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数学代写|霍普夫代数代写Hopf algebra代考|Solutions to exercises
Exercise 4.1.9 Let $k$ be a field and $n \geq 2$ a positive integer. Show that there is no bialgebra structure on $M_n(k)$ such that the underlying algebra structure is the matrix algebra.
Solution: The argument is similar to the one that was used in Example 1.4.17. Suppose there is a bialgebra structure on $M_n(k)$, then the counit $\varepsilon: M_n(k) \rightarrow k$ is an algebra morphism. Then the kernel of $\varepsilon$ is a two-sided ideal of $M_n(k)$, so it is either 0 or the whole of $M_n(k)$. Since $\varepsilon(1)=1$, we have $\operatorname{Ker}(\varepsilon)=0$ and we obtain a contradiction since $\operatorname{dim}\left(M_n(k)\right)>$ $\operatorname{dim}(k)$
Exercise 4.2.16 Let $H$ be a finite dimensional Hopf algebra over a field $k$ of characteristic zero. Show that if $x \in H$ is a primitive element, i.e. $\Delta(x)=x \otimes 1+1 \otimes x$, then $x=0$.
Solution: If there were a non-zero primitive element $x$, we prove by induction that the $1, x, \ldots, x^n$ are linearly independent for any positive integer $n$, and this will provide a contradiction, due to the finite dimension of $H$. The claim is clear for $n=1$, since $a 1+b x=0$ implies by applying $\varepsilon$ that $a=0$, and then, since $x \neq 0$, that $b=0$. Assume the assertion true for $n-1$ (where $n \geq 2$ ), and let $\sum_{p=0, n} a_p x^p=0$ for some scalars $a_0, \ldots, a_p$. Then by applying $\Delta$ we find that
$$
\sum_{p=0, n} \sum_{i=0, p} a_p\left(\begin{array}{c}
p \
i
\end{array}\right) x^i \otimes x^{p-i}=0
$$
Choose some $1 \leq i, j \leq n-1$ such that $i+j=n$, and let $h_i^, h_j^ \in H^$ such that $h_i^\left(x^t\right)=\delta_{i, t}$ for any $0 \leq t \leq n-1$ and $h_j^\left(x^t\right)=\delta_{j, t}$ for any $0 \leq t \leq n-1$ (this is possible since $1, x, \ldots, x^{n-1}$ are linearly independent). Then by applying $h_i^ \otimes h_j^*$ to the above relation we obtain that $a_n\left(\begin{array}{l}n \ i\end{array}\right)=0$, and since $k$ has characteristic zero we have $a_n=0$. Then again by the induction hypothesis we must have $a_0, \ldots, a_{n-1}=0$.
数学代写|霍普夫代数代写Hopf algebra代考|The definition of integrals for a bialgebra
Let. $H$ be a bialgebra. Then $H^$ has an algebra structure which is dual to the coalgebra structure on $H$. The multiplication is given by the convolution product. To simplify notation, if $h^, g^* \in H^$ we will denote the product of $h^$ and $g^$ in $H^$ by $h^* g^$ instead of $h^ * g^*$.
Definition 5.1.1 A map $T \in H^$ is called a left integral of the bialgebra $H$ if $h^ T=h^(1) T$ for any $h^ \in H^*$. The set of left integrals of $H$ is denoted by $\int_l$. Left integrals of $H^{\text {cop }}$ are called right integrals for $H$, and their set is denoted by $\int_r$.
Remark 5.1.2 It is clear that $T \in H^*$ is a left integral if and only if $\sum T\left(x_2\right) x_1=T(x) 1 \forall x \in H$, and it is a right integral if and only if $\sum T\left(x_1\right) x_2=T(x) 1 \forall x \in H$
We discuss briefly the name given to the above notion. Let $G$ be a compact group. A Haar integral on $G$ is a linear functional $\lambda$ on the space of continuous functions from $G$ to $\mathbf{R}$, which is translation invariant, i.e.
$$
\lambda(x f)=\lambda(f)
$$
for any continuous $f: G \rightarrow \mathbf{R}$, and any $x \in G$. Then the restriction of $\lambda$ to the Hopf algebra $\tilde{R}{\mathbf{R}}(G)$ of continuous representative functions on $G$ is an integral in the sense of the above definition. Indeed, $$ \begin{aligned} \lambda(x f) &=\lambda(f), \quad \forall f \in \tilde{R}{\mathbf{R}}(G), x \in G \Leftrightarrow \
\lambda\left(\sum f_2(x) f_1\right) &=\lambda(f) 1, \quad \forall f \in \tilde{R}_{\mathbf{R}}(G), x \in G \Leftrightarrow
\end{aligned}
$$ $$
\begin{aligned}
\sum \lambda\left(f_1\right) f_2(x) &=\lambda(f) \mathbf{1}(x), \forall f \in \tilde{R}{\mathbf{R}}(G), x \in G \Leftrightarrow \ \sum \lambda\left(f_1\right) f_2 &=\lambda(f) \mathbf{1}, \forall f \in \tilde{R}{\mathbf{R}}(G) \Leftrightarrow \
\sum \lambda\left(f_1\right) \mu\left(f_2\right) &=\lambda(f) \mu(\mathbf{1}), \forall f \in \tilde{R}{\mathbf{R}}(G), \mu \in \tilde{R}{\mathbf{R}}(G)^* \Leftrightarrow \
(\lambda \mu)(f) &=(\mu(\mathbf{1}) \lambda)(f), \forall f \in \tilde{R}{\mathbf{R}}(G), \mu \in \tilde{R}{\mathbf{R}}(G)^* \Leftrightarrow \
\lambda \mu &=\mu(\mathbf{1}) \lambda, \forall \mu \in \tilde{R}_{\mathbf{R}}(G)^*
\end{aligned}
$$
and this explains the use of the name “integral” for bialgebras.
霍普夫代数代考
数学代写|霍普夫代数代写Hopf algebra代考|Solutions to exercises
练习 4.1.9 让 $k$ 是一个领域和 $n \geq 2$ 一个正整数。证明上不存在双代数结构 $M_n(k)$ 这样底层代数结构就是 矩阵代数。
解决方案：该参数类似于示例 $1.4 .17$ 中使用的参数。假设有一个双代数结构 $M_n(k)$, 然后是 counit $\varepsilon: M_n(k) \rightarrow k$ 是代数态射。然后是内核 $\varepsilon$ 是一个双面的理想 $M_n(k)$ ，所以它要么是 0，要么是 $M_n(k)$. 自从 $\varepsilon(1)=1$ ，我们有 $\operatorname{Ker}(\varepsilon)=0$ 我们得到一个矛盾，因为 $\operatorname{dim}\left(M_n(k)\right)>\operatorname{dim}(k)$
练习 4.2.16 让 $H$ 是域上的有限维 Hopf 代数 $k$ 的特征雴。证明如果 $x \in H$ 是一个原始元素，即 $\Delta(x)=x \otimes 1+1 \otimes x ，$ 然后 $x=0$.
解决方案: 如果存在非零原始元素 $x$ ，我们通过归纳证明 $1, x, \ldots, x^n$ 对于任何正整数都是线性独立的 $n$ ，这会产生矛盾，因为维数有限 $H$. 索赔是明确的 $n=1$ ，自从 $a 1+b x=0$ 意味着通过应用 $\varepsilon$ 那 $a=0$
，然后，因为 $x \neq 0$ ，那 $b=0$. 假设断言为真 $n-1$ （在哪里 $n \geq 2$ )，然后让 $\sum_{p=0, n} a_p x^p=0$ 对于
一些标量 $a_0, \ldots, a_p$. 然后通过应用 $\Delta$ 我们发现
$$
\sum_{p=0, n} \sum_{i=0, p} a_p(p i) x^i \otimes x^{p-i}=0
$$
选择一些 $1 \leq i, j \leq n-1$ 这样 $i+j=n$ ，然后让 $\mathrm{h}{-} \mathrm{i}^{\wedge}, \mathrm{h} \mathrm{j}^{\wedge} \backslash$ in $^{\wedge} \mathrm{H}^{\wedge}$ 这样 $h_i^{\left(x^t\right)}=\delta{i, t}$ 对于任何 $0 \leq t \leq n-1$ 和 $h_j^{\left(x^t\right)}=\delta_{j, t}$ 对于任何 $0 \leq t \leq n-1$ (这是可能的，因为 $1, x, \ldots, x^{n-1}$ 是线性独立 的)。然后通过应用 $h_i^{\otimes} h_j^*$ 根据上述关系，我们得到 $a_n(n i)=0$ ，并且因为 $k$ 有特征雴我们有 $a_n=0$. 然后再次通过归纳假设我们必须有 $a_0, \ldots, a_{n-1}=0$.
数学代写|霍普夫代数代写Hopf algebra代考|The definition of integrals for a bialgebra
让。 $H$ 是一个双代数。然后^具有与上的余代数结构对偶的代数结构 $H$. 乘积由卷积乘积给出。为了简
定义 5.1.1 地图れ】在 $\mathrm{H}^{\wedge}$ 称为双代数的左积分 $H$ 如果 $\left.h^T=h^{(} 1\right) T$ 对于任何 $h^{\in} H^$. 的左积分集 $H$ 表示为 $\int_l$ . 的左积分 $H^{\mathrm{cop}}$ 被称为右积分 $H$ ，他们的集合表示为 $\int_r$. 备注 $5.1 .2$ 显然 $T \in H^$ 是左积分当且仅当 $\sum T\left(x_2\right) x_1=T(x) 1 \forall x \in H$ ，它是一个右积分当且仅当 $\sum T\left(x_1\right) x_2=T(x) 1 \forall x \in H$
我们简要讨论赋予上述概念的名称。让 $G$ 成为一个紧凑的群体。上的哈尔积分 $G$ 是线性泛函 $\lambda$ 在连续函 数的空间上 $G$ 至 $\mathbf{R}$ ，这是平移不变的，即
$$
\lambda(x f)=\lambda(f)
$$
对于任何连续的 $f: G \rightarrow \mathbf{R}$, 和任何 $x \in G$. 然后限制 $\lambda$ 到 $\operatorname{Hopf}$ 代数 $\tilde{R} \mathbf{R}(G)$ 的连续代表功能 $G$ 是上述定 义意义上的积分。的确，
$$
\begin{aligned}
&\lambda(x f)=\lambda(f), \quad \forall f \in \tilde{R} \mathbf{R}(G), x \in G \Leftrightarrow \lambda\left(\sum f_2(x) f_1\right) \quad=\lambda(f) 1, \quad \forall f \in \tilde{R}_{\mathbf{R}}(G), x \in G \Leftrightarrow \
&\sum \lambda\left(f_1\right) f_2(x)=\lambda(f) \mathbf{1}(x), \forall f \in \tilde{R} \mathbf{R}(G), x \in G \Leftrightarrow \sum \lambda\left(f_1\right) f_2 \quad=\lambda(f) \mathbf{1}, \forall f \in \tilde{R} \mathbf{R}(G) \Leftrightarrow
\end{aligned}
$$
这解释了双代数使用名称 “积分”的原因。
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