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数学代写|数论作业代写number theory代考|Wilson’s Theorem

Wilson’s theorem, in number theory, signifies that any prime $p$ divides $(p-1) !+1$, where $n !$ is the factorial notation for $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \cdots \times n$. For example, 7 divides $(7-1) !+1=6 !+1=721$. The conjecture was first published by the English mathematician Edward Waring in Meditationes Algebraicae (1770 ‘Thoughts on Algebra’), where he described it to the English mathematician John Wilson.
After that it was proved by the French mathematician Joseph-Louis Lagrange in 1771. The converse of the theorem is also true; that is, $(n-1) !+1$ is not divisible by a composite number $n$. In theory, these theorems provide a test for primes; in practice, the calculations are impractical for large numbers.

Theorem 5.4.1. Wilson’s Theorem: If $p$ is a prime then $(p-1) ! \equiv-1(\bmod p)$.
Proof. Let us choose $p>3$ and consider the linear congruence $a x \equiv 1(\bmod p)$ where $a$ is any one of $1,2,3, \cdots, p-1$. Therefore $\operatorname{gcd}(a, p)=1$. Hence, it has an unique solution viz $a \tilde{a} \equiv(\bmod p)$ with $1 \leq \tilde{a} \leq p-1$. Because $p$ is prime, $a=\tilde{a} \Leftrightarrow a=1$ or $a=p-1$ provided $a^2 \equiv 1(\bmod p) \Rightarrow(a-1)(a+1) \equiv 0($ $\bmod p)$. Therefore $(a-1) \equiv 0(\bmod p)$ or $(a+1) \equiv 0(\bmod p)$. Now if we delete 1 and $p-1$, then the remaining $2,3, \ldots, p-2$ are set into pairs $a$ and $\tilde{a}$, where $a \neq \tilde{a}$. So if these $\frac{p-3}{2}$ congruences are multiplied, we obtain $2 \cdot 3 \cdots(p-2) \equiv 1($ $\bmod p) \Rightarrow(p-2) ! \equiv 1(\bmod p) \Rightarrow(p-1) ! \equiv(p-1) \equiv-1(\bmod p)$

$p=11$. Divide the integers $2,3,4,5,6,7,8,9$ into $\frac{p-3}{2}$ pairs such as
$$
\begin{aligned}
&2 \cdot 6 \equiv 1(\bmod 11) \
&3 \cdot 4 \equiv 1(\bmod 11) \
&7 \cdot 8 \equiv 1(\bmod 11) \
&5 \cdot 9 \equiv 1(\bmod 11)
\end{aligned}
$$
Multiplying each pair together we obtain, $9 ! \equiv 1(\bmod 11)$. Hence $10 ! \equiv 1($ $\bmod 11$ ), shows the result is true for $p=11$. An interesting observation is that the converse is also true. Let $n$ be a non-prime required integer. Then $n$ must have a divisor $d$ where $1<d<n$. As $d \leq n-1$, we have $d \mid(n-1)$ !. Now from the condition we have, $n \mid((n-1) !+1)$. Hence combining the conditions, we have $d \mid((n-1) !+1)$. Thus $d \mid 1$ leads to contradiction, showing $n$ is prime. Taking Wilson’s theorem and its converse together we can say that the condition is necessary and sufficient for an integer to be prime. Thus it gives us a condition of testing primality.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Worked out Exercises

Problem 5.5.1. Find the remainder when 15 ! is divided by 17.
Solution 5.5.1. Since $(17-1) !=16$ !, we have by virtue of Wilson’s theorem $(17-1) ! \equiv-1(\bmod 17)$. Therefore $16 ! \equiv-1(\bmod 17) \equiv 16(\bmod 17) \Rightarrow 15 ! \equiv 1($ mod 17). Hence the remainder is 1.
Problem 5.5.2. Find the remainder when 2(26)! is divided by 29.
Solution 5.5.2. From Wilson’s theorem, we find $28 ! \equiv-1(\bmod 29) \Rightarrow 28 ! \equiv 28($ $\bmod 29) \Rightarrow 27 ! \equiv 1(\bmod 29)$. Here we note that $\operatorname{gcd}(28,29)=1 \Rightarrow 27(26) ! \equiv$ $(1+29)=30(\bmod 29) \Rightarrow 9(26) ! \equiv 10(\bmod 29) \Rightarrow 9(26) ! \equiv(10+29)=9($ $\bmod 29) \Rightarrow 3(26) ! \equiv 13(\bmod 29) \Rightarrow 3(26) ! \equiv(13+29)=42(\bmod 29) \Rightarrow(26) ! \equiv$ $14(\bmod 29)$. Therefore $2(26) ! \equiv 28(\bmod 29)$. Thus, 28 is the remainder.
Problem 5.5.3. Show that $18 ! \equiv-1(\bmod 437)$.
Solution 5.5.3. Note that $437=19 \cdot 23$, where both 19 and 23 are prime numbers. By Wilson’s theorem, we have $18 ! \equiv-1(\bmod 19)$ therefore $19 \mid(18 !+$ 1) holds. So here the only thing we need to show is $23 \mid(18 !+1)$, because $\operatorname{gcd}(19,23)=1$. Further by Wilson’s theorem, we obtain $22 ! \equiv-1(\bmod 23) \equiv 22($ $\bmod 23) \Rightarrow 21 ! \equiv 1(\bmod 23) \equiv 1+23=24(\bmod 23) \Rightarrow 7(20) ! \equiv 8(\bmod 23) \Rightarrow$ $7 \cdot 5 \cdot 19 ! \equiv 2 \equiv 2+23 \equiv 25(\bmod 23) \Rightarrow 7 \cdot 19 \cdot 18 ! \equiv 5(\bmod 23) \equiv 5+23=28($ $\bmod 23) \Rightarrow 19 \cdot 18 ! \equiv 4(\bmod 23) \Rightarrow 19 \cdot 18 ! \equiv(4-23)=-19(\bmod 23) \Rightarrow 18 ! \equiv$ $-1(\bmod 23)$. Therefore $23|(18 !+1) \Rightarrow 437|(18 !+1)$.

Problem 5.5.4. Prove that for $n(>1)$ is prime if and only if $(n-2) ! \equiv 1($ $\bmod n)$.

Solution 5.5.4. By Wilson’s theorem and it’s converse we have, $n$ is prime if and only if $(n-1) ! \equiv-1(\bmod n)$. Hence $(n-1) ! \equiv-1+n=n-1(\bmod n)$. Therefore $(n-2) ! \equiv 1(\bmod n)$, as $\operatorname{gcd}(n, n-1)=1$.

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数论代考

数学代写|数论作业代写number theory代考|Wilson’s Theorem

威尔逊定理,在数论中,表示任何䋏数 $p$ 分裂 $(p-1) !+1$ ,在哪里 $n$ !是阶乘符号
$1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \cdots \times n$. 例如, 7 分 $(7-1) !+1=6 !+1=721$. 这个猜想首先由英国数学家喛德 华.沃林在 Meditationes Algebraicae(1770 年的”代数思想”) 中发表,在那里他向英国数学家约翰.威尔 逊渵述了它。
后于1771年由法国数学家约瑟夫-路易拉格朗日证明。定理的逆亦成立; 那是, $(n-1) !+1$ 不能被合 数整除 $n$. 从理论上讲,这些定理提供了对素数的检验;实际上,计算对于大数是不切实际的。
定理 5.4.1。威尔逊定理: 如果 $p$ 是素数 $(p-1) ! \equiv-1(\bmod p)$.
证明。让我们选择 $p>3$ 并考虑线性同余 $a x \equiv 1(\bmod p)$ 在哪里 $a$ 是任何一个 $1,2,3, \cdots, p-1$. 所以 $\operatorname{gcd}(a, p)=1$. 因此,它有一个独特的解决方案,即 $a \tilde{a} \equiv(\bmod p)$ 和 $1 \leq \tilde{a} \leq p-1$. 因为 $p$ 是质数, $a=\tilde{a} \Leftrightarrow a=1$ 或者 $a=p-1$ 假如 $a^2 \equiv 1(\bmod p) \Rightarrow(a-1)(a+1) \equiv 0(\bmod p)$. 所以 $(a-1) \equiv 0(\bmod p)$ 或者 $(a+1) \equiv 0(\bmod p)$. 现在如果我们删除 1 和 $p-1$ ,那么剩下的 $2,3, \ldots, p-2$ 成对设置 $a$ 和 $\tilde{a} \mathrm{~ , 在 哪 里 ~} a \neq \tilde{a}$. 所以如果这些 $\frac{p-3}{2}$ 同余项相乘,我们得到 $2 \cdot 3 \cdots(p-2) \equiv 1(\bmod p) \Rightarrow(p-2) ! \equiv 1(\bmod p) \Rightarrow(p-1) ! \equiv(p-1) \equiv-1(\bmod p)$
$p=11$. 除以整数 $2,3,4,5,6,7,8,9$ 进入 $\frac{p-3}{2}$ 对如
$2 \cdot 6 \equiv 1(\bmod 11) \quad 3 \cdot 4 \equiv 1(\bmod 11) 7 \cdot 8 \equiv 1(\bmod 11) \quad 5 \cdot 9 \equiv 1(\bmod 11)$
将每一对相乘我们得到, $9 ! \equiv 1(\bmod 11)$. 因此 $10 ! \equiv 1(\bmod 11)$ ,表明结果为真 $p=11$. 一个有趣的 观察是,反之亦然。让 $n$ 是一个非㱴数的必需整数。然后 $n$ 必须有一个除数 $d$ 在哪里 $1<d<n$. 作为 $d \leq n-1$ ,我们有 $d \mid(n-1) !$ 。现在从我们的情况来看, $n \mid((n-1) !+1)$. 因此结合条件,我们 有 $d \mid((n-1) !+1)$. 因此 $d \mid 1$ 导致矛盾,显示 $n$ 是质数。将威尔逊定理及其逆定理结合起来,我们可 以说整数为溸数的充分必要条件。因此它给了我们一个检验素性的条件。

数学代写|数论作业代写number theory代考|Worked out Exercises

问题 5.5.1。求 15 时的余数! 除以 17。
解决方案 5.5.1。自从 $(17-1) !=16 !$, 我们凭借威尔逊定理 $(17-1) ! \equiv-1(\bmod 17)$. 所以 $16 ! \equiv-1(\bmod 17) \equiv 16(\bmod 17) \Rightarrow 15 ! \equiv 1($ 模组 17)。因此余数为 1 。
问题 5.5.2。求2(26)时的余数!除以 29。
解决方案 5.5.2。从威尔逊定理,我们发现 $28 ! \equiv-1(\bmod 29) \Rightarrow 28 ! \equiv 28($ $\bmod 29) \Rightarrow 27 ! \equiv 1(\bmod 29)$. 在这里我们注意到 $\operatorname{gcd}(28,29)=1 \Rightarrow 27(26) ! \equiv$ $(1+29)=30(\bmod 29) \Rightarrow 9(26) ! \equiv 10(\bmod 29) \Rightarrow 9(26) ! \equiv(10+29)=9($ $\bmod 29) \Rightarrow 3(26) ! \equiv 13(\bmod 29) \Rightarrow 3(26) ! \equiv(13+29)=42(\bmod 29) \Rightarrow(26) ! \equiv$ $14(\bmod 29)$. 所以 $2(26) ! \equiv 28(\bmod 29)$. 因此,余数为 28 。
问题 5.5.3。显示 $18 ! \equiv-1(\bmod 437)$.
解决方案 5.5.3。注意 $437=19 \cdot 23$ ,其中 19 和 23 都是溸数。根据威尔逊定理,我们有 $18 ! \equiv-1(\bmod 19)$ 所以 $19 \mid(18 !+1)$ 成立。所以这里我们唯一需要展示的是 $23 \mid(18 !+1)$ ,因为 $\operatorname{gcd}(19,23)=1$. 进一步根据威尔逊定理,我们得到 $22 ! \equiv-1(\bmod 23) \equiv 22($
$\bmod 23) \Rightarrow 21 ! \equiv 1(\bmod 23) \equiv 1+23=24(\bmod 23) \Rightarrow 7(20) ! \equiv 8(\bmod 23) \Rightarrow$ $7 \cdot 5 \cdot 19 ! \equiv 2 \equiv 2+23 \equiv 25(\bmod 23) \Rightarrow 7 \cdot 19 \cdot 18 ! \equiv 5(\bmod 23) \equiv 5+23=28($ $\bmod 23) \Rightarrow 19 \cdot 18 ! \equiv 4(\bmod 23) \Rightarrow 19 \cdot 18 ! \equiv(4-23)=-19(\bmod 23) \Rightarrow 18 ! \equiv$ $-1(\bmod 23)$. 所以 $23|(18 !+1) \Rightarrow 437|(18 !+1)$.
问题 5.5.4。证明对于 $n(>1)$ 是溸数当且仅当 $(n-2) ! \equiv 1(\bmod n)$.
解决方案 5.5.4。根据威尔逊定理,我们有相反的定理, $n$ 是溸数当且仅当 $(n-1) ! \equiv-1(\bmod n)$. 因 此 $(n-1) ! \equiv-1+n=n-1(\bmod n)$. 所以 $(n-2) ! \equiv 1(\bmod n)$ , 作为 $\operatorname{gcd}(n, n-1)=1$.

数学代写|数论作业代写number theory代考

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