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数学代写|李群和李代数代写lie group and lie algebra代考|THE BAKER-CAMPBELL-HAUSDORFF FORMULA

As an application of the Levi structure theorem, we shall discuss some applications to the theory of differential equations. We have of course already discussed the original work of Lie on differential equations. Recent work on the application of Lie groups and Lie algebras to differential equations has dealt with problems somewhat different from those studied by Sophus Lie. One example is the study of equations of the type
$$
d \mathbf{U}(t) / d t=\mathbf{A}(t) \mathbf{U}(t),
$$
where $\mathbf{U}$ and $\mathbf{A}$ are operators and $\mathbf{U}(0)=\mathbf{1}$ is the identity. This equation comes up in quantum mechanics as the Schrödinger equation for the evolution operator $\mathbf{U}(t)$ of a system whose Hamiltonian operator is $\mathbf{A}(t)$, except for a constant factor. Magnus gave a formal solution
$$
\mathbf{U}(t)=\exp \Omega(t)
$$
for this problem, which converges in some interval about $t=0$ if the operators are finite matrices and $\mathbf{A}$ is a continuous function of $t$ (see [159]).
Wichmann and Norman and Wei treated the case
$$
\mathbf{A}(t)=\sum_{i=1}^n a_i(t) \mathbf{X}i, $$ where the constant operators $\mathbf{X}_1, \cdots, \mathbf{X}_n$ span a finite-dimensional Lie algebra [184], [185], [236], [246]. This situation arises in certain problems of control theory [150]. Here the functions $a_i(t)$, known as scalar controls, are piecewise constant functions of time rather than continuous functions. In control theory, the operators $\mathbf{U}(t)$ act on the states of the control system, and describe how the states are transformed as a function of time. In this case, the solution can be given locally in the form treated by Magnus as $$ \mathbf{U}(t)=\exp \left(\sum{i=1}^n f_i(t) \mathbf{X}_i\right) .
$$

数学代写|李群和李代数代写lie group and lie algebra代考|LIE GROUP REPRESENTATIONS

One of the main tools in applications of the Lie theory is the concept of a representation. A representation of a group is a homomorphism of the group into a group of linear operators on a vector space. In many applications it is sufficient to treat representations in a fairly loose manner. For example, one speaks of vectors, tensors, pseudoscalars, spinors and the like as being various types of geometrical objects, such as directed arrows, ellipsoids, and so on [39], [208]. Representations of the rotation group crop up throughout mathematical physics in the form of spherical harmonics and Legendre functions, multipole expansions and so forth. The actual representation concept is often held in the background. We must of course make this intuitive conception more precise, and moreover we want to make our discussion apply to any Lie group, not just to the rotation group. However, we shall restrict our attention to analytic homomorphisms, and we assume that all vector spaces have finite dimension.

We define a finite-dimensional representation of a Lie group to be an analytic homomorphism of the Lie group into the general linear group of invertible linear operators on a finite-dimensional vector space. By fixing a basis in the vector space, we obtain a corresponding homomorphism onto a matrix group. Since analytic homomorphisms of Lie groups induce homomorphisms of the corresponding Lie algebras, every finite-dimensional representation of a Lie group induces a representation of its Lie algebra.
A representation of a Lie algebra $L$ consists of a vector space $V$ and a homomorphism $f$ from $L$ into the Lie algebra of all linear operators on $V$. The term “representation” strictly refers to the pair $(V, f)$, but colloquially it is often used to refer just to the homomorphism $f$ alone. The requirement that $f$ be a homomorphism means that if $x$ is in $L$, then $f(x)$ is a linear operator on $V$, and $f(x)$ depends on $x$ linearly:
$$
f\left(c_1 x_1+c_2 x_2\right)=c_1 f\left(x_1\right)+c_2 f\left(x_2\right)
$$
for all $x_1, x_2$ in $L$ and all scalars $c_1$ and $c_2$. Also we must have
$$
f\left(\left[x_1, x_2\right]\right)=f\left(x_1\right) f\left(x_2\right)-f\left(x_2\right) f\left(x_1\right)
$$

数学代写|李群和李代数代写lie group and lie algebra代考|MATH741

数学代写|李群和李代数代写lie group and lie algebra代考|THE BAKER-CAMPBELL-HAUSDORFF FORMULA

作为列维结构定理的应用,我们将讨论微分方程理论的一些应用。我们当然已经讨论了李在微分方程方 面的原始工作。最近将李群和李代数应用于微分方程的工作处理的问题与 Sophus Lie 研究的问题有些不 同。一个例子是对方程式的研究
$$
d \mathbf{U}(t) / d t=\mathbf{A}(t) \mathbf{U}(t),
$$
在哪里 $\mathbf{U}$ 和 $\mathbf{A}$ 是运营商和 $\mathbf{U}(0)=1$ 是身份。这个方程在量子力学中作为演化算子的薛定谔方程出现 $\mathbf{U}(t)$ 一个系统的哈密顿算子是 $\mathbf{A}(t)$ ,除了一个常数因子。Magnus给出了正式的解决方案
$$
\mathbf{U}(t)=\exp \Omega(t)
$$
对于这个问题,它在某个区间内收敛 $t=0$ 如果运算符是有限矩阵并且 $\mathbf{A}$ 是的连续函数 $t$ (见 [159])。 Wichmann 和 Norman 和 Wei 处理了这个案子
$$
\mathbf{A}(t)=\sum_{i=1}^n a_i(t) \mathbf{X} i
$$
常量运算符在哪里 $\mathbf{X}_1, \cdots, \mathbf{X}_n$ 跨越有限维李代数 [184]、[185]、[236]、[246]。这种情况出现在控制理 论的某些问题中 [150]。这里的功能 $a_i(t)$ ,称为标量控制,是时间的分段常数函数而不是连续函数。在 控制理论中,算子 $\mathbf{U}(t)$ 作用于控制系统的状态,并描述状态如何随时间变化。在这种情况下,解决方案 可以在本地以 Magnus 处理的形式给出
$$
\mathbf{U}(t)=\exp \left(\sum i=1^n f_i(t) \mathbf{X}_i\right) .
$$

数学代写|李群和李代数代写lie group and lie algebra代考|LIE GROUP REPRESENTATIONS

表示的概念是应用李理论的主要工具之一。群的表示是群同态为向量空间上的一组线性算子。在许多应 用程序中,以相当松散的方式处理表示就足够了。例如,人们将向量、张量、伪标量、旋量等称为各种 类型的几何对象,例如定向箭头、椭圆体等 [39]、[208]。旋转群的表示以球毕函数和勒让德函数、多极 展开等形式出现在整个数学物理学中。实际的表示概念通常在后台进行。我们当然必须使这个直观的概 念更精确,而且我们要使我们的讨论适用于任何李群,不仅仅是轮换组。然而,我们将把注意力限制在 解析同态上,并且我们假设所有向量空间都具有有限维数。
我们将李群的有限维表示定义为李群解析同态为有限维向量空间上可逆线性算子的一般线性群。通过在 向量空间中固定一个基,我们在一个矩阵群上得到一个相应的同态。由于李群的解析同态导出相应李代 数的同态,李群的每个有限维表示都导出其李代数的表示。
李代数的表示 $L$ 由向量空间组成 $V$ 和一个同态 $f$ 从 $L$ 进入所有线性算子的李代数 $V$. “表示”一词严格指对 $(V, f)$ ,但通俗地说,它通常仅指代同态 $f$ 独自的。的要求是 $f$ 是一个同态意味着如果 $x$ 在 $L$ ,然后 $f(x)$ 是一个线性算子 $V$ ,和 $f(x)$ 取决于 $x$ 线性地:
$$
f\left(c_1 x_1+c_2 x_2\right)=c_1 f\left(x_1\right)+c_2 f\left(x_2\right)
$$
对所有人 $x_1, x_2$ 在 $L$ 和所有标量 $c_1$ 和 $c_2$. 我们也必须有
$$
f\left(\left[x_1, x_2\right]\right)=f\left(x_1\right) f\left(x_2\right)-f\left(x_2\right) f\left(x_1\right)
$$

数学代写|李群和李代数代写lie group and lie algebra代考

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