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数学代写|多变量微积分代写multivariable calculus代考|Supplementary problems

Section 2.A

  1. Consider the function $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, x \mapsto f(x)$, where
    (a) $f(x)=x^{2 / 3}$
    (b) $f(x)=x^{4 / 3}$
    (c) $f(x)=x^{1 / 2}$.
    Decide in each case whether the derivative of $f$ exists at $x=0$ as follows:
    (i) Check whether $f$ exists at $x=0$ and at $x=0+h$ (for $h$ arbitrarily small).
    (ii) Check right and left limits to see whether $f$ is continuous at $x=0$.
    (iii) Check right and left limits to see whether $f$ has a derivative at $x=0$.
  2. Consider the function $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, x \mapsto(x-1)^\alpha, \alpha \in \mathbb{R}$. Decide from first principles for what values of $\alpha$ the derivative of $f$ exists at $x=1$.
    Section 2.B
  3. Are the following functions continuous at $(0,0)$ ?
    (a) $f(x, y)=\frac{x y}{x^2+y^2}, f(0,0)=0$.
    (b) $f(x, y)=\frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}}, f(0,0)=0$.

数学代写|多变量微积分代写multivariable calculus代考|Extreme values of f

Occupying a central position in the vastness of the space of applications of differential calculus is the subject of optimization. At its most basic, the term refers to the task of finding those points in a function’s domain that gives rise to maxima or minima of that (scalar) function, and of determining the corresponding values of that function.

Of special interest in the study are the so-called extreme points of $f(\boldsymbol{x})$, a subset of which are the so-called critical points. These are points where the function can exhibit either a local maximum or minimum, and even a global maximum or minimum.

To set the stage we require some basic infrastructure. We start with a few essential definitions.

We have here invoked the open sphere $S_r(\boldsymbol{a})$ to represent the set of points $\boldsymbol{x}$ different from but near $\boldsymbol{a}$ (the radius $r>0$ is presumed small). We could equally well have referred to points $x$ in a larger “neighbourhood” of $\boldsymbol{a}$. However, that proves to be unnecessary and less convenient, it is enough to consider a small open sphere as we are defining local properties.

Points of local minimum (Figure 3.1(i)) and local maximum (Figure 3.1(ii)) are examples of critical points.

数学代写|多变量微积分代写multivariable calculus代考|MTH265

多变量微积分代考

数学代写|多变量微积分代写multivariable calculus代考|Supplementary problems

第 $2 . \mathrm{A}$ 节

  1. 考虑函数 $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, x \mapsto f(x)$ ,其中
    (a) $f(x)=x^{2 / 3}$
    (二) $f(x)=x^{4 / 3}$
    (C) $f(x)=x^{1 / 2}$.
    在每种情况下决定导数是否 $f$ 存在于 $x=0$ 如下:
    (i) 检查是否 $f$ 存在于 $x=0$ 在 $x=0+h$ (为了 $h$ 任意小)。
    (ii) 检查左右极限是否 $f$ 是连续的 $x=0$.
    (iii) 检查左右极限是否 $f$ 有导数 $x=0$.
  2. 考虑函数 $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, x \mapsto(x-1)^\alpha, \alpha \in \mathbb{R}$. 从第一原则决定什么价值 $\alpha$ 的导数 $f$ 存在于 $x=1$. 第 $2 . B$ 节
  3. 以下函数是否连续 $(0,0)$ ?
    (一个) $f(x, y)=\frac{x y}{x^2+y^2}, f(0,0)=0$.
    (二) $f(x, y)=\frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}}, f(0,0)=0$.

数学代写|多变量微积分代写multivariable calculus代考|Extreme values of f

在微分学广阔的应用空间中占据中心位置的是最优化的主题。在最基本的情况下,该术语指的是在函数域中找到那些导致该(标量)函数的最大值或最小值的点,并确定该函数的相应值的任务。

该研究特别感兴趣的是所谓的极值点F(X),其中的一个子集是所谓的临界点。这些是函数可以显示局部最大值或最小值,甚至全局最大值或最小值的点。

为了做好准备,我们需要一些基本的基础设施。我们从一些基本定义开始。

我们在这里援引了开放领域小号r(一个)代表点集X异而近一个(半径r>0被认为很小)。我们同样可以参考点X在更大的“社区”中一个. 然而,这被证明是不必要的并且不太方便,在我们定义局部属性时考虑一个小的开放球体就足够了。

局部最小值点(图 3.1(i))和局部最大值点(图 3.1(ii))是临界点的例子。

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