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数学代写|霍普夫代数代写Hopf algebra代考|Hopf algebras

Let $(C, \Delta, \varepsilon)$ be a coalgebra, and $(A, M, u)$ an algebra. We define on the set $\operatorname{Hom}(C, A)$ an algebra structure in which the multiplication, denoted by $*$ is given as follows: if $f, g \in \operatorname{Hom}(C, A)$, then
$$
(f * g)(c)=\sum f\left(c_1\right) g\left(c_2\right)
$$
for any $c \in C$. The multiplication defined above is associative, since for $f, g, h \in \operatorname{Hom}(C, A)$ and $c \in C$ we have
$$
\begin{aligned}
((f * g) * h)(c) &=\sum(f * \cdot g)\left(c_1\right) h\left(c_2\right) \
&=\sum f\left(c_1\right) g\left(c_2\right) h\left(c_3\right) \
&=\sum f\left(c_1\right)(g * h)\left(c_2\right) \
&=(f *(g * h))(c)
\end{aligned}
$$
The identity element of the algebra $\operatorname{Hom}(C, A)$ is $u \varepsilon \in \operatorname{Hom}(C, A)$, since
$$
(f *(u \varepsilon))(c)=\sum f\left(c_1\right)(u \varepsilon)\left(c_2\right)=\sum f\left(c_1\right) \varepsilon\left(c_2\right) 1=f(c)
$$
hence $f *(u \varepsilon)=f$. Similarly, $(u \varepsilon) * f=f$.
Let us note that if $A=k$, then $*$ is the convolution product defined on the dual algebra of the coalgebra $C$. This is why in the case $A$ is an arbitrary algebra we will also call * the convolution product.

Let us consider a special case of the above construction. Let $H$ be a bialgebra. We denote by $H^c$ the underlying coalgebra. $H$, and by $H^a$ the underlying algebra of $H$. Then we can define as above an algebra structure on $\operatorname{Hom}\left(H^c, H^a\right)$, in which the multiplication is defined by $(f * g)(h)=$ $\sum f\left(h_1\right) g\left(h_2\right)$ for any $f, g \in H o m\left(H^c, H^a\right)$ and $h \in H$, and the identity element is $u \varepsilon$. We remark that the identity map $I: H \rightarrow H$ is an element of $\operatorname{Hom}\left(H^c, H^a\right)$

数学代写|霍普夫代数代写Hopf algebra代考|Examples of Hopf algebras

In this section we give some relevant examples of Hopf algebras.
1) The group algebra. Let $G$ be a (multiplicative) group, and $k G$ the associated group algebra. This is a $k$-vector space with basis ${g \mid g \in G}$, so its elements are of the form $\sum_{g \in G} \alpha_g g$ with $\left(\alpha_g\right)_{g \in G}$ a family of elements from $k$ having only a finite number of non-zero elements. The multiplication is defined by the relation
$$
(\alpha g)(\beta h)=(\alpha \beta)(g h)
$$
for any $\alpha, \beta \in k, g, h \in G$, and extended by linearity.
On the group algebra $k G$ we also have a coalgebra structure as in Example 1.1.4 1), in which $\Delta(g)=g \otimes g$ and $\varepsilon(g)=1$ for any $g \in G$. We already know that the group algebra becomes in this way a bialgebra. We note that until now we only used the fact that $G$ is a monoid. The existence of the antipode is directly related to the fact that the elements of $G$ are invertible.

Indeed, the map $S: k G \rightarrow k G$, defined by $S(g)=g^{-1}$ for any $g \in G$, and then extended linearly, is an antipode of the bialgebra $k G$, since
$$
\sum S\left(g_1\right) g_2=S(g) g=g^{-1} g=1=\varepsilon(g) 1
$$
and similarly, $\sum g_1 S\left(g_2\right)=\varepsilon(g) 1$ for any $g \in G$.
It is clear that if $G$ is a monoid which is not a group, then the bialgebra $k G$ is not a Hopf algebra.
If $G$ is a finite group, then Proposition 4.2.11 shows that on $(k G)^$ we also have a Hopf algebra structure, which is dual to the one on $k G$. We recall that the algebra $(k G)^$ has a complete system of orthogonal idempotents $\left(p_g\right){g \in G}$, where $p_g \in(k G)^$ is defined by $p_g(h)=\delta{g, h}$ for any $g, h \in G$. Therefore,
$$
p_g^2=p_g, p_g p_h=0 \text { for } g \neq h, \sum_{g \in G} p_g=1_{(k G)^}
$$
The coalgebra structure of $(k G)^$ can be described using Remark 1.3.10, and is given by $$ \Delta\left(p_g\right)=\sum_{x \in G} p_x \otimes p_{x^{-1} g}, \varepsilon\left(p_g\right)=\delta_{1, g} $$ The antipode of $(k G)^$ is defined by $S\left(p_g\right)=p_{g^{-1}}$ for any $g \in G$.

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霍普夫代数代考

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让 $(C, \Delta, \varepsilon)$ 是一个余代数,并且 $(A, M, u)$ 一个代数。我们在集合上定义Hom $(C, A)$ 一个代数结构, 其中乘法表示为 $*$ 给出如下: 如果 $f, g \in \operatorname{Hom}(C, A)$ ,然后
$$
(f * g)(c)=\sum f\left(c_1\right) g\left(c_2\right)
$$
对于任何 $c \in C$. 上面定义的乘法是结合的,因为对于 $f, g, h \in \operatorname{Hom}(C, A)$ 和 $c \in C$ 我们有
$$
((f * g) * h)(c)=\sum(f * \cdot g)\left(c_1\right) h\left(c_2\right)=\sum f\left(c_1\right) g\left(c_2\right) h\left(c_3\right)=\sum f\left(c_1\right)(g * h)\left(c_2\right)
$$
$$
(f *(u \varepsilon))(c)=\sum f\left(c_1\right)(u \varepsilon)\left(c_2\right)=\sum f\left(c_1\right) \varepsilon\left(c_2\right) 1=f(c)
$$
因此 $f *(u \varepsilon)=f$. 相似地, $(u \varepsilon) * f=f$.
让我们注意到,如果 $A=k$ ,然后是在余代数的对偶代数上定义的卷积积 $C$. 这就是为什么在这种情况 下 $A$ 是一个任意代数,我们也称 $$ 卷积积。
让我们考虑上述结构的一个特例。让 $H$ 是一个双代数。我们用 $H^c$ 底层的余代数。 $H$, 通过 $H^a$ 的基础代 数 $H$. 然后我们可以像上面那样定义一个代数结构 $\operatorname{Hom}\left(H^c, H^a\right)$ ,其中乘法定义为 $(f * g)(h)=$ $\sum f\left(h_1\right) g\left(h_2\right)$ 对于任何 $f, g \in H o m\left(H^c, H^a\right)$ 和 $h \in H$ ,身份元素是 $u \varepsilon$. 我们注意到恒等映射 $I: H \rightarrow H$ 是一个元素 $\operatorname{Hom}\left(H^c, H^a\right)$

数学代写|霍普夫代数代写Hopf algebra代考|Examples of Hopf algebras

在本节中,我们给出一些 Hopf 代数的相关例子。
1) 群代数。让 $G$ 是一个 (乘法) 群,并且 $k G$ 相关的群代数。这是一个 $k$-有基础的向量空间 $g \mid g \in G$ , 所以它的元素是这样的形式 $\sum_{g \in G} \alpha_g g$ 和 $\left(\alpha_g\right){g \in G}$ 一系列元素来自 $k$ 只有有限数量的非零元素。乘法由关 系定义 $$ (\alpha g)(\beta h)=(\alpha \beta)(g h) $$ 对于任何 $\alpha, \beta \in k, g, h \in G{} \text { ,并通过线性扩展。 }$
关于群代数 $k G$ 我们还有一个如例 1.1.4 1) 中的余代数结构,其中 $\Delta(g)=g \otimes g$ 和 $\varepsilon(g)=1$ 对于任何 $g \in G$. 我们已经知道群代数以这种方式变成双代数。我们注意到,直到现在我们只使用了这样一个事实 $G$ 是一个么半群。对映体的存在与以下元素直接相关 $G$ 是可逆的。
确实,地图 $S: k G \rightarrow k G$ ,被定义为 $S(g)=g^{-1}$ 对于任何 $g \in G$ ,然后线性扩展,是双代数的对映体 $k G$ ,自从
$$
\sum S\left(g_1\right) g_2=S(g) g=g^{-1} g=1=\varepsilon(g) 1
$$
同样, $\sum g_1 S\left(g_2\right)=\varepsilon(g) 1$ 对于任何 $g \in G$.
很明显,如果 $G$ 是一个不是群的么半群,那么双代数 $k G$ 不是 Hopf 代数。 于任何 $g, h \in G$. 所以,
$$
p_{-} g^{\wedge} 2=p_{-} g, p_{-} g p_{-} h=0 \backslash t \text { text }{\text { for }} g \backslash \text { neq h, } \backslash \text { sum__g }{\text { in } G} p_{-} g=1_{-}\left{(k G)^{\wedge}\right}
$$
的余代数结构 $\left[(k \mathrm{G})^{\wedge}\right.$ 可以使用备注 $1.3 .10$ 进行描述,并由下式给出
$$
\Delta\left(p_g\right)=\sum_{x \in G} p_x \otimes p_{x^{-1} g}, \varepsilon\left(p_g\right)=\delta_{1, g}
$$
的对立面 $(\mathrm{kG})^{\wedge}$ 由定义 $S\left(p_g\right)=p_{g^{-1}}$ 对于任何 $g \in G$.

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