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数学代写|变分法代写variational methods代考|Black Box Variational Inference
As seen in Sect. 3.2.1.5, the SVI computes the distribution updates in a closed form, which requires model-specific knowledge and implementation. Moreover, the gradient of the ELBO must have a closed-form analytical formula. Black Box Variational Inference (BBVI) [25] avoids these problems by estimating the gradient instead of actually computing it.
BBVI uses the score function estimator [34]
$$
\nabla_\phi \mathbb{E}{q(\mathbf{z} ; \phi)}[f(\mathbf{z} ; \theta)]=\mathbb{E}{q(\mathbf{z} ; \phi)}\left[f(\mathbf{z} ; \theta) \nabla_\phi \log q(\mathbf{z} ; \phi)\right]
$$
where the approximating distribution $q(\mathbf{z} ; \phi)$ is a continuous function of $\phi$ (see Appendix A.1). Using this estimator to compute the gradient of the ELBO in Eq. (3.7) gives us
$$
\nabla_\phi \mathrm{ELBO}=\mathbb{E}q\left[\left(\nabla\phi \log q(\mathbf{z} ; \phi)\right)(\log p(\mathbf{x}, \mathbf{z})-\log q(\mathbf{z} ; \phi))\right] .
$$
The expectation in $\mathrm{Fq}$. (3.77) is approximated by a Monte Carlo integration.
The sole assumption of the gradient estimator in Eq. (3.77) about the model is the feasibility of computing the log of the joint $p\left(\mathbf{x}, \mathbf{z}_s\right)$. The sampling method and the gradient of the log both rely on the variational distribution $q$. Thus, we can derive them only once for each approximating family $q$ and reuse them for different models $p\left(\mathbf{x}, \mathbf{z}_s\right)$. Hence the name black box: we just need to specify the model $p\left(\mathbf{x}, \mathbf{z}_s\right)$ and can directly perform VI on it. Actually, $p\left(\mathbf{x}, \mathbf{z}_s\right)$ does not even need to be normalized, since the log of the normalization constant does not contribute to the gradient in Eq. (3.77).
数学代写|变分法代写variational methods代考|Black Box α Minimization
Black Box $\alpha$ minimization [9] (BB- $\alpha$ ) optimizes an approximation of the power EP energy function $[19,20]$. Instead of considering $i$ different local compatibility functions $\widetilde{f}_i$, it ties them together so that all $\widetilde{f}_i$ are equal, that is, $\widetilde{f}_i=\widetilde{f}$. We may view it as an average factor approximation, which we use to approximate the average effect of the original $f_i[9]$.
Further restricting these factors to belong to the exponential family amounts to tying their natural parameters. As a consequence, BB- $\alpha$ no longer needs to store an approximating site per likelihood factor, which leads to significant memory savings in large data sets. The fixed points differ from power EP, though they become equal in the limit of infinite data.
$\mathrm{BB}-\alpha$ dispenses with the need for double-loop algorithms to directly minimize the energy and employs gradient-descent methods for this matter. This contrasts with the iterative update scheme of Sect. 3.2.3. As other modern methods designed for large-scale learning, it employs stochastic optimization to avoid cycling through the whole data set. Besides, it estimates the expectation over the approximating distribution $q$ present in the energy function by Monte Carlo sampling.
Differently from BBVI [25], the BB- $\alpha$ uses the pathwise derivative estimator [24] to estimate the gradient (see Appendix A.1). We must be able to express the random variable $\mathbf{z} \sim q(\mathbf{z}, \phi)$ as an invertible deterministic transformation $g(\cdot ; \phi)$ of a base random variable $\epsilon \sim p(\epsilon)$, so we can write
$$
\nabla_\phi \mathbb{E}{q(\mathbf{z} ; \phi)}[f(\mathbf{z} ; \theta)]=\mathbb{E}{p(\epsilon)}\left[\nabla_\phi f(g(\epsilon ; \phi) ; \theta)\right]
$$
The approach requires not only the distribution $q(\mathbf{z} ; \phi)$ to be reparameterizable but also $f(\mathbf{z} ; \theta)$ to be known and a continuous function of $\phi$ for all values of $\mathbf{z}$. Note that it requires, in addition to the likelihood function, its gradients. Still, we can readily obtain them with automatic differentiation tools if the likelihood is analytically defined and differentiable.
As observed in Sect. 3.2.3, the parameter $\alpha$ in Eq. (3.68) controls the divergence function. Hence, the method is able to interpolate between VI $(\alpha \rightarrow-1)$ and an algorithm similar to EP $(\alpha \rightarrow 1)$. Interestingly, the authors [9] claim to usually obtain the best results by setting $\alpha=0$, halfway through VI and EP. This value corresponds to the so-called Hellinger distance, the sole member of the $\alpha$-family that is symmetric.
数学代写|变分法代写variational methods代考|Black Box Variational Inference
正如在教派中看到的那样。3.2.1.5，SVI 以封闭形式计算分布更新，这需要模型特定的知识和实现。此 外，ELBO 的梯度必须有一个封闭形式的解析公式。黑盒变分推理 (BBVI) [25] 通过估计梯度而不是实际 计算梯度来避免这些问题。
BBVI 使用评分函数估计器 [34]
$$
\nabla_\phi \mathbb{E} q(\mathbf{z} ; \phi)[f(\mathbf{z} ; \theta)]=\mathbb{E} q(\mathbf{z} ; \phi)\left[f(\mathbf{z} ; \theta) \nabla_\phi \log q(\mathbf{z} ; \phi)\right]
$$
其中近似分布 $q(\mathbf{z} ; \phi)$ 是的连续函数 $\phi$ (见附录 A.1) 。使用此估计器计算方程式中 ELBO 的梯度。(3.7) 给了我们
$$
\nabla_\phi \mathrm{ELBO}=\mathbb{E} q[(\nabla \phi \log q(\mathbf{z} ; \phi))(\log p(\mathbf{x}, \mathbf{z})-\log q(\mathbf{z} ; \phi))]
$$
中的期望Fq. (3.77) 由蒙特卡洛积分近似。
方程式中梯度估计器的唯一假设。(3.77) 关于模型是计算联合对数的可行性 $p\left(\mathbf{x}, \mathbf{z}_s\right)$. 采样方式和对数的 梯度都依赖于变分分布 $q$. 因此，我们只能为每个近似族导出一次它们 $q$ 并将它们重复用于不同的模型 $p\left(\mathbf{x}, \mathbf{z}_s\right)$. 因此得名黑盒: 我们只需要指定模型 $p\left(\mathbf{x}, \mathbf{z}_s\right)$ 并且可以直接对其进行 $\mathrm{VI}^2$ 。实际上， $p\left(\mathbf{x}, \mathbf{z}_s\right)$ 甚 至不需要归一化，因为归一化常数的对数对等式中的梯度没有贡献。(3.77)。
数学代写|变分法代写variational methods代考|Black Box α Minimization
黑盒子 $\alpha$ 最小化 [9] (BB- $\alpha$ ) 优化功率 EP 能量函数的近似值 $[19,20]$. 而不是考虑 $i$ 不同的本地兼容功能 $\tilde{f}i$ ，它将它们联系在一起，以便所有 $\tilde{f}_i$ 是相等的，也就是说 $\tilde{f}_i=\tilde{f}$. 我们可以把它看作是一个平均因子近 似，我们用它来近似原始的平均效果 $f_i[9]$. 进一步限制这些因溸属于指数族相当于绑定它们的自然参数。因此，BB- $\alpha$ 不再需要为每个似然因子存储 一个近似站点，这会导致在大型数据集中显着节省内存。固定点不同于功率 EP，尽管它们在无限数据的 限制下变得相等。 $B B-\alpha$ 无需使用双循环算法来直接最小化能量，并针对此问题采用梯度下降法。这与 Sect 的迭代更新 方案形成对比。3.2.3. 与其他为大规模学习而设计的现代方法一样，它采用随机优化来避免循环遍历整 个数据集。此外，它估计了对近似分布的期望 $q$ 通过蒙特卡洛采样出现在能量函数中。 不同于 BBVI [25]，BB- $\alpha$ 使用路径导数估计器 [24] 来估计梯度（见附录 A.1）。我们必须能够表达随机 变量 $\mathbf{z} \sim q(\mathbf{z}, \phi)$ 作为可逆的确定性变换 $g(\cdot ; \phi)$ 基本随机变量 $\epsilon \sim p(\epsilon)$, 所以我们可以写 $$ \nabla\phi \mathbb{E} q(\mathbf{z} ; \phi)[f(\mathbf{z} ; \theta)]=\mathbb{E} p(\epsilon)\left[\nabla_\phi f(g(\epsilon ; \phi) ; \theta)\right]
$$
该方法不仅需要分布 $q(\mathbf{z} ; \phi)$ 可重新参数化，但也 $f(\mathbf{z} ; \theta)$ 是已知的并且是连续的函数 $\phi$ 对于所有值 $\mathbf{z}$. 请注 意，除了似然函数之外，它还需要它的梯度。尽管如此，如果可能性是分析定义且可微的，我们仍然可 以使用自动微分工具轻松获得它们。
正如在 Sect 中观察到的那样。3.2.3、参数 $\alpha$ 在等式中 $(3.68)$ 控制发散函数。因此，该方法能够在 VI 之 间进行揷值 $(\alpha \rightarrow-1)$ 和一个类似于EP的算法 $(\alpha \rightarrow 1)$. 有趣的是，作者 [9] 声称通常通过设置获得最佳 结果 $\alpha=0$, VI 和 EP 的中途。该值对应于所谓的 Hellinger 距离，它是 $\alpha$-对称的家庭。
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