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数学代写|自旋几何代写spin geometry代考|Pseudodifierential Operators

The concept of a pseudodifferential operator has its roots in the following observation. Let $P=\sum A^a(x) D^\alpha$ be a differential operator on $\mathbb{R}^n$ acting on functions $u$ with, say, compact support. By Fourier Inversion (2.3) any such $u$ can be written as
$$
u(x)=(2 \pi)^{-\pi / 2} \int e^{i\langle x, \xi\rangle} \hat{u}(\xi) d \xi .
$$
Applying $P$ we find that
$$
P u(x)=(2 \pi)^{-\pi / 2} \int e^{i\langle x, \xi\rangle} p(x, \xi) \hat{\imath}(\xi) d \xi
$$
where
$$
p(x, \xi) \equiv \sum_{|a| \leqq m} A^a(x) \xi^{q a}
$$
is the (total) symbol of $\boldsymbol{P}$. Replacing $p$ by a more general function of $x$ and $\xi$ defines a pseudodifferential operator. Note that in (3.2) the order of $P$ corresponds to the degree of $p$ as a polynomial in $\xi$. In the general case one must be careful with growth in the $\xi$-variable.

Definition 3.1. Fix $m \in \mathbb{R}$. A smooth (matrix-valued) function $p(x, \xi)$ on $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$ is said to be a symbol of order $m$ if for each $\alpha, \alpha^{\prime}$ there is a constant $C_{a x^{\prime}}$ such that
$$
\left|D_x^a D_{\xi}^{a^{\prime}} p(x, \xi)\right| \leqq C_{a x}(1+|\xi|)^{m-\left|a^{\prime}\right|}
$$
for all $x, \xi$. Let $S y m^m$ denote the space of these symbols.
Proposition 3.2. To each $p \in \mathrm{Sym}^m$ the formula (3.1) defines a linear operator $P: \mathscr{S} \rightarrow \mathscr{S}$. If $p$ has compact $x$-support, this operator has a continuous extension $P: L_{s+m}^2 \rightarrow L_s^2$ for all $s$.

数学代写|自旋几何代写spin geometry代考|Elliptic Operators and Parametrices

Recall that a differential operator $P: \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(F)$ over a compact manifold is called elliptic if its principal symbol $\sigma_{\xi}(P)$ is invertible at all nonzero cotangent vectors $\xi$. In this section we shall prove the fundamental result that modulo infinitely smoothing operators, an elliptic operator is invertible.

To this end we consider the “local” case of pseudodifferential operators on $\mathbb{R}^n$ which map $\mathbb{C}^k$-valued functions to themselves.

DEFINITION 4.1 An operator $P \in \Psi D O_m$ with symbol $p$ is said to be elliptic if there exists a constant $c>0$ such that for all $|\xi| \geqq c$ the matrix inverse of $p(x, \xi)$ exists and satisfies
$$
\left|p(x, \xi)^{-1}\right| \leqq c(1+|\xi|)^{-m} .
$$
For example, an operator $P$ whose symbol is of the form $p(|\xi|) I \mathrm{~d}$, where $p(t)$ is a polynomial with constant positive coefficients, is elliptic.

REMARK 4.2. It is straightforward to verify that if $P: \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(F)$ is an elliptic differential operator, then the local representations of $P$ in a good presentation of $E$ and $F$ are elliptic in the sense of 4.1.

Theorem 4.3. Let $P \in \Psi D O_m$ be elliptic. Then there exists an operator $Q \in \Psi D O_{-m}$, unique up to equivalence, such that
$$
P Q=\mathrm{Id}-S^{\prime} \text { and } Q P=\mathrm{Id}-S
$$
where $S$ and $S^{\prime}$ are infinitely smoothing operators.
Proof. Let $p$ be the symbol of $P$ and let $c$ be the constant in Definition 4.1. Set $q_0(x, \xi)=\chi(|\xi|) p(x, \xi)^{-1}$ where $\chi: \mathbb{R}^{+} \rightarrow[0,1]$ is a smooth function with $\chi(t)=0$ for $t \leq c$ and $\chi(t)=1$ for $t \geqq 2 c$.

数学代写|自旋几何代写spin geometry代考|MATH6209

数学代写|自旋几何代写spin geometry代考|Pseudodifierential Operators

伪微分算子的概念源于以下观察。让 $P=\sum A^a(x) D^\alpha$ 是微分算子 $\mathbb{R}^n$ 作用于函数 $u$ 比如说,紧凑的支 持。通过傅立叶反演 $(2.3)$ 任何此类 $u$ 可以写成
$$
u(x)=(2 \pi)^{-\pi / 2} \int e^{i(x, \xi\rangle} \hat{u}(\xi) d \xi .
$$
正在申请 $P$ 我们发现
$$
P u(x)=(2 \pi)^{-\pi / 2} \int e^{i\langle x, \xi\rangle} p(x, \xi) \hat{\imath}(\xi) d \xi
$$
在哪里
$$
p(x, \xi) \equiv \sum_{|a| \leqq m} A^a(x) \xi^{q a}
$$
是的 (总) 符号 $\boldsymbol{P}$. 更换 $p$ 通过更一般的函数 $x$ 和 $\xi$ 定义一个伪微分算子。注意在 (3.2) 中的顺序 $P$ 对应于 $p$ 作为多项式 $\xi$. 在一般情况下,必须小心增长 $\xi$-多变的。
定义 3.1。使固定 $m \in \mathbb{R}$. 平滑 (矩阵值) 函数 $p(x, \xi)$ 上 $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$ 据说是秩序的象征 $m$ 如果对于每个 $\alpha, \alpha^{\prime}$ 有一个常数 $C_{a x^{\prime} \text { 这样 }}$
$$
\left|D_x^a D_{\xi}^{a^{\prime}} p(x, \xi)\right| \leqq C_{a x}(1+|\xi|)^{m-\left|a^{\prime}\right|}
$$
对所有人 $x, \xi$. 让 Sym ${ }^m$ 表示这些符号的空间。
提案 3.2。每个 $p \in \operatorname{Sym}^m$ 公式 $(3.1)$ 定义了一个线性算子 $P: \mathscr{S} \rightarrow \mathscr{S}$. 如果 $p$ 有紧凑的 $x$-支持,此运 营商有一个连续的扩展 $P: L_{s+m}^2 \rightarrow L_s^2$ 对所有人 $s$.

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回想一下微分算子 $P: \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(F)$ 紧流形上的主符号称为椭圆流形 $\sigma_{\xi}(P)$ 在所有非零余切向量处可 逆 $\xi$. 本节将证明模无限平滑算子椭圆算子可逆的基本结果。
为此,我们考虑伪微分算子的“局部“情况 $\mathbb{R}^n$ 哪个地图 $\mathbb{C}^k$-对自己有价值的功能。
定义 $4.1$ 运营商 $P \in \Psi D O_m$ 带符号 $p$ 如果存在常数,则称为椭圆 $c>0$ 这样对于所有人 $|\xi| \geqq c$ 的矩阵逆 $p(x, \xi)$ 存在并满足
$$
\left|p(x, \xi)^{-1}\right| \leqq c(1+|\xi|)^{-m}
$$
例如,一个操作员 $P$ 其符号的形式 $p(|\xi|) I \mathrm{~d}$ , 在哪里 $p(t)$ 是具有常数正系数的多项式,是椭圆的。
备注 4.2。很容易验证如果 $P: \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(F)$ 是椭圆微分算子,则局部表示 $P$ 在一个很好的介绍 $E$ 和 $F$ 在 $4.1$ 的意义上是椭圆的。
定理 4.3。让 $P \in \Psi D O_m$ 是椭圆形的。那么存在一个运算符 $Q \in \Psi D O_{-m}$ ,直到等价为止是唯一的, 这样
$$
P Q=\mathrm{Id}-S^{\prime} \text { and } Q P=\mathrm{Id}-S
$$
在哪里 $S$ 和 $S^{\prime}$ 是无限平滑算子。
证明。让 $p$ 成为的象征 $P$ 然后让 $c$ 是定义 $4.1$ 中的常数。放 $q_0(x, \xi)=\chi(|\xi|) p(x, \xi)^{-1}$ 在哪里 $\chi: \mathbb{R}^{+} \rightarrow[0,1]$ 是一个光滑的函数 $\chi(t)=0$ 为了 $t \leq c$ 和 $\chi(t)=1$ 为了 $t \geqq 2 c$.

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