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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Series Combination

Next, we consider an electric circuit in which two capacitors are combined in series, as shown in Fig. 4.6. That is known as a series combination of capacitors. In that combination, the left plate of capacitor 1 connects to one of the terminals of a battery (for example, the positive terminal in Fig. 4.6) and the right plate of capacitor 2 connects to the other terminal (for example, the negative terminal in Fig.4.6). Furthermore, the other two plates, from each capacitor, connect each other via a conducting wire and to nothing else, as shown in Fig. 4.6. Two capacitors connected that way form an isolated conductor that is initially uncharged and must continue to have a net charge zero.

In the following, we will analyze the combination of two capacitors in series. When the two capacitors are initially uncharged and just connect to a battery in the circuit, then the electrons transfer from the left plate of $C_1$ and into the right plate of $C_2$. That is, during the process, a negative charge (electrons) stores on the right plate of $C_2$ and the same amount of negative charge leaves the left plate of $C_2$ as electrons migrating from that plate to the conducting wire leave behind the left plate having an excess positive charge. Therefore, we can say that the negative charge leaving the left plate of $C_2$ transfers via the conducting wire and stores on the right plate of $C_1$. As a result, the right plates, when the equilibrium establishes, accumulate a charge $-Q$, and the left plates a charge $+Q$. That indicates that the charges on capacitors connected as in Fig. $4.6$ are the same.

It can be seen that the $\Delta V$ across the battery terminals is split between two capacitors:
$$
\Lambda V=\wedge V_1+\wedge V_2
$$
In Eq. (4.21), $\Delta V_1$ and $\Delta V_2$ are the potential across $C_1$ and $C_2$, respectively. In general, the total potential difference across any number of capacitors connected in series is the sum of the potential differences across the individual capacitors. Now, consider an equivalent capacitor, $C_{e q}$, with same effect on the circuit as the series combination of the capacitors. After it is fully charged, the equivalent capacitor must have a charge of $-Q$ on its right plate and a charge of $+Q$ on its left plate. Using the definition of capacitance to the equivalent circuit in Fig.

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Energy Storage in the Electric Field

To transfer an amount of charge from one plate of a capacitor to the other during the process of charging the capacitor, an external work is done against the electric field. That work stores in the capacitor in the form of the potential energy. For that, let $q$ be the charge on the capacitor at some instant during the charging process when the potential difference across the capacitor is $\Delta V=q / C$. At that instant, one of the plates is carrying a charge $+q$ and the other $-q$. To transfer an increment of charge $d q$ from the plate with charge $-q$ (which is at a lower electric potential) to the plate carrying charge $+q$ (which is at a higher electric potential) an elementary work is done against the electric field:
$$
d W=\Delta V d q=\frac{q}{C} d q
$$
To calculate the total work required to charge the capacitor from $q=0$ to final charge $Q$, we integrate Eq. (4.27) as follows:
$$
W=\int_0^Q \frac{q}{C} d q=\frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}
$$

This work done to charge the capacitor stores in the capacitor as an electric potential energy $U$. Therefore, $U=W$. Also, we can express the potential energy $U$ in the following forms:
$$
\begin{aligned}
U &=\frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} \
&=\frac{1}{2} Q \Delta V \
&=\frac{1}{2} C(\Delta V)^2
\end{aligned}
$$
Note that all expressions given by Eqs. (4.29)-(4.31) are equivalent; that is, they can all be used to calculate the potential energy stored in a capacitor depending on what is known. We can consider the energy stored in a capacitor as being stored in the electric field created between the plates as the capacitor is charged. This description is reasonable from the viewpoint that the electric field is proportional to the charge $Q$ stored on a capacitor. For a capacitor of two parallel plates, the potential difference is related to the electric field through a simple relationship $\Delta V=E d$.

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|PHY53040

电磁学代考

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Series Combination

接下来,我们考虑一个电路,其中两个电容器串联在一起,如图4.6所示。这就是所谓的电容器的串联组合。在这种组合中,电容器1的左板连接到电池的一个终端(例如,图4.6中的正极),电容器2的右板连接到另一个终端(例如,图4.6中的负极)。此外,如图4.6所示,每个电容器的另外两块板通过一根导电线相互连接,而不连接其他东西。这样连接的两个电容器形成了一个孤立的导体,最初是不带电的,必须继续保持净电荷为零。

在下文中,我们将分析两个电容器的串联组合。当两个电容器最初不充电,只是连接到电路中的电池,那么电子从$C_1$的左板转移到$C_2$的右板。也就是说,在这个过程中,负电荷(电子)储存在$C_2$的右板上,同样数量的负电荷离开$C_2$的左板,因为电子从该板迁移到导电线上,留下了具有多余正电荷的左板。因此,我们可以说,离开$C_2$左板的负电荷通过导电线转移并储存在$C_1$的右板上。因此,当平衡建立后,右板积累了$Q$的电荷,而左板积累了$+Q$的电荷。这表明如图4.6$中连接的电容器上的电荷是相同的。

可以看出,电池两端的$Delta V$被分成两个电容器。
$$
\Lambda V=wedge V_1+\wedge V_2
$$
在公式(4.21)中,$Delta V_1$和$Delta V_2$分别是$C_1$和$C_2$的电位。一般来说,任何数量的串联电容器上的总电势差是各个电容器上的电势差之和。现在,考虑一个等效电容器,$C_{e q}$,对电路的影响与电容器的串联组合相同。在完全充电后,等效电容器的右板上必须有$Q$的电荷,左板上有$+Q$的电荷。将电容的定义用于图中的等效电路。

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Energy Storage in the Electric Field

在给电容器充电的过程中,为了将一定量的电荷从电容器的一个板块转移到另一个板块,需要对电场做一个外部功。该功以势能的形式储存在电容器中。为此,让$q$作为充电过程中某个瞬间电容器上的电荷,此时电容器上的电位差为$Delta V=q / C$。在该瞬间,其中一块板带着$+q$的电荷,另一块板带着$-q$的电荷。为了将电荷$d q$的增量从带电荷$-q$的板(处于较低电势)转移到带电荷$+q$的板(处于较高电势),需要对电场做一个基本功。
$$
d W=Delta V d q=frac{q}{C} d q
$$
为了计算电容器从$q=0$到最终电荷$Q$所需的总功,我们将公式(4.27)积分如下。
$$
W=int_0^Q\frac{q}{C} d q=\frac{1}{2} \夫拉克{Q^2}{C}。
$$
为电容器充电所做的这个功作为电势能$U$储存在电容器中。因此,$U=W$。另外,我们可以用以下形式表示势能$U$。
$$

U &=\frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}。\
&==frac{1}{2} δV Q DELTA V
And=frac{1}{2} (C)。C(\Delta V)^2
\end{aligned}
$$
请注意,公式(4.29)-(4.31)给出的所有表达式都是等价的;也就是说,它们都可以用来计算储存在电容器中的势能,这取决于已知的情况。我们可以把储存在电容器中的能量视为储存在电容器充电时在板间产生的电场中。从电场与储存在电容器上的电荷$Q$成正比的观点来看,这种描述是合理的。对于由两块平行板组成的电容器来说,电势差与电场的关系是通过一个简单的关系$Delta V=E d$。

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考

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