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金融代写|期权定价理论代写Option Pricing Theory代考|Super Replication and the Failure of No Arbitrage

Super replication refers to an alternative and more general approach to deal with the binomial model in the presence of transaction costs, originally introduced by Bensaid, Lesne, Pagès and Scheinkman (1992) for European options and extended to American options by Perrakis and Lefoll $(2000,2004)$. This approach does not necessarily replicate the option at every node of the binomial tree but derives instead perfect hedging policies for an intermediary that issues the options that are specific to the type of settlement of the option upon maturity. Nonetheless, for physical delivery options such as options on equities it was shown that super replication coincided with replication at every node. ${ }^3$

In super replication models transaction costs are represented by the convex function $\phi(y)=(1+k) y$ if $y \geq 0, \phi(y)=(1-k) y$ if $y \leq 0$. At any period $j \in[0, n]$ of the $n$ time periods to option expiration the hedging portfolio must contain enough cash in the riskless asset to cover the subsequent position, including the cost of rebalancing the portfolio. Let $\omega_j$ denote a particular path from 0 to $j$, that is, a particular sequence of up and down moves, $S_j\left(\omega_j\right)$ the corresponding stock price and $\left(N_j, B_j\right)$ the optimal hedging portfolio; although the latter may depend on $\omega_j$, this dependence can be shown not to exist. For every $\omega_j$ there are two successor paths $\omega_{j+1}$ corresponding to the two values of $S_{j+1}, u S_j$ and $d S_j$. For perfect hedging, therefore, we must have $R B_j \geq B_{j+1}+\phi\left(N_{j+1}-N_j\right) S_{j+1}$, and the optimal path-dependent portfolios are found by evaluating the following function for each path.

The function $Q_j$ represents the minimal cash needed to hedge the option and cover the transactions costs. It can be shown that the program (3.7) yields an efficient solution for all types of settlement for European options. The case of American options, in which early exercise must be included in all nodes, is considerably more complex because of nonconvexities in the objective function. Nonetheless, an efficient algorithm also exists for both American calls with dividends and American physical delivery puts.

金融代写|期权定价理论代写Option Pricing Theory代考|Asset Allocation in Discrete Time

Consider a class of traders who invest only in a risky asset and a riskless bond, a condition that will be assumed throughout this section. Each trader makes sequential investment decisions in the primary assets at the discrete trading dates $t=0,1, \ldots, T^{\prime}$, where $T^{\prime}$ is the terminal date and is finite. A bond with price one at the initial date has price $R, R>1$ at the end of the first trading period, where $R$ is a constant; without loss of generality bond trades are assumed to be traded without frictions. On the other hand, the risky asset’s trades incur proportional transaction costs charged to the bond account. At each date $t$, the trader pays $\left(1+k_1\right) S_t$ out of the bond account to purchase one share of stock and is credited $\left(1-k_2\right) S_t$ in the bond account to sell (or sell short) one share of the risky asset. It is assumed that there are no dividends within the option’s time to expiration $T<T^{\prime} .4$

The trader enters the market at date $t$ with dollar holdings $x_t$ in the bond account and $y_t / S_t$ shares of stock and increases (or decreases) the dollar holdings in the stock account from $y_t$ to $y_t{ }^{\prime}=y_t+v_t$ by decreasing (or increasing) the bond account from $x_t$ to $x_t{ }^{\prime}=x_t-v_t-\max \left[k_1 v_t,-k_2 v_t\right]$. The decision variable is constrained to be measurable with respect to the information up to date $t$. The bond account dynamics $v_t$ are $$
x_{t+1}=\left{x_t-v_t-\max \left[k_1 v_t,-k_2 v_t\right]\right} R, \quad t \leq T^{\prime}-1,
$$
and the stock account dynamics are
$$
y_{t+1}=\left(y_t+v_t\right) \frac{S_{t+1}}{S_t}, \quad t \leq T^{\prime}-1 .
$$

金融代写|期权定价理论代写Option Pricing Theory代考|MATH451

期权理论代考

金融代写|期权定价理论代写Option Pricing Theory代考|Super Replication and the Failure of No Arbitrage

超级复制是指在存在交易成本的情况下处理二项式模型的另一种更通用的方法,最初由 Bensaid, Lesne、Pagès 和 Scheinkman(1992 年) 针对欧式期权引入,并由 Perrakis 和 Lefoll 扩展到美式期权 $(2000,2004)$. 这种方法不一定在二项式树的每个节点复制期权,而是为中介机构导出完美的对冲政 策,该中介机构发行特定于期权到期结算类型的期权。尽管如此,对于股票期权等实物交割期权,结果 表明超级复制与每个节点的复制同时发生。 3
在超级复制模型中,交易成本由凸函数表示 $\phi(y)=(1+k) y$ 如果 $y \geq 0, \phi(y)=(1-k) y$ 如果 $y \leq 0$. 在任何时期 $j \in[0, n]$ 的 $n$ 期权到期的时间段 对冲投资组合必须在无风险资产中包含足够的现金来覆盖后 续头寸,包括重新平衡投资组合的成本。让 $\omega_j$ 表示从 0 到的特定路径 $j$ ,也就是说,一个特定的上下移 动序列, $S_j\left(\omega_j\right)$ 相应的股票价格和 $\left(N_j, B_j\right)$ 最优对冲组合;尽管后者可能取决于 $\omega_j$ ,可以证明这种依 赖不存在。对于每一个 $\omega_j$ 有两条后继路径 $\omega_{j+1}$ 对应于的两个值 $S_{j+1}, u S_j$ 和 $d S_j$. 因此,为了完美对冲, 我们必须有 $R B_j \geq B_{j+1}+\phi\left(N_{j+1}-N_j\right) S_{j+1}$ ,并且通过为每条路径评估以下函数来找到最佳路径 相关投资组合。
功能 $Q_j$ 代表对冲期权和支付交易成本所需的最少现金。可以证明程序 (3.7) 为欧式期权的所有类型的结 算产生了一个有效的解决方案。由于目标函数中的非凸性,美式期权的情况要筫杂得多,其中所有节点 都必须包含提前行权。尽管如此,对于带股息的美式看涨期权和美式实物交割看跌期权,也存在一种有 效的算法。

金融代写|期权定价理论代写Option Pricing Theory代考|Asset Allocation in Discrete Time

考虑一类只投资于风险资产和无风险债券的交易者,本节将假设这种情况。每个交易者在离散的交易日 期对主要资产做出顺序投资决策 $t=0,1, \ldots, T^{\prime}$ ,在哪里 $T^{\prime}$ 是終止日期并且是有限的。在初始日期价 格为 1 的债券有价格 $R, R>1$ 在第一个交易期结束时, $R$ 是常数;在不失一般性的情况下,假定债券交 易是在没有摩擦的情况下进行的。另一方面,风险资产的交易产生按比例计入债券账户的交易成本。在 每个日期 $t$, 交易者支付 $\left(1+k_1\right) S_t$ 从债券账户中购买一股股票并记入贷方 $\left(1-k_2\right) S_t$ 在债券账户中卖 出 (或卖空) 一份风险资产。假设在期权的到期时间内没有股息 $T<T^{\prime} .4$
交易者在日期进入市场 $t$ 持有美元 $x_t$ 在债券账户和 $y_t / S_t$ 股票并增加(或减少) 股票账户中的美元持有量 $y_t$ 至 $y_t{ }^{\prime}=y_t+v_t$ 通过减少 (或增加) 债券账户 $x_t$ 至 $x_t{ }^{\prime}=x_t-v_t-\max \left[k_1 v_t,-k_2 v_t\right]$. 决策变量被 限制为可以根据最新信息进行测量 $t$. 债券账户动态 $v_t$ 是
股票账户动态是
$$
y_{t+1}=\left(y_t+v_t\right) \frac{S_{t+1}}{S_t}, \quad t \leq T^{\prime}-1 .
$$

金融代写|期权理论代写Mathematical Introduction to Options代考

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