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计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Exponential family factor analysis

So far we have assumed the observed data is real-valued, so $x_n \in \mathbb{R}^D$. If we want to model other kinds of data (e.g., binary or categorical), we can simply replace the Gaussian output distribution with a suitable member of the exponential family, where the natural parameters are given by a linear function of $\boldsymbol{z}_n$. That is, we use
$$
p\left(\boldsymbol{x}_n \mid \boldsymbol{z}_n\right)=\exp \left(\mathcal{T}(\boldsymbol{x})^{\top} \boldsymbol{\theta}+h(\boldsymbol{x})-g(\boldsymbol{\theta})\right)
$$
where the $N \times D$ matrix of natural parameters is assumed to be given by the low rank decomposition $\Theta=\mathbf{Z W}$, where $\mathbf{Z}$ is $N \times L$ and $\mathbf{W}$ is $L \times D$. The resulting model is called exponential family factor analysis.

Unlike the linear-Gaussian FA, we cannot compute the exact posterior $p\left(\boldsymbol{z}_n \mid \boldsymbol{x}_n, \mathbf{W}\right)$ due to the lack of conjugacy between the expfam likelihood and the Gaussian prior. Furthermore, we cannot compute the exact marginal likelihood either, which prevents us from finding the optimal MLE.
[CDS02] proposed a coordinate ascent method for a deterministic variant of this model, known as exponential family PCA. This alternates between computing a point estimate of $\boldsymbol{z}_n$ and W. This can be regarded as a degenerate version of variational EM, where the E step uses a delta function posterior for $\boldsymbol{z}_n$. [GS08] present an improved algorithm that finds the global optimum, and [Ude $+16$ ] presents an extension called generalized low rank models, that covers many different kinds of loss function.

However, it is often preferable to use a probabilistic version of the model, rather than computing point estimates of the latent factors. In this case, we must represent the posterior using a nondegencrate distribution to avoid overfitting, since the number of latent variables is proportional to the number of datacases [WCS08]. Fortunately, we can use a non-degenerate posterior, such as a Gaussian, by optimizing the variational lower bound. We give some examples of this below.

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We start by considering the special case of a linear autoencoder, in which there is one hidden layer, the hidden units are computed using $z=\mathbf{W}1 \boldsymbol{x}$, and the output is reconstructed using $\hat{x}=\mathbf{W}_2 z$, where $\mathbf{W}_1$ is a $L \times D$ matrix, $\mathbf{W}_2$ is a $D \times L$ matrix, and $L{n=1}^N\left|\boldsymbol{x}_n-\mathbf{W} \boldsymbol{x}_n\right|_2^2$, one can show [BH89; KJ95] that $\hat{\mathbf{W}}$ is an orthogonal projection onto the first $L$ eigenvectors of the empirical covariance matrix of the data. This is therefore equivalent to PCA.

If we introduce nonlinearities into the autoencoder, we get a model that is strictly more powerful than PCA, as proved in [JHG00]. Such methods can learn very useful low dimensional representations of data.

Consider fitting an autoencoder to the Fashion MNIST dataset. We consider both an MLP architecture (with 2 layers and a bottleneck of size 30), and a CNN based architecture (with 3 layers and a 3d bottleneck with 64 channels). We use a Bernoulli likelihood model and binary cross entropy as the loss. Figure $20.17$ shows some test images and their reconstructions. We see that the CNN model reconstructs the images more accurately than the MLP model. However, both models are small, and were only trained for 5 epochs; results can be improved by using larger models, and training for longer.

Figure $20.18$ visualizes the first 2 (of 30 ) latent dimensions produced by the MLP-AE. More precisely, we plot the tSNE embeddings (see Section 20.4.10), color coded by class label. We also show some corresponding images from the dataset, from which the embeddings were derived. We see that the method has done a good job of separating the classes in a fully unsupervised way. We also see that the latent space of the MLP and CNN models is very similar (at least when viewed through this $2 \mathrm{~d}$ projection).

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到目前为止,我们假设观察到的数据是实值的,所以 $x_n \in \mathbb{R}^D$. 如果我们想对其他类型的数据(例如, 二进制或分类数据) 建模,我们可以简单地将高斯输出分布替换为指数族的合适成员,其中自然参数由 线性函数给出 $z_n$.也就是说,我们使用
$$
p\left(\boldsymbol{x}_n \mid \boldsymbol{z}_n\right)=\exp \left(\mathcal{T}(\boldsymbol{x})^{\top} \boldsymbol{\theta}+h(\boldsymbol{x})-g(\boldsymbol{\theta})\right)
$$
在哪里 $N \times D$ 假定自然参数矩阵由低秩分解给出 $\Theta=\mathbf{Z W}$ , 在哪里 $\mathbf{Z}$ 是 $N \times L$ 和 $\mathbf{W}$ 是 $L \times D$. 由此 产生的模型称为指数族因子分析。
与线性高斯 FA 不同,我们无法计算精确的后验概率 $p\left(\boldsymbol{z}_n \mid \boldsymbol{x}_n, \mathbf{W}\right)$ 由于 expfam 似然与高斯先验之间 缺乏结合。此外,我们也无法计算确切的边际似然,这使我们无法找到最佳 MLE。
[CDS02] 为该模型的确定性变体提出了坐标上升法,称为指数族 PCA。这在计算点估计之间交莫 $z_n$ 和 W。这可以看作是变分 EM 的退化版本,其中 E步骤使用 delta 函数后验 $z_n$. [GSO8] 提出了一种改进的 算法,可以找到全局最优值,并且 [Ude $+16]$ 提出了一种称为广义低秩模型的扩展,它涵盖了许多不同 类型的损失函数。
然而,通常更可取的是使用模型的概率版本,而不是计算潜在因溸的点估计。在这种情况下,我们必须 使用非退化分布来表示后验以避免过度拟合,因为潜在变量的数量与数据案例的数量成正比 [WCS08]。 幸运的是,我们可以通过优化变分下界来使用非退化后验,例如高斯。我们在下面给出了一些例子。

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我们首先考虑线性自动编码器的特殊情况,其中有一个隐藏层,隐藏单元使用 $z=\mathbf{W} 1 \boldsymbol{x}$ ,并使用重建 ,可以显示 [BH89; KJ95]那个 $\hat{\mathbf{W}}$ 是第一个上的正交投影 $L$ 数据的经验协方差矩阵的特征向量。因此,这 等同于 $P C A_0$
如果我们将非线性引入自动编码器,我们将得到一个严格来说比 PCA 更强大的模型,如 [JHG00] 中所证 明的那样。这种方法可以学习非常有用的数据低维表示。
考虑将自动编码器拟合到 Fashion MNIST 数据集。我们同时考虑 MLP 架构 (具有 2 层和大小为 30 的瓶 颈) 和基于 CNN 的架构 (具有 3 层和具有 64 通道的 $3 \mathrm{~d}$ 瓶颈) 。我们使用伯努利似然模型和二元交叉 樀作为损失。数字 $20.17$ 显示一些测试图像及其重建。我们看到 CNN 模型比 MLP 模型更准确地重建图 像。然而,这两个模型都很小,并且只训练了 5 个 epoch;通过使用更大的模型和更长时间的训练可以 改善结果。
数字 20.18可视化 MLP-AE 产生的前 2 个 (共 30 个) 潜在维度。更准确地说,我们绘制了 tSNE 嵌入 (参见第 $20.4 .10$ 节),按类别标签进行颜色编码。我们还展示了数据集中的一些相应图像,嵌入是从 中导出的。我们看到该方法以完全无监督的方式很好地分离了类。我们还看到 MLP 和 CNN 模型的潜在 空间非常相似 (至少通过这个来看 $2 \mathrm{~d}$ 投影) 。

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