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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|How to Determine the Equilibrium Conditions

As we have already known that finding thermodynamic equilibrium conditions requires finding the maximum of the entropy function or the minimum of the energy functions. Such a process involves a function of several variables which may be related to each other by one or more constraint equations. For simple systems, these mathematical operations are straight forward as we have demonstrated in the previous chapter. However, for non-uniform systems, the total entropy and the total energy of such a system often involves integration of local properties, and the mathematical analysis to find the maximum of the entropy function or the minimum of the energy functions is relatively complex. Therefore, we need to introduce a method of undetermined Lagrange multipliers.

For example, let us consider minimizing a function $\mathrm{z}=x^2+y^2$ where the variables $x$ and $y$ are subject to a constraint equation: $x y-1=0$. An intuitive approach may be to solve the constraint equation first to get:
$$
y=1 / x
$$
Then substituting $y$ with this equation into $\mathrm{z}=x^2+y^2$ yields:
$$
\mathrm{z}=x^2+1 / x^2 .
$$
Differentiating this equation and setting it to zero (i.e., condition required for minimum) gives:
$$
\frac{d z}{d x}=2 x-\frac{2}{x^3}=0
$$
Solving this equation, one can find the minimum positions are $(+1,+1)$ and $(-1$, $-1)$

However, the approach used in the above example may not be practical for some more complicated equations. A more general approach is the method of undetermined Lagrange multipliers, as outlined below.

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Introduction to Interfaces and Three-Phase Contact Lines

Up to now, all the thermodynamics theories we have discussed are the theories for simple three dimensional (3D) bulk phase systems. The size of such a system is measured by volume, and the mechanical work mode for these systems is $P d V$ type of work. One of the conditions for simple systems is that effects of the boundaries of the bulk phases on the equilibrium states are not considered. However, in a broad spectrum of applied science and engineering applications, the bulk phase boundaries, such as an interface between a liquid droplet and its vapor phase, play important roles in determination of the equilibrium states of the system. Examples where surface or interface effects are important include (bubble, droplet or ice) nucleation processes, bubble flotation processes used in mineral and oil processing, two-phase (liquid-gas or water-oil) transport phenomena in a porous medium, etc.

The boundaries between immiscible bulk phases include interfaces and threephase contact lines. An interface or a surface is the boundary between two immiscible bulk phases. A three-phase contact line is the mutual boundary of three immiscible bulk phases or three surfaces.

When do we have to consider the effects of these boundaries? Generally, when the dimension of the system is small enough and the energy associated with the surfaces and lines is comparable to the energy associated with the volume of the bulk phase, the effects of the surfaces and three-phase contact lines must be considered.

It should be realized that the systems with important surface or line effects are not the “simple” systems as we defined before. In this chapter, we will show how to apply the general thermodynamic theory we learned before to the two-dimensional (2D) surfaces and the one-dimensional (1D) lines. The objectives in this chapter are to learn.
(1) How to apply the thermodynamic theory to model systems involving surfaces and lines, and
(2) How these boundaries will affect the equilibrium conditions.

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热力学代考

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正如我们已经知道的那样,找到热力学平衡条件需要找到樀函数的最大值或能量函数的最小值。这样的 过程涉及几个变量的函数,这些变量可以通过一个或多个约束方程相互关联。对于简单的系统,这些数 学运算很简单,正如我们在前一章中所演示的那样。然而,对于非均匀系统,此类系统的总樀和总能量 往往涉及同部性质的积分,寻找樀函数的最大值或能量函数的最小值的数学分析相对复杂。因此,我们 需要引入一种待定拉格朗日乘子的方法。
例如,让我们考虑最小化一个函数 $\mathrm{z}=x^2+y^2$ 其中变量 $x$ 和 $y$ 受制于约束方程: $x y-1=0$. 一种直观 的方法可能是先求解约束方程得到:
$$
y=1 / x
$$
然后代入 $y$ 用这个方程变成 $z=x^2+y^2$ 产量:
$$
\mathrm{z}=x^2+1 / x^2
$$
对该等式求微分并将其设置为零(即,最小值所需的条件)给出:
$$
\frac{d z}{d x}=2 x-\frac{2}{x^3}=0
$$
求解这个方程,可以找到最小位置是 $(+1,+1)$ 和 $(-1,-1)$
但是,上述示例中使用的方法对于某些更复杂的方程可能并不实用。一种更通用的方法是末定拉格朗日 乘数法,如下所述。

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到目前为止,我们讨论的所有热力学理论都是针对简单三维 (3D) 体相系统的理论。这种系统的大小是用体积来衡量的,这些系统的机械工作模式是Pd在工作类型。简单系统的条件之一是不考虑体相边界对平衡状态的影响。然而,在广泛的应用科学和工程应用中,体相边界,例如液滴与其气相之间的界面,在确定系统平衡状态方面起着重要作用。表面或界面效应很重要的示例包括(气泡、液滴或冰)成核过程、矿物和石油加工中使用的气泡浮选过程、多孔介质中的两相(液-气或水-油)传输现象等。

不混溶体相之间的边界包括界面和三相接触线。界面或表面是两个不混溶的体相之间的边界。三相接触线是三个不混溶的体相或三个表面的相互边界。

我们什么时候必须考虑这些边界的影响?通常,当系统的尺寸足够小并且与表面和线相关的能量与与体相体积相关的能量相当时,必须考虑表面和三相接触线的影响。

应该认识到,具有重要表面或线效应的系统并不是我们之前定义的“简单”系统。在本章中,我们将展示如何将之前学习的一般热力学理论应用于二维 (2D) 表面和一维 (1D) 线。本章的目标是学习。
(1) 如何将热力学理论应用于涉及面和线的模型系统,以及
(2) 这些边界将如何影响平衡条件。

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