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EM for PCA has the following advantages over eigenvector methods:

  • EM can be faster. In particular, assuming $N, D \gg L$, the dominant cost of EM is the projection operation in the E step, so the overall time is $O(T L N D)$, where $T$ is the number of iterations. [Row97] showed experimentally that the number of iterations is usually very small (the mean was 3.6), regardless of $N$ or $D$. (This result depends on the ratio of eigenvalues of the empirical covariance matrix.) This is much faster than the $O\left(\min \left(N D^2, D N^2\right)\right)$ time required by straightforward eigenvector methods, although more sophisticated eigenvector methods, such as the Lanczos algorithm, have running times comparable to EM.
  • EM can be implemented in an online fashion, i.e., we can update our estimate of $\mathbf{W}$ as the data streams in.
  • EM can handle missing data in a simple way (see e.g., [IR10; DJ15]).
  • EM can be extended to handle mixtures of PPCA/FA models (see Section 20.2.6).
  • EM can be modified to variational EM or to variational Bayes EM to fit more complex models (see e.g., Section 20.2.7).

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Mixtures of factor analysers

The factor analysis model (Section 20.2) assumes the ohserved data can he modeled as arising from a linear mapping from a low-dimensional set of Gaussian factors. One way to relax this assumption is to assume the model is only locally linear, so the overall model becomes a (weighted) combination of FA models; this is called a mixture of factor analysers. The overall model for the data is a mixture of linear manifolds, which can be used to approximate an overall curved manifold.

More precisely, let latent indicator $c_n \in{1, \ldots, K}$, specifying which subspace (cluster) we should use to generate the data. If $c_n=k$, we sample $\boldsymbol{z}_n$ from a Gaussian prior and pass it through the $\mathbf{W}_k$ matrix and add noise, where $\mathbf{W}_k$ maps from the $L$-dimensional subspace to the $D$-dimensional visible space. ${ }^4$ More precisely, the model is as follows:
$$
\begin{aligned}
p\left(\boldsymbol{x}_n \mid \boldsymbol{z}_n, c_n=k, \boldsymbol{\theta}\right) &=\mathcal{N}\left(\boldsymbol{x}_n \mid \boldsymbol{\mu}_k+\mathbf{W}_k \boldsymbol{z}_n, \boldsymbol{\Psi}_k\right) \
p\left(\boldsymbol{z}_n \mid \boldsymbol{\theta}\right) &=\mathcal{N}\left(\boldsymbol{z}_n \mid \mathbf{0}, \mathbf{I}\right) \
p\left(c_n \mid \boldsymbol{\theta}\right) &=\operatorname{Cat}\left(c_n \mid \boldsymbol{\pi}\right)
\end{aligned}
$$
This is called a mixture of factor analysers (MFA) [GH96]. The corresponding distribution in the visible space is given by
$$
p(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{\theta})=\sum_k p(c=k) \int d \boldsymbol{z} p(\boldsymbol{z} \mid c) p(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{z}, c)=\sum_k \pi_k \int d \boldsymbol{z} \mathcal{N}\left(\boldsymbol{z} \mid \boldsymbol{\mu}_k, \mathbf{I}\right) \mathcal{N}\left(\boldsymbol{x} \mid \mathbf{W} \boldsymbol{z}, \sigma^2 \mathbf{I}\right)
$$
In the special case that $\Psi_k=v^2 \mathbf{I}$, we get a mixture of PPCA models (although it is difficult to ensure orthogonality of the $\mathbf{W}_k$ in this case). See Figure $20.12$ for an example of the method applied to some $2 \mathrm{~d}$ data.

We can think of this as a low-rank version of a mixture of Gaussians. In particular, this model needs $O(K L D)$ parameters instead of the $O\left(K D^2\right)$ parameters needed for a mixture of full covariance Gaussians. This can reduce overfitting.

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与特征向量方法相比,PCA 的 EM 具有以下优点:

  • EM 可以更快。特别地,假设 $N, D \gg L$ ,EM的主导成本是E步中的投影操作,所以整体时间为 $O(T L N D)$ , 在哪里 $T$ 是迭代次数。[Row97] 通过实验表明迭代次数通常非常小 (平均值为 3.6), 无论 $N$ 或者 $D$. (这个结果取决于经验协方差矩阵的特征值的比率。) 这比 $O\left(\min \left(N D^2, D N^2\right)\right)$ 简单的特征向量方法所需的时间,尽管更复杂的特征向量方法 (例如 Lanczos 算法) 的运行时间与 $E M$ 相当。
  • EM 可以在线方式实现,即,我们可以更新我们对 $\mathbf{W}$ 作为数据流。
  • EM 可以以一种简单的方式处理丢失的数据(参见例如 [IR10; DJ15])。
  • EM 可以扩展以处理 PPCA/FA 模型的混合(参见第 $20.2 .6$ 节)。
  • 可以将 EM 修改为变分 EM 或变分贝叶斯 EM 以适应更复杂的模型 (例如,参见第 20.2.7 节)。

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因子分析模型 (第 $20.2$ 节) 假设所观察到的数据可以建模为来自低维高斯因子集的线性映射。放宽此假 设的一种方法是假设模型仅是局部线性的,因此整个模型成为 $F A$ 模型的(加权)组合;这被称为因子 分析器的混合。数据的整体模型是线性流形的混合,可用于近似整体曲线流形。
更准确地说,让潜在指标 $c_n \in 1, \ldots, K$ ,指定我们应该使用哪个子空间 (集群) 来生成数据。如果 $c_n=k$ ,我们抽样 $\boldsymbol{z}n$ 来自高斯先验并将其传递给 $\mathbf{W}_k$ 矩阵并添加噪声,其中 $\mathbf{W}_k$ 地图来自 $L$ 维子空间到 $D$ 维可见空间。 ${ }^4$ 更准确地说,模型如下: $$ p\left(\boldsymbol{x}_n \mid \boldsymbol{z}_n, c_n=k, \boldsymbol{\theta}\right)=\mathcal{N}\left(\boldsymbol{x}_n \mid \boldsymbol{\mu}_k+\mathbf{W}_k \boldsymbol{z}_n, \boldsymbol{\Psi}_k\right) p\left(\boldsymbol{z}_n \mid \boldsymbol{\theta}\right) \quad=\mathcal{N}\left(\boldsymbol{z}_n \mid \mathbf{0}, \mathbf{I}\right) p\left(c_n \mid \boldsymbol{\theta}\right)=\operatorname{Cat}\left(c_n \mid \boldsymbol{\pi}\right) $$ 这称为混合因子分析器 (MFA) [GH96]。可见空间中的相应分布由下式给出 $$ p(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{\theta})=\sum_k p(c=k) \int d \boldsymbol{z} p(\boldsymbol{z} \mid c) p(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{z}, c)=\sum_k \pi_k \int d \boldsymbol{z} \mathcal{N}\left(\boldsymbol{z} \mid \boldsymbol{\mu}_k, \mathbf{I}\right) \mathcal{N}\left(\boldsymbol{x} \mid \mathbf{W} \boldsymbol{z}, \sigma^2 \mathbf{I}\right) $$ 在特殊情况下 $\Psi_k=v^2 \mathbf{I}{} \text { 我们得到了 PPCA 模型的混合 (尽管很难确保模型的正交性 } \mathbf{W}_k \text { 在这种情况 }$ 下) 。见图20.12作为应用于某些方法的示例2 d数据。
我们可以将其视为高斯混合的低阶版本。特别地,这个模型需要 $O(K L D)$ 参数而不是 $O\left(K D^2\right)$ 全协方 差高斯混合所需的参数。这可以减少过度拟合。

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