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数学代写|多变量微积分代写multivariable calculus代考|Differentials and error analysis
Definition $2.4$ of a differentiable function allows the following interpretation:
$$
f(x+\Delta x)-f(x)=\operatorname{grad} f(x) \cdot \Delta x+|\Delta x| \rho(\Delta x)
$$
or, more simply, that $\Delta f(\boldsymbol{x} ; \Delta \boldsymbol{x}) \approx \operatorname{grad} f(\boldsymbol{x}) \cdot \Delta \boldsymbol{x}$ for $|\Delta \boldsymbol{x}| \ll 1$.
This leads to the idea of constructing a new function of both
$$
\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) \text { and } \mathbf{d} \boldsymbol{x}=\left(\mathrm{d} x_1, \mathrm{~d} x_2, \ldots, \mathrm{d} x_n\right)
$$
That is, it is a function of $2 n$ variables.
The function $\mathrm{d} f$ has the following three features:
(1) It is an approximation to the change in $f, \Delta f$, coming from a change $\boldsymbol{x} \rightarrow \boldsymbol{x}+\mathrm{d} \boldsymbol{x}$;
(2) it is linear in $\mathrm{d} \boldsymbol{x}$; and
(3) it is a natural tool to use if considering overall error estimates when individual errors $(\mathrm{d} x)$ are known.
The last feature identifies the differential’s most useful application.
Suppose we have a quantity $f$ whose value depends on many parameters, say $x_1, \ldots, x_n$. Any errors incurred in measuring the $x_i$ result in an error in the quantity $f$.
An estimate of the maximum error in $f$ is thus given hy
$$
|\mathrm{d} f(\Delta \boldsymbol{x})| \leq\left.\left|\frac{\partial f}{\partial x_1}\right|_x|| \Delta x_1|+| \frac{\partial f}{\partial x_2}\right|_x\left|\Delta x_2\right|+\cdots+\left|\frac{\partial f}{\partial x_n}\right|_x|| \Delta x_n \mid
$$
by the triangle inequality (Section 1.B).
The right-hand side of Equation (3.2) gives the maximum possible error only if one knows the maximum uncertainty of the individual $x_i$. If one knows the exact values of the $\mathrm{d} x_i$ (or $\Delta x_i$ ) including their signs then we use the differential $\mathrm{d} f(\boldsymbol{x}, \mathrm{d} \boldsymbol{x})$ directly to give an approximate value to the change $\Delta f=f(\boldsymbol{x}+\Delta \boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x})$.
数学代写|多变量微积分代写multivariable calculus代考|Method of least squares
In the year 1801 the world of astronomy was excited by the discovery of a new minor planet, Ceres, whose (rough) position in the night sky had been noted a few times before it vanished from view. The young Carl Friedrich Gauss $[19,20]$ used a method – one he had worked out while still a student – to plot the orbit of the planet, and he was able to tell astronomers where in the sky to search for it. That method is the subject of this section.
In the first example that follows, we imagine the planet’s orbit in the night sky to be a straight line which has to be fitted in some optimal fashion to a set of discrete pairs of observations which are subject to errors. In the second example, the method is applied to discrete observations on a supposed planetary orbit. In the third example, the method is extended to continuous domains.
The field of statistics deals with “observations” (measurements) on variables that are known to be subject to random errors. When we observe two or more variables at once, it is often appropriate to ask what is the relationship between these two variables. This question is the basis of the study known as “regression analysis”, which is outside the scope of this book. But the core of regression analysis is an application of the differential calculus called the method of least squares, invented independently by Gauss.
多变量微积分代考
数学代写|多变量微积分代写multivariable calculus代考|Differentials and error analysis
定义 $2.4$ 的可微函数允许以下解释:
$$
f(x+\Delta x)-f(x)=\operatorname{grad} f(x) \cdot \Delta x+|\Delta x| \rho(\Delta x)
$$
或者，更简单地说， $\Delta f(\boldsymbol{x} ; \Delta \boldsymbol{x}) \approx \operatorname{grad} f(\boldsymbol{x}) \cdot \Delta \boldsymbol{x}$ 为了 $|\Delta \boldsymbol{x}| \ll 1$.
这导致了构建两者的新功能的想法
$$
\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) \text { and } \mathbf{d} \boldsymbol{x}=\left(\mathrm{d} x_1, \mathrm{~d} x_2, \ldots, \mathrm{d} x_n\right)
$$
也就是说，它是一个函数 $2 n$ 变量。
功能 $\mathrm{d} f$ 具有以下三个特点:
(1) 它是对变化的近似 $f, \Delta f$ ，来自变化 $x \rightarrow x+\mathrm{d} x$;
(2) 它是线性的 $\mathrm{d} \boldsymbol{x}$;
(3) 如果在个别错误时考虑总体错误估计，它是一种自然使用的工具 $(\mathrm{d} x)$ 是已知的。 最后一个特征确定了差速器最有用的应用。
假设我们有一个数量 $f$ 其值取决于许多参数，例如 $x_1, \ldots, x_n$. 测量过程中发生的任何错误 $x_i$ 导致数量错 误 $f$.
最大误差的估计 $f$ 因此给出了 hy
$$
|\mathrm{d} f(\Delta \boldsymbol{x})| \leq\left.\left|\frac{\partial f}{\partial x_1}\right|_x|| \Delta x_1|+| \frac{\partial f}{\partial x_2}\right|_x\left|\Delta x_2\right|+\cdots+\left|\frac{\partial f}{\partial x_n}\right|_x|| \Delta x_n \mid
$$
通过三角不等式 (第 $1 . B$ 节)。
只有当知道个体的最大不确定性时，等式 (3.2) 的右侧才给出最大可能误差 $x_i$. 如果知道的确切值 $\mathrm{d} x_i$
(或者 $\Delta x_i$ ) 包括他们的标志然后我们使用微分 $\mathrm{d} f(x, \mathrm{~d} \boldsymbol{x})$ 直接给变化一个近似值
$$
\Delta f=f(\boldsymbol{x}+\Delta \boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x}) .
$$
数学代写|多变量微积分代写multivariable calculus代考|Method of least squares
1801 年，天文学界因一颗新的小行星谷神星的发现而兴奋不已，它在夜空中的（粗略）位置在它从视野中消失之前曾被记录过几次。年轻的卡尔·弗里德里希·高斯[19,20]他使用了一种方法——他还是学生时就想出的方法——绘制了行星的轨道，他能够告诉天文学家在天空中的哪个位置寻找它。该方法是本节的主题。
在下面的第一个示例中，我们将行星在夜空中的轨道想象成一条直线，必须以某种最佳方式将其拟合到一组容易出错的离散观测值对。在第二个示例中，该方法应用于假定行星轨道上的离散观测。在第三个例子中，该方法被扩展到连续域。
统计学领域处理对已知受随机误差影响的变量的“观察”（测量）。当我们同时观察两个或多个变量时，通常应该问这两个变量之间的关系是什么。这个问题是被称为“回归分析”的研究的基础，这超出了本书的范围。但回归分析的核心是微分学的一种应用，称为最小二乘法，是高斯独立发明的。
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