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The direct sum, like the tensor product, is a fundamental vector space operation which finds many applications in the theory of Lie algebras and their representations. The direct sum operation in vector space theory is useful both as an analytical tool and as a constructive procedure. Corresponding to these two modes of usage, there are actually two slightly different definitions of the direct sum, known as the internal and the external direct sum. In practice there is little danger in being a bit careless on this point since these two variants are to a large extent equivalent, and the distinction between them can usually be understood from context. If $V_1$ and $V_2$ are vector spaces over a field $\mathbb{F}$, their external direct sum consists of all the ordered pairs $\left(v_1, v_2\right)$, where $v_1$ is in $V_1$ and $v_2$ is in $V_2$. The external direct sum, denoted by $V_1+V_2$, may be regarded as a vector space if vector addition and multiplication of vectors by scalars are defined component wise. A familiar example of the use of the external direct sum is in the construction of the $n$-dimensional vector space
$$
\mathbb{F}^n=\mathbb{F}+\cdots+\mathbb{F} \quad \text { ( } n \text { copies) }
$$
over a field $\mathbb{F}$. Another example of the use of the external direct sum is in the construction of the tensor algebra, to be discussed later.

The concept of internal direct sum is used when we are talking about the lattice of all subspaces of a given vector space. The set of all subspaces of a vector space is closed under the operation of intersection, but not under the operation of union. The sum $S_1+S_2$ of subspaces $S_1$ and $S_2$ of a vector space is the set of all elements of the form $x+y$, where $x$ is in $S_1$, and $y$ is in $S_2$. Equivalently, the sum of two subspaces may be described as the subspace spanned by their union. The set of all subspaces of a vector space is said to be a lattice under the two operations $\cap$ and $+$. This means that these operations satisfy certain axioms somewhat reminiscent of Boolean algebra, but not quite as strong [112], [134]. In particular, the distributive laws between $\cap$ and + do not hold, and there is no analogue of the de Morgan laws of complementation. More formally, a lattice is a partially ordered set in which every pair of elements has a least upper bound and a greatest lower bound. In the case of the lattice of subspaces of a vector space, the partial ordering is just the inclusion relation, while $S_1 \cap S_2$ is the greatest lower bound of $S_1$ and $S_2$ and $S_1+S_2$ is the least upper bound of $S_1$ and $S_2$.

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For the structure and classification of Lie algebras, the concepts of subalgebra and ideal play the same fundamental roles that subgroups and normal subgroups play in Lie group theory. If $A$ and $B$ are subspaces of a Lie algebra, we denote by $[A, B]$ the subspace spanned by all vectors $[a, b]$, where $a \in A$ and $b \in B$. A subalgebra $S$ of a Lie algebra $L$ is a subspace which is closed under the Lie multiplication, that is, which satisfies $[S, S] \subset S$. An ideal $I$ of a Lie algebra $L$ is a subalgebra such that the Lie product of an element of $L$ with any element of $I$ is in the subalgebra $I$, that is, for all $x \in L$ and all $y \in I$, we have $[x, y] \in I$. Thus, an ideal $I$ of a Lie algebra $L$ may be defined as a subspace which satisfies $[L, I] \subset I$. As may be expected, subalgebras and ideals figure in the fundamental homomorphism theorems for Lie algebras. In particular, the kernel of any Lie algebra homomorphism is an ideal, while the image is a subalgebra.

The sum and intersection of ideals of a Lie algebra are again ideals, and the ideals of a $\mathrm{Lie}$ algebra form a lattice under these two operations. In addition, it follows from the Jacobi identity that the Lie product $\left[I_1, I_2\right]$ of two ideals is again an ideal. The situation regarding subalgebras is a little bit different since the sum of two subalgebras need not be a subalgebra, although the intersection of any set of subalgebras is still a subalgebra. Nevertheless, the subalgebras of a Lie algebra still form a lattice. For both the lattice of ideals and the lattice of subalgebras, the partial ordering is inclusion and the greatest lower bound is intersection. In the lattice of ideals, the least upper bound for a pair of ideals is the sum of those ideals. In the lattice of subalgebras, the least upper bound for two subalgebras is not their sum, but rather the intersection of all subalgebras containing their union. Just as in the case of finite groups, the structure of a Lie algebra can be studied by investigating the properties of its lattice of subalgebras [22], [37], [101], [105], [141], [142].

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与张量积一样,直和是一种基本的向量空间运算,在李代数理论及其表示中有许多应用。向量空间理论 中的直和运算既可用作分析工具,也可用作构造过程。对应于这两种使用方式,直和实际上有两种略有 不同的定义,称为内直和和外直和。在实践中,在这一点上稍有疏忽几乎没有什么危险,因为这两个变 体在很大程度上是等同的,并且通常可以从上下文中理解它们之间的区别。如果 $V_1$ 和 $V_2$ 是域上的向量空 间 $\mathbb{F}$ ,它们的外部直和由所有有序对组成 $\left(v_1, v_2\right)$ ,在哪里 $v_1$ 在 $V_1$ 和 $v_2$ 在 $V_2$. 外部直和,表示为 $V_1+V_2$ ,如果向量加法和向量与标量的乘法是按分量定义的,则可以将其视为向量空间。使用外部直接 和的一个熟悉的例子是在构造 $n$ 维向量空间
$$
\mathbb{F}^n=\mathbb{F}+\cdots+\mathbb{F} \quad(n \text { copies })
$$
在一个领域 $F$. 使用外部直和的另一个例子是张量代数的构造,稍后将讨论。
当我们讨论给定向量空间的所有子空间的格时,会用到内直和的概念。一个向量空间的所有子空间的集 合在交集运算下是封闭的,但在并集运算下不是封闭的。总和 $S_1+S_2$ 子空间 $S_1$ 和 $S_2$ 向量空间的集合是 形式的所有元嫊的集合 $x+y$ ,在哪里 $x$ 在 $S_1$ ,和 $y$ 在 $S_2$. 等价地,两个子空间的和可以描述为它们的 并集所跨越的子空间。向量空间的所有子空间的集合在这两个操作下被称为格 $\cap$ 和 $+$. 这意味看这些操作 满足某些公理,这有点让人联想到布尔代数,但没有那么强大 [112]、 [134]。特别是,之间的分配律~ 和 $+$ 不成立,并且没有 de Morgan 互补定律的类似物。更正式地说,格是一个部分有序的集合,其中 每对元綁都有一个最小上界和一个最大下界。对于向量空间的子空间格,偏序就是包含关系,而 $S_1 \cap S_2$ 是的最大下界 $S_1$ 和 $S_2$ 和 $S_1+S_2$ 是的最小上限 $S_1$ 和 $S_2$.

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对于李代数的结构和分类,子代数和理想的概念与子群和正规子群在李群论中所起的基本作用相同。如 果 $A$ 和 $B$ 是李代数的子空间,我们用 $[A, B]$ 所有向量所跨越的子空间 $[a, b]$ ,在哪里 $a \in A$ 和 $b \in B$. 到 子代数 $S$ 李代数的 $L$ 是在李乘法下封闭的子空间,即满足 $[S, S] \subset S$. 一个理想 $I$ 李代数的 $L$ 是一个子代 数,使得一个元綁的李积 $L$ 与任何元素 $I$ 在子代数中 $I$ ,也就是说,对于所有 $x \in L$ 和所有 $y \in I$ ,我们 有 $[x, y] \in I$. 因此,一个理想 $I$ 李代数的 $L$ 可以定义为满足 $[L, I] \subset I$. 正如所料,子代数和理想出现在 李代数的基本同态定理中。特别地,任何李代数同态的核都是理想的,而图像是子代数。
李代数的理想之和和交点也是理想,而李代数的理想Lie代数在这两个操作下形成一个格。此外,从雅 可比恒等式可以得出李积 $\left[I_1, I_2\right]$ 两个理想又是一个理想。关于子代数的情况有点不同,因为两个子代数 的和不一定是子代数,尽管任何子代数集的交集仍然是子代数。尽管如此,李代数的子代数仍然形成一 个格。对于理想格和子代数格,偏序是包含,最大下界是交。在理煛格中,一对理想的最小上限是这些 理想的总和。在子代数格中,两个子代数的最小上界不是它们的和,而是包含它们并集的所有子代数的 交集。就像在有限群的情况下一样,李代数的结构可以通过研究其子代数格的性质来研究 [22]、[37]、

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