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数学代写|李群和李代数代写lie group and lie algebra代考|THE LEVI DECOMPOSITION OF A LIE ALGEBRA

The study of Lie algebras in general can be reduced to the study of two special classes of Lie algebras: solvable $\mathrm{Lie}$ algebras and semisimple $\mathrm{Lie}$ algebras. These types of Lie algebras may be defined in terms of ideals as follows: With any Lie algebra $L$, there is associated a derived series of ideals defined recursively by
$$
L^{\prime}=[L, L]
$$
and
$$
L^{(k+1)}=\left[L^{(k)}, L^{(k)}\right]
$$
for any positive integer $k$. It is readily proved by induction on $k$ that $L^{(k)}$ is an ideal of $L$ and that the inclusion $L^{(k+1)} \subset L^{(k)}$ holds. We say that $L$ is a solvable Lie algebra if the derived series of ideals
$$
L \supset L^{\prime} \supset L^{\prime \prime} \supset \cdots
$$
is eventually zero. Since a Lie algebra $L$ is Abelian if and only if $[L, L]=0$, it follows that every Abelian Lie algebra is solvable. The simplest solvable Lie algebra which is not Abelian is the two-dimensional affine Lie algebra. If we choose a basis $e_1, e_2$ for this Lie algebra such that
$$
\left[e_1, e_2\right]=e_1,
$$
then $L^{\prime}$ consists of the multiples of $e_1$, and $L^{\prime \prime}=0$, proving that $L$ is solvable. In any Lie algebra, the solvable ideals form a sublattice of the lattice of all its ideals, because the sum and intersection of solvable ideals are again solvable ideals. In particular, the sum of all the solvable ideals in a Lie algebra is its unique maximal solvable ideal, called the radical of the Lie algebra. We may define a semisimple Lie algebra as a Lie algebra which has no Abelian ideals, other than 0 . It is easy to see that a semisimple Lie algebra cannot have any solvable ideals either, and hence a Lie algebra is semisimple if and only if its radical is zero.

数学代写|李群和李代数代写lie group and lie algebra代考|SEMISIMPLE LIE ALGEBRAS

To study the structure of semisimple Lie algebras, one uses the fact that they can be decomposed in terms of simple Lie algebras. A simple Lie algebra is a non-Abelian Lie algebra which has no proper ideals at all. Every simple Lie algebra is, as one would expect, semisimple, for the only nonzero ideal is the whole algebra; if $L^{\prime}=L$, this is not solvable, while if $L^{\prime}=0$, then $L$ is Abelian and consequently not simple. An example of a simple Lie algebra is the real Lie algebra $s o(3, \mathbb{R})$, the familiar three-dimensional vector space $\mathbb{R}^3$ equipped with the usual vector cross product. To see this, we must argue that there are no proper ideals in the Lie algebra $s o(3, \mathbb{R})$. Such an ideal would be a proper subspace $S$ of $\mathbb{R}^3$, a line or a plane passing through the origin such that the vector cross product $\mathbf{x} \times \mathbf{y}$ of any vector $\mathbf{x}$ in $S$ by a vector $\mathbf{y}$ in $\mathbb{R}^3$ must lie in $S$. Since the cross product of two vectors is perpendicular to both and is nonzero unless the two vectors are collinear or at least one is zero, no line or plane can have this property.

The fact that the rotation group $S O(3, \mathbb{R})$ is simple (has no proper normal subgroups) almost follows from the simplicity of its Lie algebra. Since the closure of a normal subgroup is again normal and since the Lie algebra of a closed normal subgroup of $S O(3, \mathbb{R})$ is an ideal of its Lie algebra, we only have to rule out discrete and dense normal subgroups. A normal subgroup of $S O(3, \mathbb{R})$ is dense if its closure is all of $S O(3, \mathbb{R})$. If $g$ is an element of any normal subgroup $S$ of $S O(3, \mathrm{R})$, then all elements $\mathrm{hgh}^{-1}$ which are conjugate to $g$ must also be in $S$. But this is equivalent to saying that every rotation about any axis by an angle equal to that of the rotation $g$ about its axis must be in $S$. If $g$ is not the identity, multiplying it by the inverse of a rotation $h g h^{-1}$ about an axis which has been shifted a small amount, we obtain an element $g h g^{-1} h^{-1}$ in $S$ which is not the identity, but as close to it as we wish. In this way one can further argue that any proper normal subgroup contains a whole neighborhood of the identity element. Since any neighborhood of the identity generates the whole rotation group, it follows that $S O(3, \mathbb{R})$ cannot have any proper normal subgroups at all.

Any semisimple Lie algebra $S$ can be written as a direct sum of simple ideals,
$$
S=S_1 \oplus \cdots \oplus S_k .
$$

数学代写|李群和李代数代写lie group and lie algebra代考|Math222

数学代写|李群和李代数代写lie group and lie algebra代考|THE LEVI DECOMPOSITION OF A LIE ALGEBRA

一般李代数的研究可以简化为研究两类特殊的李代数:可解Lie代数和半单Lie代数。这些类型的李代数 可以根据理想定义如下: 对于任何李代数 $L$ ,相关联的派生系列的理想递归地定义为
$$
L^{\prime}=[L, L]
$$

$$
L^{(k+1)}=\left[L^{(k)}, L^{(k)}\right]
$$
对于任何正整数 $k$. 很容易通过归纳法证明 $k$ 那 $L^{(k)}$ 是一个理想的 $L$ 并且包含 $L^{(k+1)} \subset L^{(k)}$ 持有。我们说 $L$ 是一个可解的李代数,如果理想的导出系列
$$
L \supset L^{\prime} \supset L^{\prime \prime} \supset \cdots
$$
最終为零。由于李代数 $L$ 是阿贝尔的当且仅当 $[L, L]=0$ ,由此得出每个阿贝尔李代数都是可解的。最 简单的非阿贝尔可解李代数是二维仿射李代数。如果我们选择一个基础 $e_1, e_2$ 对于这个李代数这样
$$
\left[e_1, e_2\right]=e_1,
$$
然后 $L^{\prime}$ 由以下的倍数组成 $e_1$ ,和 $L^{\prime \prime}=0$ ,证明 $L$ 是可以解决的。在任何李代数中,可解理煛构成其所有 理想格的子格,因为可解理想的总和和交集又是可解理想。特别地,李代数中所有可解理煛的总和是其 唯一的最大可解理想,称为李代数的根。我们可以将半单李代数定义为除了 0 之外没有阿贝尔理想的李 代数。很容易看出半单李代数也不可能有任何可解的理想,因此一个李代数是半单的当且仅当它的根为零。

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为了研究半单李代数的结构,人们利用了它们可以分解为单李代数这一事实。一个简单的李代数是一个 完全没有真理想的非阿贝尔李代数。正如人们所期望的那样,每个简单的李代数都是半单的,因为唯一 的非零理想是整个代数;如果 $L^{\prime}=L$ ,这是不可解的,而如果 $L^{\prime}=0$ ,然后 $L$ 是阿贝尔的,因此不简 单。一个简单李代数的例子是真正的李代数 $s o(3, \mathbb{R})$ ,熟悉的三维向量空间 $\mathbb{R}^3$ 配备了通常的向量叉积。 要看到这一点,我们必须论证李代数中没有适当的理想 $s o(3, \mathbb{R})$. 这样的理想将是一个适当的子空间 $S$ 的 个向量的叉积垂直于两者并且不为零,除非两个向量共线或至少一个为零,因此任何线或平面都不具有 此属性。
轮换组的事实 $S O(3, \mathbb{R}$ ) 是简单的 (没有适当的正规子群) 几乎从其李代数的简单性中得出。由于正规 子群的闭包又是正规子群,并且由于一个封闭正规子群的李代数 $S O(3, \mathbb{R})$ 是其李代数的一个理煛,我 们只需要排除离散和稠密的正规子群。的正规子群 $S O(3, \mathbb{R})$ 如果它的闭包全部是 $S O(3, \mathbb{R})$. 如果 $g$ 是任 何正规子群的元嗉 $S$ 的 $S O(3, \mathrm{R})$, 那么所有元溸 $\mathrm{hgh}^{-1}$ 这是共轭 $g$ 也必须在 $S$. 但这等同于说每绕任意一 个轴旋转一个等于旋转角度的角度 $g$ 关于它的轴必须在 $S$. 如果 $g$ 不是身份,将它乘以旋转的倒数 $h g h^{-1}$ 关于一个已经移动了少量的轴,我们得到一个元嗉 $g h g^{-1} h^{-1}$ 在 $S$ 这不是身份,而是我们㠻望的那样接 近它。通过这种方式,可以进一步论证任何真正规子群都包含单位元的整个邻域。由于身份的任何邻域 都会生成整个旋转组,因此可以得出 $S O(3, \mathbb{R})$ 根本不可能有任何适当的正规子群。
任何半单李代数 $S$ 可以写成简单理想的直和,
$$
S=S_1 \oplus \cdots \oplus S_k .
$$

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