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数学代写|多变量微积分代写multivariable calculus代考|Optimization over compact domains

Recall our definition of a compact set (Definition 1.8): a set $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ is said to be compact if it is closed and bounded.

For any function defined on a region $\Omega \subseteq D_f$ that is compact, we have the following very useful result.

Firstly, it is not necessary that the region being considered is the function’s entire domain of definition, $D_f$, but it might be. The problem statement will usually specify this. If no region is given then the reader should assume the whole of $D_f$ is implied.

Secondly, by Theorem 1.2, a continuous function defined on a closed and bounded region is necessarily bounded. This means that $|f(\boldsymbol{x})|<K$ for some $K \in \mathbb{R}$ and for all $\boldsymbol{x}$ in that region. This simple result implies that we should expect $f$ to exhibit an absolute minimum and an absolute maximum. In fact, this is the only time we are guaranteed that absolute maximum and minimum points exist.

The reader should always bear in mind that a continuous function is not necessarily differentiable everywhere. A consequence of this is that singular points can exist. These should then be inspected separately to any critical points. Naturally, the appealing notion of a closed and finite domain means that the domain boundary (boundary points) need also to be considered separately.

数学代写|多变量微积分代写multivariable calculus代考|Optimization free of constraints

In relaxing the condition of compactness, either by allowing the region $R \subseteq$ $D_f$ to be unbounded or bounded but open, there is no longer any guarantee that points of finite maximum or minimum exist. For instance a function might become infinite at one or more points on the boundary of a bounded open set. Consider for example the case
$$
f(x, y)=\frac{x y}{\sqrt{1-x^2-y^2}}, \quad R=D_f=\left{(x, y): x^2+y^2<1\right} .
$$
The magnitude of this otherwise continuous function increases without bound as the independent variables approach the boundary of the unit disc: the function therefore attains neither an absolute maximum nor absolute minimum in $D_f$. In contrast, a continuous function on an unbounded domain may still attain a finite absolute maximum or minimum, as in the case of Mastery Check 3.7:
$$
f(x, y)=\frac{4 x}{1+x^2+y^2}, \quad R=D_f=\mathbb{R}^2 .
$$
The function attains both an absolute maximum and an absolute minimum despite an unbounded domain of definition.

So, how does one proceed? We need only to modify the protocol for continuous functions on compact regions. This is the right-hand side of Flowchart 3.1.

数学代写|多变量微积分代写multivariable calculus代考|Math53

多变量微积分代考

数学代写|多变量微积分代写multivariable calculus代考|Optimization over compact domains

回想一下我们对紧集的定义 (定义 1.8) : 一个集合 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ 如果它是封闭且有界的,则称其为紧致的。
对于在区域上定义的任何函数 $\Omega \subseteq D_f$ 这是紧凑的,我们有以下非常有用的结果。
首先,所考虑的区域不一定是函数的整个定义域, $D_f$ ,但它可能是。问题陈述通常会说明这一点。如 果没有给出区域,那么读者应该假设整个 $D_f$ 暗示。
其次,根据定理 $1.2$ ,定义在闭有界区域上的连续函数必然有界。这意味着 $|f(\boldsymbol{x})|<K$ 对于一些 $K \in \mathbb{R}$ 对于所有人 $x$ 在那个地区。这个简单的结果意味着我们应该期望 $f$ 展示绝对最小值和绝对最大值。事实 上,这是我们唯一能保证存在绝对最大和最小点的情况。
读者应该始终记住,连续函数不一定处处可微。其结果是可能存在奇异点。然后应分别检查这些关键 点。自然地,封闭和有限域的吸引人的概念意味着域边界 (边界点) 也需要单独考虑。

数学代写|多变量微积分代写multivariable calculus代考|Optimization free of constraints

在放宽紧致性条件时,要么通过允许区域 $R \subseteq D_f$ 无界或有界但开放,不再保证存在有限最大值或最小 值的点。例如,一个函数可能在有界开集边界上的一个或多个点处变得无穷大。考虑例如案例
随着自变量接近单位圆盘的边界,这个连续函数的大小无限制地增加:因此函数在 $D_f$. 相反,无界域上 的连续函数仍可能达到有限的绝对最大值或最小值,如 Mastery Check $3.7$ 的情况:
$$
f(x, y)=\frac{4 x}{1+x^2+y^2}, \quad R=D_f=\mathbb{R}^2 .
$$
尽管定义域不受限制,但该函数同时获得绝对最大值和绝对最小值。
那么,如何进行呢? 我们只需要修改紧凑区域上连续函数的协议。这是流程图 $3.1$ 的右侧。

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