $(n-2) ! \equiv 1(\bmod n)$, as $\operatorname{gcd}(n, n-1)=1$.

数论代考

数学代写|数论作业代写number theory代考|Wilson’s Theorem

威尔逊定理，在数论中，表示任何䋏数 $p$ 分裂 $(p-1) !+1$ ，在哪里 $n$ !是阶乘符号
$1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \cdots \times n$. 例如， 7 分 $(7-1) !+1=6 !+1=721$. 这个猜想首先由英国数学家喛德 华.沃林在 Meditationes Algebraicae（1770 年的”代数思想”) 中发表，在那里他向英国数学家约翰.威尔 逊渵述了它。
后于1771年由法国数学家约瑟夫-路易拉格朗日证明。定理的逆亦成立; 那是， $(n-1) !+1$ 不能被合 数整除 $n$. 从理论上讲，这些定理提供了对素数的检验；实际上，计算对于大数是不切实际的。
定理 5.4.1。威尔逊定理: 如果 $p$ 是素数 $(p-1) ! \equiv-1(\bmod p)$.
证明。让我们选择 $p>3$ 并考虑线性同余 $a x \equiv 1(\bmod p)$ 在哪里 $a$ 是任何一个 $1,2,3, \cdots, p-1$. 所以 $\operatorname{gcd}(a, p)=1$. 因此，它有一个独特的解决方案，即 $a \tilde{a} \equiv(\bmod p)$ 和 $1 \leq \tilde{a} \leq p-1$. 因为 $p$ 是质数， $a=\tilde{a} \Leftrightarrow a=1$ 或者 $a=p-1$ 假如 $a^2 \equiv 1(\bmod p) \Rightarrow(a-1)(a+1) \equiv 0(\bmod p)$. 所以 $(a-1) \equiv 0(\bmod p)$ 或者 $(a+1) \equiv 0(\bmod p)$. 现在如果我们删除 1 和 $p-1$ ，那么剩下的 $2,3, \ldots, p-2$ 成对设置 $a$ 和 $\tilde{a} ＼mathrm{~ ， 在 哪 里 ~} a \neq \tilde{a}$. 所以如果这些 $\frac{p-3}{2}$ 同余项相乘，我们得到 $2 \cdot 3 \cdots(p-2) \equiv 1(\bmod p) \Rightarrow(p-2) ! \equiv 1(\bmod p) \Rightarrow(p-1) ! \equiv(p-1) \equiv-1(\bmod p)$
$p=11$. 除以整数 $2,3,4,5,6,7,8,9$ 进入 $\frac{p-3}{2}$ 对如
$2 \cdot 6 \equiv 1(\bmod 11) \quad 3 \cdot 4 \equiv 1(\bmod 11) 7 \cdot 8 \equiv 1(\bmod 11) \quad 5 \cdot 9 \equiv 1(\bmod 11)$
将每一对相乘我们得到， $9 ! \equiv 1(\bmod 11)$. 因此 $10 ! \equiv 1(\bmod 11)$ ，表明结果为真 $p=11$. 一个有趣的 观察是，反之亦然。让 $n$ 是一个非㱴数的必需整数。然后 $n$ 必须有一个除数 $d$ 在哪里 $1<d<n$. 作为 $d \leq n-1$ ，我们有 $d \mid(n-1) !$ 。现在从我们的情况来看， $n \mid((n-1) !+1)$. 因此结合条件，我们 有 $d \mid((n-1) !+1)$. 因此 $d \mid 1$ 导致矛盾，显示 $n$ 是质数。将威尔逊定理及其逆定理结合起来，我们可 以说整数为溸数的充分必要条件。因此它给了我们一个检验素性的条件。

数学代写|数论作业代写number theory代考|Worked out Exercises

问题 5.5.1。求 15 时的余数! 除以 17。
解决方案 5.5.1。自从 $(17-1) !=16 !$, 我们凭借威尔逊定理 $(17-1) ! \equiv-1(\bmod 17)$. 所以 $16 ! \equiv-1(\bmod 17) \equiv 16(\bmod 17) \Rightarrow 15 ! \equiv 1($ 模组 17)。因此余数为 1 。
问题 5.5.2。求2(26)时的余数！除以 29。
解决方案 5.5.2。从威尔逊定理，我们发现 $28 ! \equiv-1(\bmod 29) \Rightarrow 28 ! \equiv 28($ $\bmod 29) \Rightarrow 27 ! \equiv 1(\bmod 29)$. 在这里我们注意到 $\operatorname{gcd}(28,29)=1 \Rightarrow 27(26) ! \equiv$ $(1+29)=30(\bmod 29) \Rightarrow 9(26) ! \equiv 10(\bmod 29) \Rightarrow 9(26) ! \equiv(10+29)=9($ $\bmod 29) \Rightarrow 3(26) ! \equiv 13(\bmod 29) \Rightarrow 3(26) ! \equiv(13+29)=42(\bmod 29) \Rightarrow(26) ! \equiv$ $14(\bmod 29)$. 所以 $2(26) ! \equiv 28(\bmod 29)$. 因此，余数为 28 。
问题 5.5.3。显示 $18 ! \equiv-1(\bmod 437)$.
解决方案 5.5.3。注意 $437=19 \cdot 23$ ，其中 19 和 23 都是溸数。根据威尔逊定理，我们有 $18 ! \equiv-1(\bmod 19)$ 所以 $19 \mid(18 !+1)$ 成立。所以这里我们唯一需要展示的是 $23 \mid(18 !+1)$ ，因为 $\operatorname{gcd}(19,23)=1$. 进一步根据威尔逊定理，我们得到 $22 ! \equiv-1(\bmod 23) \equiv 22($
$\bmod 23) \Rightarrow 21 ! \equiv 1(\bmod 23) \equiv 1+23=24(\bmod 23) \Rightarrow 7(20) ! \equiv 8(\bmod 23) \Rightarrow$ $7 \cdot 5 \cdot 19 ! \equiv 2 \equiv 2+23 \equiv 25(\bmod 23) \Rightarrow 7 \cdot 19 \cdot 18 ! \equiv 5(\bmod 23) \equiv 5+23=28($ $\bmod 23) \Rightarrow 19 \cdot 18 ! \equiv 4(\bmod 23) \Rightarrow 19 \cdot 18 ! \equiv(4-23)=-19(\bmod 23) \Rightarrow 18 ! \equiv$ $-1(\bmod 23)$. 所以 $23|(18 !+1) \Rightarrow 437|(18 !+1)$.
问题 5.5.4。证明对于 $n(>1)$ 是溸数当且仅当 $(n-2) ! \equiv 1(\bmod n)$.
解决方案 5.5.4。根据威尔逊定理，我们有相反的定理， $n$ 是溸数当且仅当 $(n-1) ! \equiv-1(\bmod n)$. 因 此 $(n-1) ! \equiv-1+n=n-1(\bmod n)$. 所以 $(n-2) ! \equiv 1(\bmod n)$ ， 作为 $\operatorname{gcd}(n, n-1)=1$.

myassignments-help数学代考价格说明

1、客户需提供物理代考的网址，相关账户，以及课程名称，Textbook等相关资料~客服会根据作业数量和持续时间给您定价~使收费透明，让您清楚的知道您的钱花在什么地方。

2、数学代写一般每篇报价约为600—1000rmb，费用根据持续时间、周作业量、成绩要求有所浮动(持续时间越长约便宜、周作业量越多约贵、成绩要求越高越贵)，报价后价格觉得合适，可以先付一周的款，我们帮你试做，满意后再继续，遇到Fail全额退款。

3、myassignments-help公司所有MATH作业代写服务支持付半款，全款，周付款，周付款一方面方便大家查阅自己的分数，一方面也方便大家资金周转，注意:每周固定周一时先预付下周的定金，不付定金不予继续做。物理代写一次性付清打9.5折。

Math作业代写、数学代写常见问题

留学生代写覆盖学科？

代写学科覆盖Math数学,经济代写，金融,计算机,生物信息，统计Statistics,Financial Engineering，Mathematical Finance，Quantitative Finance，Management Information Systems,Business Analytics,Data Science等。代写编程语言包括Python代写、Physics作业代写、物理代写、R语言代写、R代写、Matlab代写、C++代做、Java代做等。

数学作业代写会暴露客户的私密信息吗？

我们myassignments-help为了客户的信息泄露，采用的软件都是专业的防追踪的软件，保证安全隐私，绝对保密。您在我们平台订购的任何网课服务以及相关收费标准，都是公开透明，不存在任何针对性收费及差异化服务，我们随时欢迎选购的留学生朋友监督我们的服务，提出Math作业代写、数学代写修改建议。我们保障每一位客户的隐私安全。

留学生代写提供什么服务？

我们提供英语国家如美国、加拿大、英国、澳洲、新西兰、新加坡等华人留学生论文作业代写、物理代写、essay润色精修、课业辅导及网课代修代写、Quiz，Exam协助、期刊论文发表等学术服务，myassignments-help拥有的专业Math作业代写写手皆是精英学识修为精湛；实战经验丰富的学哥学姐！为你解决一切学术烦恼！

物理代考靠谱吗？

靠谱的数学代考听起来简单，但实际上不好甄别。我们能做到的靠谱，是把客户的网课当成自己的网课；把客户的作业当成自己的作业；并将这样的理念传达到全职写手和freelancer的日常培养中，坚决辞退糊弄、不守时、抄袭的写手！这就是我们要做的靠谱！

数学代考下单流程

提早与客服交流，处理你心中的顾虑。操作下单，上传你的数学代考/论文代写要求。专家结束论文，准时交给，在此过程中可与专家随时交流。后续互动批改

付款操作：我们数学代考服务正常多种支付方法，包含paypal，visa，mastercard，支付宝，union pay。下单后与专家直接互动。

售后服务：论文结束后保证完美经过turnitin查看，在线客服全天候在线为您服务。如果你觉得有需求批改的当地能够免费批改，直至您对论文满意为止。如果上交给教师后有需求批改的当地，只需求告诉您的批改要求或教师的comments，专家会据此批改。

保密服务：不需求提供真实的数学代考名字和电话号码，请提供其他牢靠的联系方法。我们有自己的工作准则，不会泄露您的个人信息。

myassignments-help擅长领域包含但不是全部:

myassignments-help服务请添加我们官网的客服或者微信/QQ，我们的服务覆盖：Assignment代写、Business商科代写、CS代考、Economics经济学代写、Essay代写、Finance金融代写、Math数学代写、report代写、R语言代考、Statistics统计学代写、物理代考、作业代写、加拿大代考、加拿大统计代写、北美代写、北美作业代写、北美统计代考、商科Essay代写、商科代考、数学代考、数学代写、数学作业代写、physics作业代写、物理代写、数据分析代写、新西兰代写、澳洲Essay代写、澳洲代写、澳洲作业代写、澳洲统计代写、澳洲金融代写、留学生课业指导、经济代写、统计代写、统计作业代写、美国Essay代写、美国代考、美国数学代写、美国统计代写、英国Essay代写、英国代考、英国作业代写、英国数学代写、英国统计代写、英国金融代写、论文代写、金融代考、金融作业代写。