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数学代写|自旋几何代写spin geometry代考|Difierential Operators
This section presents the basic notion of a linear elliptic differential operator over a manifold $X$. We begin by fixing notation. For an $n$-tuple of nonnegative integers $\alpha=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)$, we set $|\alpha|=\sum_k \alpha_k$, and for each $\xi \in \mathbb{R}^n$ we set $\xi^\alpha=\xi_1^{\alpha_1} \xi_2^{\alpha_2} \cdots \xi_n^{\alpha_n}$. In local coordinates $\left(x_1, \ldots, x_n\right)$ on $X$ we define the differentiation operators $D^\alpha$ by $i^{|\alpha|} D^\alpha \equiv \partial^{|\alpha|} \cdot / \partial x^\alpha \equiv \partial^{|\alpha|} / \partial x_1^{a_1} \partial x_2^{\alpha_2} \cdots \partial x_n^{\alpha_n}$. Recall that for a smooth vector bundle $E$ on $X$, the symbol $\Gamma(E)$ denotes the space of smooth (i.e., $C^{\infty}$ ) cross-sections of $E$.
Definirion 1.1. A differential operator of order $m$ on $X$ is a linear map $P: \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(F)$, where $E$ and $F$ are smooth complex vector bundles over $X$, with the following property. Each point of $X$ has a neighborhood $U$ with local coordinates $\left(x_1, \ldots, x_n\right)$ and local trivializations: $\left.E\right|U \stackrel{\approx}{\rightarrow} U \times \mathbb{C}^D$ and $\left.F\right|_U \stackrel{\approx}{\rightarrow} U \times \mathbb{C}^q$, in which $P$ can be written in the form: $$ P=\sum{|\alpha| \leqq m} A^\alpha(x) \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x^\alpha}
$$
where each $A^\alpha(x)$ is a $q \times p$-matrix of smooth complex-valued functions and where $A^\alpha \neq 0$ for some $\alpha$ with $|\alpha|=m$.
A real differential operator of order $\boldsymbol{m}$ is defined similarly with $\mathbb{C}$ replaced by $\mathbb{R}$.
Observe that if we make a change of the local trivializations of $\left.E\right|U$ and $\left.F\right|_U$ by smooth maps $g_E: U \rightarrow G L_p(\mathbb{C})$ and $g_F: U \rightarrow G L_q(\mathbb{C})$ respectively, then in these new trivializations $P$ has the form $$ \begin{aligned} P &=g_F\left(\sum{|\alpha| \leq m} A^\alpha \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x^\alpha}\right) g_E^{-1} \
&=\sum_{|\alpha| \leq m} A^\alpha \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x^\alpha}
\end{aligned}
$$
where the $A_{\sim}^\alpha$ ‘s are again $p \times q$-matrices of smooth functions of $x$ and where
$$
A^\alpha=g_F A^\alpha g_E^{-1} \quad \text { for }|\alpha|=m .
$$
数学代写|自旋几何代写spin geometry代考|Sobolev Spaces and Sobolev Theorems
Let $E$ be a hermitian vector bundle with connection $\nabla$ on a compact riemannian manifold $X$. Given $u \in \Gamma(E)$ we have $\nabla u \in \Gamma\left(T^* X \otimes E\right.$ ), and using the tensor product connection on $T^* X \otimes E$, we have $\nabla \nabla u \in$ $\Gamma\left(T^* X \otimes T^* X \otimes E\right)$. This process continues, and for any $k$ we can define the norm
$$
|u|_k^2 \equiv \sum_{j=0}^k \int_x \underbrace{|\nabla \nabla \cdots \nabla|^2,}_{j \text { times }}
$$
called the basic Sobolev $\boldsymbol{k}$-norm on $\Gamma(E)$. An easy exercise shows the equivalence class of this norm to be independent of the choice of metrics and connection. The completion of $\Gamma(E)$ in this norm is the Sobolev space $L_k^2(E)$. It is straightforward to verify the following:
Proposition 2.1. A differential operator $P: \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(F)$ of order $m$ extends to a bounded linear map $P: L_k^2(E) \rightarrow L_{k-m}^2(F)$ for all $k \geqq m$.
Ultimately we shall see that if $P$ is elliptic then these extensions have finite dimensional kernel and “cokernel” which consist of smooth sections and are independent of $k$.
Our aim at present is to establish some analytical tools. This is best done using Fourier transform methods. To this end we select a good system of trivializations of our bundle $E$. To start we choose a finite covering of $X$ by closed coordinate balls $y_\beta: U_\beta \rightarrow \bar{B}^n=\left{y \in \mathbb{R}^n:|y| \leqq 1\right}, \beta=$ $1, \ldots, N$. Over each ball $U_\beta$, we choose a smooth trivialization of $E$
$$
\left.E\right|{U\beta} \stackrel{\because}{\longrightarrow} U_\beta \times \mathbb{C}^p
$$
which possesses a smooth extension to an open neighborhood of $U_a$. We further assume that the open balls of radius $1 / \sqrt{2}$ cover $X$, i.e., $X=$ $\bigcup_{\alpha=1}^N B_\theta$ where $\boldsymbol{B}\theta \equiv\left{p \in U\beta:\left|y_\theta(p)\right|^2<\frac{1}{2}\right}$.
数学代写|自旋几何代写spin geometry代考|Difierential Operators
本节介绍流形上线性椭園微分算子的基本概念 $X$. 我们从固定符号开始。为 $n$ – 非负整数元组 $\alpha=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)$ ，我们设置 $|\alpha|=\sum_k \alpha_k$ ，并且对于每个 $\xi \in \mathbb{R}^n$ 我们设置 $\xi^\alpha=\xi_1^{\alpha_1} \xi_2^{\alpha_2} \cdots \xi_n^{\alpha_n}$. 在 当地坐标 $\left(x_1, \ldots, x_n\right)$ 上 $X$ 我们定义微分算子 $D^\alpha$ 经过 $i^{|\alpha|} D^\alpha \equiv \partial^{|\alpha|} \cdot / \partial x^\alpha \equiv \partial^{|\alpha|} / \partial x_1^{a_1} \partial x_2^{\alpha_2} \cdots \partial x_n^{\alpha_n}$. 回想一下，对于平滑向量束 $E$ 上 $X$ ，符号 $\Gamma(E)$ 表示 光滑的空间 (即， $C^{\infty}$ ) 横截面 $E$.
定义 1.1。阶微分算子 $m$ 上 $X$ 是线性映射 $P: \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(F)$ ，在哪里 $E$ 和 $F$ 是光滑的复矢量丛 $X$, 具有 以下属性。每个点的 $X$ 有一个邻居 $U$ 与当地坐标 $\left(x_1, \ldots, x_n\right)$ 和局部琐碎化: $E \mid U \stackrel{\approx}{\rightarrow} U \times \mathbb{C}^D$ 和 $\left.F\right|U \stackrel{\approx}{\rightarrow} U \times \mathbb{C}^q$ ，其中 $P$ 可以写成如下形式: $$ P=\sum|\alpha| \leqq m A^\alpha(x) \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x^\alpha} $$ 每个 $A^\alpha(x)$ 是一个 $q \times p$-平滑复值函数的矩阵，其中 $A^\alpha \neq 0$ 对于一些 $\alpha$ 和 $|\alpha|=m$. 一个真正的阶微分算子 $m$ 与定义类似 $\mathbb{C}$ 取而代之 $\mathbb{R}$. 观察到如果我们改变局部平凡化 $E \mid U$ 和 $\left.F\right|_U$ 通过光滑的地图 $g_E: U \rightarrow G L_p(\mathbb{C})$ 和 $g_F: U \rightarrow G L_q(\mathbb{C})$ 分别，然后在这些新的平凡化 $P$ 有形式 $$ P=g_F\left(\sum|\alpha| \leq m A^\alpha \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x^\alpha}\right) g_E^{-1}=\sum{|\alpha| \leq m} A^\alpha \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x^\alpha}
$$
在哪里 $A^\alpha$ 又来了 $p \times q$ – 的平滑函数矩阵 $x$ 在哪里
$$
A^\alpha=g_F A^\alpha g_E^{-1} \quad \text { for }|\alpha|=m
$$
数学代写|自旋几何代写spin geometry代考|Sobolev Spaces and Sobolev Theorems
让 $E$ 是一个有联系的厄尔米特向量丛 $\nabla$ 在紧黎曼流形上 $X$. 鉴于 $u \in \Gamma(E)$ 我们有 $\nabla u \in \Gamma\left(T^* X \otimes E\right)$ ， 并使用张量积连接 $T^* X \otimes E ＼mathrm{~ ， 我 们 有 ~} \nabla \nabla u \in \Gamma\left(T^* X \otimes T^* X \otimes E\right)$. 这个过程继续下去，并且对于 任何 $k$ 我们可以定义规范
$$
|u|k^2 \equiv \sum{j=0}^k \int_x \underbrace{|\nabla \nabla \cdots \nabla|^2}{j \text { times }}, $$ 称为基本的 Sobolev $\boldsymbol{k}$-规范 $\Gamma(E)$. 一个简单的练习表明这个范数的等价类独立于度量和连接的选择。的 完成 $\Gamma(E)$ 在这个范数中是 Sobolev 空间 $L_k^2(E)$. 验证以下内容很简单: 提案 2.1。微分算子 $P: \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(F)$ 秩序 $m$ 扩展到有界线性映射 $P: L_k^2(E) \rightarrow L{k-m}^2(F)$ 对所有人 $k \geqq m$.
最終我们将看到，如果 $P$ 是椭圆的，那么这些扩展具有有限维内核和由光滑部分组成的”cokernel”，并且 与 $k$.
我们目前的目标是建立一些分析工具。这最好使用傅立叶变换方法来完成。为此，我们选择了一个很好 的 bundle 平凡化系统 $E$. 首先我们选择一个有限的覆盖 $X$ 通过封闭坐标球 上 $U_\beta ，$ 我们选择一个平滑的平凡化 $E$
$$
E \mid U \beta \stackrel{\because}{\longrightarrow} U_\beta \times \mathbb{C}^p
$$
它拥有一个平滑的扩展到一个开放的邻域 $U_a$. 我们进一步假设半径为 $1 / \sqrt{2}$ 覆盖 $X$ ，那是， $X=$
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