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数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Complex Data
Consideration of complex data is beyond the scope of this book but, in principle, if we were to perform a real Fourier series decomposition of complex data then we would obtain separate real Fourier series for the real and imaginary parts. We could then combine these two series term-wise according to frequency into a single series having real and imaginary parts for each frequency term.
Also, if we were to perform a complex Fourier series decomposition of complex data then we would obtain separate series of complex exponential terms for the real and imaginary parts. We could then combine these two series term-wise according to frequency into a single series having real and imaginary parts for each frequency term.
In terms of the symmetries of positive and negative frequency components, for complex data the situation is similar to that for real data but more complicated as we also have to consider the conjugate-symmetries of the imaginary part. These can be considered as a mirror-image of the conjugatesymmetries for the real part. However, we would still be able (at least in principle) to obtain all the real sinusoidal coefficients from the complex coefficients and back-substitute from the series of complex exponentials to obtain real Fourier series for the real and imaginary parts.
数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Frequency Functions
If we wished, we could construct an explicit frequency function, $X(f)$, from the Fourier series coefficients for a time function, $x(t)$, and this would be a discrete frequency-domain representation of $x(t)$. We would then have a relationship between the time and frequency domains in the sense that we could completely represent any time function as a frequency function by making use of its harmonic composition.
Starting with the time function, i.e. real Fourier series as in Equations 3.5, we have
$$
x(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k \cos \left(2 \pi f_k t\right)+b_k \sin \left(2 \pi f_k t\right)\right)
$$
or, for complex Fourier series, Equation 3.20, we have
$$
x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{2 \pi i f_k t} .
$$
We know both the frequencies for $k=1,2,3, \ldots$ and the forms that the terms in the summation must take, which means that the frequency function can be simplified to the ordered (indexed) list of coefficients, i.e. $\left{\left(a_k, b_k\right)\right}$ or $\left{c_k\right}$ for real and complex Fourier series respectively. More completely, the frequency function is, in terms of the real Fourier series coefficients
$$
X(f)=\frac{a_0}{2}+\left{\left(a_k, b_k\right)\right}_{k=1}^{\infty}
$$
or, in terms of the complex Fourier series coefficients
$$
X(f)=\left{c_k\right}_{k=-\infty}^{\infty} .
$$
If we know all the coefficients then we can completely reconstruct the original function, $x(t)$, and so $X(f)$ is a frequency-domain representation of $x(t)$ according to the Fourier series formalisation.
Both forms in Equations $4.3$ and $4.4$ are discrete frequency functions because the finite duration of the time function, $T$, restricts the lowest nonzero frequency we can resolve to $f_1=1 / T$ and higher frequencies are restricted to integer multiples (harmonics) of this fundamental frequency because of the orthogonality conditions (Equations 3.4).
We will start from here in our derivation of the discrete Fourier transform (DFT) but, first, we will briefly consider the (analytical or continuous-time) Fourier transform to highlight some important general features of Fourier spectra.
数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Complex Data
复数数据的考虑超出了本书的范围，但原则上，如果我们对复数数据进行实数傅里叶级数分解，那么我们将分别获得实部和虚部的实数傅里叶级数。然后，我们可以根据频率将这两个系列逐项组合成一个系列，每个系列都具有每个频率项的实部和虚部。
此外，如果我们要对复数数据执行复数傅里叶级数分解，那么我们将获得实部和虚部的单独系列复指数项。然后，我们可以根据频率将这两个系列逐项组合成一个系列，每个系列都具有每个频率项的实部和虚部。
就正负频率分量的对称性而言，对于复数据，情况与实数据类似，但更复杂，因为我们还必须考虑虚部的共轭对称性。这些可以被认为是实部共轭对称的镜像。然而，我们仍然能够（至少在原则上）从复系数中获得所有实数正弦系数，并从复指数级数反向代入以获得实部和虚部的实数傅里叶级数。
数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Frequency Functions
如果我们愿意，我们可以构造一个明确的频率函数， $X(f)$ ，从时间函数的傅里叶级数系数， $x(t)$ ，这将 是一个离散的频域表示 $x(t)$. 然后我们将在时域和频域之间建立关系，因为我们可以通过利用其谐波成 分将任何时间函数完全表示为频率函数。
从时间函数开始，即等式 $3.5$ 中的实数傅里叶级数，我们有
$$
x(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k \cos \left(2 \pi f_k t\right)+b_k \sin \left(2 \pi f_k t\right)\right)
$$
或者，对于筫杂的傅里叶级数，公式 $3.20$ ，我们有
$$
x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{2 \pi i f_k t} .
$$
我们知道两个频率 $k=1,2,3, \ldots$ 以及求和中的项必须乎用的形式，这意味着频率函数可以简化为有序 叶级数。更完整地，频率函数是，根据实傅立叶级数系数
或者，根据筫数傅里叶级数系数
$$
X(f)=\backslash \text { left }{c / k \backslash \text { right }}_{-}{k=-\backslash i n f t y}^{\wedge}{\text { infty }} \text { 。 }
$$
如果我们知道所有的系数，那么我们就可以完全重建原始函数， $x(t)$ ，所以 $X(f)$ 是频域表示 $x(t)$ 根据 傅里叶级数形式化。
方程式中的两种形式 $4.3$ 和 $4.4$ 是离散频率函数，因为时间函数的持续时间有限， $T$ ，限制我们可以解决的 最低非雱频率 $f_1=1 / T$ 由于正交条件（公式 3.4），更高频率仅限于该基频的整数倍（谐波）。
我们将从这里开始推导蒠散傅里叶变换 (DFT)，但首先，我们将简要考虑 (分析或连续时间) 傅里叶变: 换，以突出傅里叶光谱的一些重要的一般特征。
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